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一、问题的提出
孩子们的数学素质是在解决一道道“好问题”的过程中发展起来的。“设计租船问题方案”是一道与生活实际紧密相连的、有现实意义的问题,也是一道经典开放性的数学问题。在我们的教学中,孩子们对于解决这样一个数学问题是否感兴趣,会运用怎么样的解题策略,采用不同策略的学生人数各是多少,第一学段和第二学段学生的解题方法是否不同,这些问题并不十分清楚。为让学生解决一个租船问题,试图发现学生的解题策略,了解学生对解决这个问题的感受,分析学生的数学应用能力,从而调控我们的课堂教学,使其达到高效。
二、测试的问题、对象和过程
1.测试的问题
三(5)班同学去春游。要组织50名同学去划船,大船每条可以坐6人,租金10元;小船可以坐4人,租金8元。如果你是领队人,准备怎样租船?(请你把所有租船的方法都写出来)
如果你完成了,请填写:
你能用 ( )种方法,第 ( )种方法你觉得最合理。
*你喜欢这样的数学题吗? (请在相应的括号里打√)
喜欢( ) 不喜欢 ( ) 一般( )
*你觉得这道题难吗? (请在相应的括号里打√)
很难( ) 比较难 ( ) 不难( )
2.测试的对象
按照现行的北师大版教材,深圳市三年级以上的学生已经学过整数的四则混合运算:知道乘除法的有关应用题的计算方法。因此,测试的对象随机选择了水库小学的三四五年级各一个班。人数分别是50,52,54人,共计156人。年龄分布在8—11岁之间。
3.测试的过程
2018年11月8日下午,在学生不知情的情况下,由调查者组织进行测试。不给学生任何的解题提示,教师也不用读题,直接让学生独立作答。那么,学生在整个解题过程中,都是独立完成的,不能相互交流,在这样的过程中,基本反映出学生独立解答这道经典生活开放题的水平。三年级学生做题时间为15分钟,四年级学生做题时间15分钟,五年级学生做题时间为10分钟。
三、测试结果及分析
1.三、四、五年级有85%以上的学生至少能用一种方法解答这个问题,12%左右的学生不能解决这个问题。在对学生的解题试卷批改过程中,我们发现:三-五年级的学生用正确方法解答的比例是:三年级43人,占86%;四年级45人,占86.5%;五年级49人,占91%。从数据说明这个年段的学生绝大多数有基本的知识和经验,运用已有的能力独立地解决问题,并可以找出至少一种解决问题的方法。
三、四、五年级分别有14%(7人),23.5%(7人),9%(5人)的学生不能解决这个问题。分析学生全错的原因有:
①有个别学生题意不清,理解能力较差。如:题目问“怎样租船?”学生却回答大船每条可以坐7,10,9,8人,小船可以坐3,5,2,7人,与已知条件“大船每条坐6人,小船每条坐4入”相违背,不理解题的意思。
②没能将数学知识与现实生活相结合
如,三年级某学生A,设计小船0条,大船8条,总计80元,而题目是“组织50人去划船,大船每条可以坐6人”,照这名学生的安排,尚有2人无法上船。
四年级某学生B,大船:50×6×lO=300×lO=3000(元);小船:50×4×8=200×8=1600(元),按此题意是一人坐一条大船或一人坐一条小船,这也不符合实际,可见这些学生对于数学知识,只能答题,不能解决生活中遇到的数学问题。
③ 对题意不够理解,出现简单算错的问题
如,四年级学生C: =5(条)……lO(人)答:大船1条,小船5条。三年级学生D:2×6=12(人),20元,50-12=48(人), =12(人),32元,20 32=52(元),答:我要准备4条小船,2条大船共52元。这些都是在计算上出了问题。
2.三、四、五年级学生正确解题方法的数量存在着一定的差异
在小学三-五年级中,一些学生能够运用数学思维,善于思考,给出多种租船方案。有些学生却只能给出单一的方案,不同年级之间给出不同方案的数量也不一样,如下图。
数据可以反映出:同一一做题时间(15分钟),三年级正确解题方法数量少于四年级:不同做题时间,三年级正确解题方法数量还是少于五年级(9分钟)。三年级学生的解题策略与四、五年级相比要单一些,往往只会从比较单一的角度去思考问题。能用5种或5种以上的方法解答的三年级学生约占5 3%,四年级学生约占42 1%,五年级学生约占10%。说明三、四年级学生思维多样性比例相差较大,可以肯定这是两个不同的发展水平阶段。四年级平均每人解题方法的数量为3 3种,五年级是2.6种,四年级用5种或5种方法以上的百分比比五年级高22%,可以發现,不同做题时间能影响四、五年级之间的解题数量,因此,这两个年级思维相差不大。
3.四、五年级学生思维已具灵活性,解题策略呈现多样性
在有1种或1种以上的解答方法的137人中,出现了以上10种不同的方法,体现学生独立解决问题是具有个性的。其中使用方法5的学生占了70.1%,可见较多学生的解题策略是从已知条件中的数字角度去考虑,如6×5=30(人),4×5=20(人)或 =10(人),正好除尽,说明绝大多数的学生在解决数学问题时,更侧重对已知条件数是否刚好计算来考虑,而不是对整个题意的理解。同理,使用方法3、方法7的学生分别占了55.2%,59.7%,也都是刚好坐满,没有多余的座位,这是一种思维定势(平时“数学题”计算大多是正好的)。其他的方法使用次数在10.4%至17.9%之间,这个数据表明,少数学生考虑问题思路开阔,思维灵活,但从总体上看,学生的思维变通性很弱。这样的思维水平值得老师注意和反思。 “先猜后推”型。学生先从其中的一种方法入手,然后进行有序推导,计算出其他方法。如一名三年级学生的解答:
①[猜]6×7=42(人),50-42=8(人),8÷4=2(只)。答:大船租7只,小船租2只。
②[推]6×6=36(人),50-36=14(人),14÷4=3(只)......2(人)。答:大船租6只,小船租4只,由此推导出③,④,⑤,⑥,⑦种。采用这种策略的三年级学生有5人,占10%,四年级学生有2人,占3.8%,五年级学生有10人,占18.5%。采用此种方法的学生一般都能找到4~8种方法,正确率较高。
“列表”型。采用列表格的形式设计方案,有序,简洁,清晰。采用这种策略的四年级学生有30人,占57.7%,五年级学生有2人,占3.7%。这是一种系列性策略,思维有序,条理清晰。采用这种策略的学生都能用7~10种方法解决问题,是最多的。通过访谈四年级学生,得知许多学生已经做过这样的题目,所以能很快找出多种方法。
4.各年级学生关注解决问题合理性的认识不够。
从上表可以看出,学生对方法合理性的认识角度是不同的,出现了6种情况,其中认为方法3合理的学生占28.47%,说明这一小部分学生是从省钱的角度去考虑的。认为方法5合理的学生占25.5%,这一小部分学生是从大船、小船数量同样多就合理的角度去思考的。
数学中有没有相对优化的东西,笔者认为肯定是有的,而且数学本身肯定也是要追求优化的。这一道经典开放题——“租船问题”,从省钱角度去考虑,对第三种方法,我们又作了进一步的统计,见表4。
如果要考虑省钱的因素,那么第三种方案比较好。使用这种方法的学生中,三年级占56%,四年级占28%,五年级占54%。使用了这种方法并认为合理的学生中,三年级占28%,四年级占20%,五年级占40%。可见学生从经济方面考虑合理性能力还不够,只有一小部分学生有这方面的合理应用意识。例如,一名四年级学生设计:大船30只,小船20只,共用460元,就不符合实际,不合理。
5.题目的难易程度
基于学生对题目的难易有一种直接感受心理,笔者在测试卷最后设计了一些选项,如此调查学生对于解决问题的真实感受。据此,也可以窥见学生对开放题的心理接受度,调查结果见表5。
由表5可看出:三年级喜欢这道经典开放题的学生比例明显高于四、五年级,三年级认定此题的难度也同样高于四、五年级学生,有82%的三年级学生喜欢这道题,认为很难或比较难的占了55%。所以,笔者认为,这道租船开放题,对三年级学生来说有一定的难度,虽有86%的学生至少能用一种方法做题,但要求解题呈现多样性有难度。相对于四、五年级学生来说,此题对三年级学生更有挑战性,比较适合三年级学生学习。
由于这是一道开放性的问题,学生在解题时入手很容易,所以有一半的学生认为题目比较容易,觉得“把所有租船的方法都写出来”比较难,如果,不深入有序思考,是很难有10种方法的。通过访谈全对的那名学生得知,他都是用“列表法”设计出10种方法的,这样的问题,他以前在数学‘‘思维兴趣班” 中已经做过,所以很容易。从这个意义上说,这道题如果不是有个别学生学过,很可能没有一个会设计出10种方法。所以,四、五年級认为很难和比较难的学生占52%和40%。平时教师在教学中,应该重视学生对策略认知的学习,学会有序思考的思维,养成好的习惯。
四、通过“租船问题”的测试和分析,笔者得到以下几点教学体会
1.三、四、五年级学生已初步建立数感,能联系身边具体、有趣的事物进行估算。所以在设计问题时,要适当选择数的大小,不要用太容易口算的数,使学生只看数的大小,而不去理解题意。
2.多读题,加强对题意的正确理解。多个已知条件下,学会科学选择。教会 学生分析题目的策略:一抓、二列、三找、四补。第一,抓题目的问题;第二,根据问题列出主要的数量关系式;第三,找已知与中间问题;第四,解决中间问题。实现2011版数学新课标提出的课堂从原来的“两基”到“四基”中新增加的“基本方法”与“基本思想”的渗透与落实。
3.要重视培养学生估算、猜测的意识和能力。列表法是数学中最常用的解决问题策略,在课堂教学中我们要舍得花时间有意识渗透教授学生此法的运用。
4.小学生喜欢被表扬,教师应该在他们解答问题时多鼓励,尊重学生的差异性,并肯定每一种解题表达形式,让他们敢于思考、敢于表达。教学要具有灵活性,不要把老师或成人的思维方式去影响学生的思维能力,老师要给学生一个独立思考的思维空间及其创新思维能力。
5.从以前的经验我们知道,这道题在教学过程中面临尴尬:思考过程步骤多;数学技能要求高;经验储备不充分等。数学教学中要时时考虑数学知识与生活实际联系,这不仅有利于学生活学活用,还有利于达成数学教育的目的,从而提高学生的数学素养。
孩子们的数学素质是在解决一道道“好问题”的过程中发展起来的。“设计租船问题方案”是一道与生活实际紧密相连的、有现实意义的问题,也是一道经典开放性的数学问题。在我们的教学中,孩子们对于解决这样一个数学问题是否感兴趣,会运用怎么样的解题策略,采用不同策略的学生人数各是多少,第一学段和第二学段学生的解题方法是否不同,这些问题并不十分清楚。为让学生解决一个租船问题,试图发现学生的解题策略,了解学生对解决这个问题的感受,分析学生的数学应用能力,从而调控我们的课堂教学,使其达到高效。
二、测试的问题、对象和过程
1.测试的问题
三(5)班同学去春游。要组织50名同学去划船,大船每条可以坐6人,租金10元;小船可以坐4人,租金8元。如果你是领队人,准备怎样租船?(请你把所有租船的方法都写出来)
如果你完成了,请填写:
你能用 ( )种方法,第 ( )种方法你觉得最合理。
*你喜欢这样的数学题吗? (请在相应的括号里打√)
喜欢( ) 不喜欢 ( ) 一般( )
*你觉得这道题难吗? (请在相应的括号里打√)
很难( ) 比较难 ( ) 不难( )
2.测试的对象
按照现行的北师大版教材,深圳市三年级以上的学生已经学过整数的四则混合运算:知道乘除法的有关应用题的计算方法。因此,测试的对象随机选择了水库小学的三四五年级各一个班。人数分别是50,52,54人,共计156人。年龄分布在8—11岁之间。
3.测试的过程
2018年11月8日下午,在学生不知情的情况下,由调查者组织进行测试。不给学生任何的解题提示,教师也不用读题,直接让学生独立作答。那么,学生在整个解题过程中,都是独立完成的,不能相互交流,在这样的过程中,基本反映出学生独立解答这道经典生活开放题的水平。三年级学生做题时间为15分钟,四年级学生做题时间15分钟,五年级学生做题时间为10分钟。
三、测试结果及分析
1.三、四、五年级有85%以上的学生至少能用一种方法解答这个问题,12%左右的学生不能解决这个问题。在对学生的解题试卷批改过程中,我们发现:三-五年级的学生用正确方法解答的比例是:三年级43人,占86%;四年级45人,占86.5%;五年级49人,占91%。从数据说明这个年段的学生绝大多数有基本的知识和经验,运用已有的能力独立地解决问题,并可以找出至少一种解决问题的方法。
三、四、五年级分别有14%(7人),23.5%(7人),9%(5人)的学生不能解决这个问题。分析学生全错的原因有:
①有个别学生题意不清,理解能力较差。如:题目问“怎样租船?”学生却回答大船每条可以坐7,10,9,8人,小船可以坐3,5,2,7人,与已知条件“大船每条坐6人,小船每条坐4入”相违背,不理解题的意思。
②没能将数学知识与现实生活相结合
如,三年级某学生A,设计小船0条,大船8条,总计80元,而题目是“组织50人去划船,大船每条可以坐6人”,照这名学生的安排,尚有2人无法上船。
四年级某学生B,大船:50×6×lO=300×lO=3000(元);小船:50×4×8=200×8=1600(元),按此题意是一人坐一条大船或一人坐一条小船,这也不符合实际,可见这些学生对于数学知识,只能答题,不能解决生活中遇到的数学问题。
③ 对题意不够理解,出现简单算错的问题
如,四年级学生C: =5(条)……lO(人)答:大船1条,小船5条。三年级学生D:2×6=12(人),20元,50-12=48(人), =12(人),32元,20 32=52(元),答:我要准备4条小船,2条大船共52元。这些都是在计算上出了问题。
2.三、四、五年级学生正确解题方法的数量存在着一定的差异
在小学三-五年级中,一些学生能够运用数学思维,善于思考,给出多种租船方案。有些学生却只能给出单一的方案,不同年级之间给出不同方案的数量也不一样,如下图。
数据可以反映出:同一一做题时间(15分钟),三年级正确解题方法数量少于四年级:不同做题时间,三年级正确解题方法数量还是少于五年级(9分钟)。三年级学生的解题策略与四、五年级相比要单一些,往往只会从比较单一的角度去思考问题。能用5种或5种以上的方法解答的三年级学生约占5 3%,四年级学生约占42 1%,五年级学生约占10%。说明三、四年级学生思维多样性比例相差较大,可以肯定这是两个不同的发展水平阶段。四年级平均每人解题方法的数量为3 3种,五年级是2.6种,四年级用5种或5种方法以上的百分比比五年级高22%,可以發现,不同做题时间能影响四、五年级之间的解题数量,因此,这两个年级思维相差不大。
3.四、五年级学生思维已具灵活性,解题策略呈现多样性
在有1种或1种以上的解答方法的137人中,出现了以上10种不同的方法,体现学生独立解决问题是具有个性的。其中使用方法5的学生占了70.1%,可见较多学生的解题策略是从已知条件中的数字角度去考虑,如6×5=30(人),4×5=20(人)或 =10(人),正好除尽,说明绝大多数的学生在解决数学问题时,更侧重对已知条件数是否刚好计算来考虑,而不是对整个题意的理解。同理,使用方法3、方法7的学生分别占了55.2%,59.7%,也都是刚好坐满,没有多余的座位,这是一种思维定势(平时“数学题”计算大多是正好的)。其他的方法使用次数在10.4%至17.9%之间,这个数据表明,少数学生考虑问题思路开阔,思维灵活,但从总体上看,学生的思维变通性很弱。这样的思维水平值得老师注意和反思。 “先猜后推”型。学生先从其中的一种方法入手,然后进行有序推导,计算出其他方法。如一名三年级学生的解答:
①[猜]6×7=42(人),50-42=8(人),8÷4=2(只)。答:大船租7只,小船租2只。
②[推]6×6=36(人),50-36=14(人),14÷4=3(只)......2(人)。答:大船租6只,小船租4只,由此推导出③,④,⑤,⑥,⑦种。采用这种策略的三年级学生有5人,占10%,四年级学生有2人,占3.8%,五年级学生有10人,占18.5%。采用此种方法的学生一般都能找到4~8种方法,正确率较高。
“列表”型。采用列表格的形式设计方案,有序,简洁,清晰。采用这种策略的四年级学生有30人,占57.7%,五年级学生有2人,占3.7%。这是一种系列性策略,思维有序,条理清晰。采用这种策略的学生都能用7~10种方法解决问题,是最多的。通过访谈四年级学生,得知许多学生已经做过这样的题目,所以能很快找出多种方法。
4.各年级学生关注解决问题合理性的认识不够。
从上表可以看出,学生对方法合理性的认识角度是不同的,出现了6种情况,其中认为方法3合理的学生占28.47%,说明这一小部分学生是从省钱的角度去考虑的。认为方法5合理的学生占25.5%,这一小部分学生是从大船、小船数量同样多就合理的角度去思考的。
数学中有没有相对优化的东西,笔者认为肯定是有的,而且数学本身肯定也是要追求优化的。这一道经典开放题——“租船问题”,从省钱角度去考虑,对第三种方法,我们又作了进一步的统计,见表4。
如果要考虑省钱的因素,那么第三种方案比较好。使用这种方法的学生中,三年级占56%,四年级占28%,五年级占54%。使用了这种方法并认为合理的学生中,三年级占28%,四年级占20%,五年级占40%。可见学生从经济方面考虑合理性能力还不够,只有一小部分学生有这方面的合理应用意识。例如,一名四年级学生设计:大船30只,小船20只,共用460元,就不符合实际,不合理。
5.题目的难易程度
基于学生对题目的难易有一种直接感受心理,笔者在测试卷最后设计了一些选项,如此调查学生对于解决问题的真实感受。据此,也可以窥见学生对开放题的心理接受度,调查结果见表5。
由表5可看出:三年级喜欢这道经典开放题的学生比例明显高于四、五年级,三年级认定此题的难度也同样高于四、五年级学生,有82%的三年级学生喜欢这道题,认为很难或比较难的占了55%。所以,笔者认为,这道租船开放题,对三年级学生来说有一定的难度,虽有86%的学生至少能用一种方法做题,但要求解题呈现多样性有难度。相对于四、五年级学生来说,此题对三年级学生更有挑战性,比较适合三年级学生学习。
由于这是一道开放性的问题,学生在解题时入手很容易,所以有一半的学生认为题目比较容易,觉得“把所有租船的方法都写出来”比较难,如果,不深入有序思考,是很难有10种方法的。通过访谈全对的那名学生得知,他都是用“列表法”设计出10种方法的,这样的问题,他以前在数学‘‘思维兴趣班” 中已经做过,所以很容易。从这个意义上说,这道题如果不是有个别学生学过,很可能没有一个会设计出10种方法。所以,四、五年級认为很难和比较难的学生占52%和40%。平时教师在教学中,应该重视学生对策略认知的学习,学会有序思考的思维,养成好的习惯。
四、通过“租船问题”的测试和分析,笔者得到以下几点教学体会
1.三、四、五年级学生已初步建立数感,能联系身边具体、有趣的事物进行估算。所以在设计问题时,要适当选择数的大小,不要用太容易口算的数,使学生只看数的大小,而不去理解题意。
2.多读题,加强对题意的正确理解。多个已知条件下,学会科学选择。教会 学生分析题目的策略:一抓、二列、三找、四补。第一,抓题目的问题;第二,根据问题列出主要的数量关系式;第三,找已知与中间问题;第四,解决中间问题。实现2011版数学新课标提出的课堂从原来的“两基”到“四基”中新增加的“基本方法”与“基本思想”的渗透与落实。
3.要重视培养学生估算、猜测的意识和能力。列表法是数学中最常用的解决问题策略,在课堂教学中我们要舍得花时间有意识渗透教授学生此法的运用。
4.小学生喜欢被表扬,教师应该在他们解答问题时多鼓励,尊重学生的差异性,并肯定每一种解题表达形式,让他们敢于思考、敢于表达。教学要具有灵活性,不要把老师或成人的思维方式去影响学生的思维能力,老师要给学生一个独立思考的思维空间及其创新思维能力。
5.从以前的经验我们知道,这道题在教学过程中面临尴尬:思考过程步骤多;数学技能要求高;经验储备不充分等。数学教学中要时时考虑数学知识与生活实际联系,这不仅有利于学生活学活用,还有利于达成数学教育的目的,从而提高学生的数学素养。