立足教材改编出彩

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  摘  要:教材例、习题的改编是创造性使用教材的一个重要方面,也是中考命题的常用方法之一. 同时,教材改编题命题背景公平、教学导向正确,是培养学生数学学科核心素养的重要载体和有力支撑. 文章拟从一道改编于教材的中考试题分析和解法探讨入手,谈一谈命题实践方面的启发.
  关键词:教材改编题;解法探讨;命题启发
  综观近几年浙江省各地的中考数学试卷,其中出现了很多改编自教材的试题. 这些试题基于课程标准,源于教材,又高于教材,既实现了对学生“四基”“四能”的考查,又对一线教学起到了示范和引领作用.
  我们常说,课程标准是纲,教材是本;课程标准是方向,教材是载体. 但教师往往很少深入研究课程标准,领悟课程标准,参悟教材,吃透教材. 这极大地影响了数学教学效果. 叶圣陶先生曾说:教材是教课的依据,要想教得好,使学生受益,还得靠教师的善于运用. 言下之意,我们的教学和评价都要重视教材、研究教材. 而基于教材例、习题的改编作为中考命题的常态化方法,正是创造性使用教材的一个缩影. 同时,教材改编题命题背景公平、教学导向正确,既有亲切感,又有挑战性,是培养学生数学学科核心素养的重要载体和有力支撑.
  本文拟从一道改编于教材的中考试题分析入手,探讨解法,并且尝试用这种改编方法命制新题,为命题实践提供一些思路.
  一、试题呈现
  题目 (2019年浙江·嘉兴卷)小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
  (1)温故:如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC = 6,AD = 4,求正方形PQMN的边长.
  (2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图2,任意画△ABC,在AB上任取一点P′,画正方形P′Q′M′N′,使Q′,M′在边BC上,N′在△ABC内,连接BN′并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PQMN. 小波把线段BN称为“波利亚线”.
  (3)推理:证明图2中的四边形PQMN是正方形.
  (4)拓展:在(2)的条件下,于波利亚线BN上截取NE = NM,连接EQ,EM(如图3). 当tan ∠NBM=3/4时,猜想∠QEM的度数,并尝试证明.
  试帮助小波解决“温故”“推理”“拓展”中的问题.
  二、改编评析
  1. 母题简析
  立足教材进行试题改编,既是当下的命题导向,也是教学导向,旨在引领教师利用好教材、研究好教材,对教材例、习题的讲解重过程、抓本质、讲方法、养思维,引导学生学会类比、加工、改造、延伸、拓展,达到“异中求同,同中寻变”的效果.
  上述中考试题改编自浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第149页的作业题5.
  母题  如图4,有一块三角形余料ABC,它的边BC = 120 mm,高线AD = 80 mm. 要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上. 问加工成的正方形零件的边长为多少毫米?
  这是一道经典的三角形内接矩形问题,图中已知条件较多,线段位置关系明显,有多对“A”型相似,又涉及三角形和正方形的高,故此题全面覆盖三角形相似的性质等核心知识. 图形简而不凡,意蕴深厚,思维含量较高,拓展空间较大,受到广大命题者的青睐. 近几年,以此习题为母题,改编成相关三角形内接矩形问题的中考试题比比皆是.
  2. 改编简析
  前述中考试题就是在上述母题的基础上,通过改变问题形态、增加几何元素、扩充定义类型、改变设问方式、提升思维含量等方法,直达改编的新境界,改编形式灵动而巧妙,改编方法大胆而有新意,改编后的中考试题属于阅读学习型问题,也是近几年的高频中考试题类型,内容丰富、构思新颖,以培养学生的主动学习能力和高阶思维养成为目的. 试题主要考查学生的阅读理解能力、自主探究能力、分析推理能力和知识迁移能力,此类学习型试题的一般架构以“给出材料—类比探究—迁移运用”為模式展开,而此题由“温故”“操作”“推理”“拓展”四部分循序推进,在母题的基础上,逐步引申、追问、强化、升华. 第(1)小题“温故”,即为母题原题,只改变数据,入口浅、难度小;第(2)小题“操作”,通过画辅助正方形衍生一个新正方形和一条新线段,引出新定义“波利亚线”,考查学生的实践操作能力和观察阅读能力;第(3)小题“推理”,要求说明新正方形由来的依据,考查学生的即时学习能力和分析推理能力;第(4)小题“拓展”,是此题的精华部分,也是试题的压分点,添加两条线段,增加设问,提升难度,体现中考试题的甄别功能,考查学生的知识迁移能力和创新运用能力.
  三、解法探讨
  限于篇幅,本文主要对试题第(4)小题的解题思路进行梳理.
  思路1:巧设线段用相似.
  由已知,设MN = 3k,BM = 4k,则BN = 5k,BQ = k,BE = 2k. 通过证明△BQE ∽ △BEM,易得∠QEM = 90°.
  思路2:添加垂线证全等.
  如图5,作NF⊥EM于点F. 同思路1,可知△BQE ∽ △BEM. 再证△MQE ≌ △NMF(ASA). 可得∠QEM = ∠MFN = 90°.
  思路3:构造垂直证直角.
  如图6,作EF⊥BC于点F. 同思路1,设NM = 3k,BM = 4k,则MQ = NE = NM = 3k,BE = 2k,BQ = k. 由△BEF ∽ △BNM,可得EF,BF,QF,MF等相关线段长. 进而证得△EFQ ∽ △EFM. 所以∠QEM = ∠QEF + ∠FEM=∠QEF+∠EQF=90°.或进一步求出[QE=3√5/5k,EM=6√5/5k, 利用勾股定理逆定理,可得∠QEM = 90°.   思路4:借双等腰推直角.
  如图7,延长ME交PQ于点H,BE交PQ于点G. 设MN = 3k,BM = 4k,则BN = 5k,BQ = k,BE = 2k. 可得GQ=3/4k,BG=5/4k. 所以GE=3/4k. 所以△GQE和△GHE为等腰三角形. 由此可得∠HEG + ∠GEQ = 90°,即∠QEM = 90°.
  思路5:建系转化求直线.
  如图8,以点Q为坐标原点,BC所在直线为x轴,QP所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy. 设NM = 3k,易得Q(0,0),E(0.6k,1.2k),]M(3k,0). 可得直线QE和直线EM的解析式分别为y = 2x和y = -0.5x + 1.5. 所以QE⊥EM,即∠QEM = 90°.
  思路6:三角函数结合勾股定理.
  此题解法多变、构图多样、思路广进,可以直接证明直角,可以证明两个锐角互余,可以逆用勾股定理,也可以用解析法证明两直线垂直. 试题的本质是由边的关系探究角的关系,综合运用了直角三角形和等腰三角形的性质、三角形全等或相似、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、三角函数、直线解析式求法等知识. 比较分析发现,上述思路可以分两类:一是构造三角形,证明相似或全等;二是证明角为90°或两条线段的夹角等于90°.
  我们提倡试题的一题多解,给试题的命制或改编提供了方向,也是试题命制或改编所追求的目标,试题的第(4)小题解法丰富、百花齐放,充分显示了它特有的教育价值:可以巩固所学知识和方法;可以训练思维的灵活性和发散性;可以从多解中寻求联系,透过现象看本质;有助于培养学生的求异、求新思维,促使学生形成科学的学科认识与学习品质,从而直指核心素养的落地.
  四、命题启发
  基于上述母题,从2019年浙江嘉兴卷中考试题的改编思路中获得一定启发,尝试从以下三个方面对三角形内接矩形问题进行进一步探索和改编.
  1. 改进问题条件,关注几何联想
  改编题1:如图9,在△ABC中,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在边AB,AC上,作PE⊥AB交MN点E.
  (1)证明:BQ = EN;
  (2)若在线段QM上存在点D,使得QD + NE = DP,证明PE为∠NPD的平分线.
  【命题解析】三角形的内接矩形问题以解答题形式呈现的居多,或者赋予问题现实情境,要求学生解决生活中的问题. 大部分是利用相似三角形的性质或判定列出比例式求解问题. 此改编题着眼于几何联想,保持三角形中内接矩形的大背景不变,将直角三角形的全等判定、等腰三角形的性质及正方形的性质联系起来,考查学生的知识综合能力、几何联想能力、逻辑思维能力,以及基本几何图形运用能力.
  解:(1)易证△BPQ ≌ △EPN(ASA),
  所以BQ = EN.
  (2)由(1),得△BPQ ≌ △EPN.
  所以∠B = ∠NEP,∠BPQ = ∠EPN,BQ = EN.
  由QD + NE = DP,
  可證得△DBP为等腰三角形,
  易得∠EPN = ∠DPE.
  所以PE为∠NPD的平分线.
  2. 改变问题形态,变更题型结论
  改编题2:如图10,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在边AB,AC上.
  【命题解析】此改编题的命题思路源自相似三角形中的“A”型相似,故图形与母题基本雷同,数据有微调,题型改变,有计算,侧重几何推理. 考查目标定位于相似三角形判定与性质的运用. 例如,相似三角形中的相似基本图形、相似比等于高之比,以及面积之比等于相似比的平方等性质. 此题属于三角形内接正方形问题的拓展延伸,渗透转化思想和方程思想,旨在对学生的逻辑思维能力、推理能力和运算能力等进行考查.
  3. 改变问题类别,增设新定义型
  改编题3:如图12,在锐角三角形ABC中,点D在边BC上,过点D分别作线段AC,AB的垂线,垂足为点E,F. 如果DE/DF=sin∠CAB,那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正平分线. 已知AB=120,边AB上的高为80.
  【命题解析】此改编题改变母题的题型和呈现方式,保留三角形和内接正方形大背景,以“新定义”问题类型出现,令人耳目一新,备受关注. 此题聚焦的知识点有三角形、矩形、相似三角形、三角函数等,主要考查学生的阅读理解和分析推理能力,旨在培养学生的深度思考习惯和创新变通意识.
  五、结束语
  中考数学试题的命制方法有很多,基于教材经典例、习题的改编长盛不衰,这是对“回归教材,坚守课程标准”理念的传承. 命题者只有重视挖掘教材中例、习题的潜能,方能在对例、习题进行拓展变式时游刃有余. 波利亚认为,变化问题使我们引进了新的内容,从而产生了新的想法,产生了和我们问题有关元素接触的新的可能性. 这就需要命题者以独特的视角看待教材中的数学问题,发现数学背景和数学素材,别出心裁地命制与时俱进的试题,从而使“老题”发出“新芽”、长出“新枝”、结出“新果”.
  参考文献:
  [1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准(2011年版)[M]. 北京:北京师范大学出版社,2012.
  [2]李云萍,徐伟建. 借“题”发挥,提高教学实效性:基于教材例、习题的再设计研究[J]. 中国数学教育(初中版),2019(7 / 8):114-117,123.
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