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问题：用计算器探索，按一定规律排列的一组数1，2， -3，2， 5， -6，7，…，如果从1开始一次连续选取若干数，使它们的和大于5，那么至少要取多少个数？
通常我们的解法是：因为1+2-3+2+5-6+7≈5.11>5，所以至少需要取7个数. 结论似乎是正确的，但又不太让人信服，因为除了取7个数外取其它个数的数也可能使它们的和大于5，如，取8个数，9个数，那么凭什么说取7个数就是使其和大于5的最少的个数呢？为此，我们还需说明1+2-3+2+5-6≈2.47＜5.
上面的这个问题所体现的就是数学逻辑中的充分条件和必要条件的关系，1+2-3+2+5-6+7≈5.11>5是“使其和大于5所取的符合条件的最少的数”的必要条件，但不是充分条件；为此，还要论证“从1开始一次连续选取6个数”是不合题意的，以说明“从1开始一次连续选取7个数”同时也是符合题意的充分条件.
类似于上题中“关注了结论的必要性而忽视了结论的充分性”的现象在初中阶段的解题中是比较常见的，因此，解题中我们常需反问一句“必要了，但充分吗？”, 现在让我们一起感受一下两道中考压轴题带给我们的数学逻辑关系的美妙.
例1王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5 m，最下面一级踏板的长度A8B8=0.8 m．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4 cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1 m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽度和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：要制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？ 请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）
图1图2图3解析：梯子给出了很好的梯形模型，本题的解决方法也应该是解决梯形问题中常用的方法，设梯形A1B1B8A8的中位线为PQ，由梯形中位线性质可知：2PQ=A1B1 + A8B8= A2B2+ A7B7=A3B3+ A6B6= A4B4+ A5B5，所以A1B1 + A2B2 + A3B3+ A4B4 + A5B5+ A6B6 +A7B7 + A8B8 =4（A1B1 + A8B8）= 5.2 m ＜ 2.1 m ×3=6.3 m，故王大伯至少需要买3块长为2.1m的木板.
必要了，但充分吗？本题的隐含条件是：现实生活中的踏板（含榫头部分）不可能通过较小的木块拼接组成，它需要从整块木板中去截取“下料”，所以还必须考虑踏板（含榫头部分）的搭配组合，以检验3块木板是否为充分条件. 因此，解题的过程看似无懈可击，实则有很大的逻辑错误——“不可能小于3块”与“至少需买3块”是不对等的！
再看下面的解法，设这些踏板需用木板（含榫头部分）的长度分别为a1 cm，a2 cm，…，a8 cm， 如图3，过A1作B1B8的平行线分别交A2B2，A3B3，…，A8B8于点C2，C3，…，C8．因为每两级踏板之间的距离相等，所以C8B8=C7B7=…=C2B2=A1B1=50 cm，A8C8=80-50=30 cm．易知△A1A2C2∽△A1A8C8，所以A2C2∶A8C8=1∶7，所以A2C2=307，A2B2=50+307， 所以a2=58+307．同理可求出其它木板的长度. 而a1+a3+a6=58+146=204＜210，a2+a4+a5=58+307+146=204+307＜210，a7+a8＜a8+a8=88×2＜210 所以王大伯最少买3块这样的木板就行了．
我们同样可以追问，充分了，但必要吗？3块木板确实可以做出所需的踏板，但必须3块吗？3块是最少的吗？通过上面的分析我们一方面可以发现本题完整的解法，另一方面你是否感受到了数学逻辑的严谨带给我们的无穷乐趣？
例2一种电讯信号转发装置的发射直径为31 km．现要求：在一边长为30 km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：至少需要选择多少个安装点，才能达到预设的要求？
解析：本题的难点在于方案的设计，同时寻找“最少安装点”所遵循的充分必要的条件也是解题的关键. 如图4，将正方形等分成四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为12×302=152≈21.2<31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
图4图5图54个就一定是最少的吗？将原正方形分割成如图5中的3个矩形，使得BE=DG=CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE=x，则ED=30-x，DH=15．由BE=DG，得x2+302=152+(30-x)2，所以x=22560=154，所以BE=(154)2+302≈30.2<31，即如此安装3个这种转发装置也能达到预设要求．
必要了，但充分吗？进一步，用两个圆去覆盖这个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图6，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，则AE=312-302=61<15=12AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形 ．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求.
充分条件,必要条件和充要条件,是数学中的重要概念.它们揭示了命题中的假设和结论的依存关系.弄清这些概念,不但能够帮助我们较容易理解某些命题的成立条件,而且可以帮助我们正确地叙述推证过程,提高表达能力.
通常我们的解法是：因为1+2-3+2+5-6+7≈5.11>5，所以至少需要取7个数. 结论似乎是正确的，但又不太让人信服，因为除了取7个数外取其它个数的数也可能使它们的和大于5，如，取8个数，9个数，那么凭什么说取7个数就是使其和大于5的最少的个数呢？为此，我们还需说明1+2-3+2+5-6≈2.47＜5.
上面的这个问题所体现的就是数学逻辑中的充分条件和必要条件的关系，1+2-3+2+5-6+7≈5.11>5是“使其和大于5所取的符合条件的最少的数”的必要条件，但不是充分条件；为此，还要论证“从1开始一次连续选取6个数”是不合题意的，以说明“从1开始一次连续选取7个数”同时也是符合题意的充分条件.
类似于上题中“关注了结论的必要性而忽视了结论的充分性”的现象在初中阶段的解题中是比较常见的，因此，解题中我们常需反问一句“必要了，但充分吗？”, 现在让我们一起感受一下两道中考压轴题带给我们的数学逻辑关系的美妙.
例1王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5 m，最下面一级踏板的长度A8B8=0.8 m．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4 cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1 m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽度和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：要制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？ 请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）
图1图2图3解析：梯子给出了很好的梯形模型，本题的解决方法也应该是解决梯形问题中常用的方法，设梯形A1B1B8A8的中位线为PQ，由梯形中位线性质可知：2PQ=A1B1 + A8B8= A2B2+ A7B7=A3B3+ A6B6= A4B4+ A5B5，所以A1B1 + A2B2 + A3B3+ A4B4 + A5B5+ A6B6 +A7B7 + A8B8 =4（A1B1 + A8B8）= 5.2 m ＜ 2.1 m ×3=6.3 m，故王大伯至少需要买3块长为2.1m的木板.
必要了，但充分吗？本题的隐含条件是：现实生活中的踏板（含榫头部分）不可能通过较小的木块拼接组成，它需要从整块木板中去截取“下料”，所以还必须考虑踏板（含榫头部分）的搭配组合，以检验3块木板是否为充分条件. 因此，解题的过程看似无懈可击，实则有很大的逻辑错误——“不可能小于3块”与“至少需买3块”是不对等的！
再看下面的解法，设这些踏板需用木板（含榫头部分）的长度分别为a1 cm，a2 cm，…，a8 cm， 如图3，过A1作B1B8的平行线分别交A2B2，A3B3，…，A8B8于点C2，C3，…，C8．因为每两级踏板之间的距离相等，所以C8B8=C7B7=…=C2B2=A1B1=50 cm，A8C8=80-50=30 cm．易知△A1A2C2∽△A1A8C8，所以A2C2∶A8C8=1∶7，所以A2C2=307，A2B2=50+307， 所以a2=58+307．同理可求出其它木板的长度. 而a1+a3+a6=58+146=204＜210，a2+a4+a5=58+307+146=204+307＜210，a7+a8＜a8+a8=88×2＜210 所以王大伯最少买3块这样的木板就行了．
我们同样可以追问，充分了，但必要吗？3块木板确实可以做出所需的踏板，但必须3块吗？3块是最少的吗？通过上面的分析我们一方面可以发现本题完整的解法，另一方面你是否感受到了数学逻辑的严谨带给我们的无穷乐趣？
例2一种电讯信号转发装置的发射直径为31 km．现要求：在一边长为30 km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：至少需要选择多少个安装点，才能达到预设的要求？
解析：本题的难点在于方案的设计，同时寻找“最少安装点”所遵循的充分必要的条件也是解题的关键. 如图4，将正方形等分成四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为12×302=152≈21.2<31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
图4图5图54个就一定是最少的吗？将原正方形分割成如图5中的3个矩形，使得BE=DG=CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE=x，则ED=30-x，DH=15．由BE=DG，得x2+302=152+(30-x)2，所以x=22560=154，所以BE=(154)2+302≈30.2<31，即如此安装3个这种转发装置也能达到预设要求．
必要了，但充分吗？进一步，用两个圆去覆盖这个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图6，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，则AE=312-302=61<15=12AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形 ．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求.
充分条件,必要条件和充要条件,是数学中的重要概念.它们揭示了命题中的假设和结论的依存关系.弄清这些概念,不但能够帮助我们较容易理解某些命题的成立条件,而且可以帮助我们正确地叙述推证过程,提高表达能力.