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摘 要: 解题反思是对整个解题活动深层次的思考,是再发现、再创造的过程。数学问题的解决后,还应该更深一步挖掘题目隐含的条件,命题的目的,所涉及的知识要点和数学思想方法,进一步探讨解题过程的思维方式是否正确、合理、严谨;解决问题的策略是否巧妙,有无其他解法;本题的解法和结论能否进一步推广。反思解题过程,可以培养学生思维的严谨性;反思解题结果,可以培养学生思维的合理性;反思解题方法,可以培养学生思维的创造性;反思“一题多解、一题多变、一解多题”,可以培养学生思维的发散性。
关键词: 数学解题反思 解题过程 解题结果 一题多解 一解多题
在《数学的心脏》中,美国数学家P.R.Halmos提出“数学的心脏是问题”,可见学习数学需要解题。多做题目在一定程度上是可以提高解题能力,然而影响提高数学解题能力,有诸多条件和因素。其中普遍被遗忘的一个重要环节:解题后的“反思”。如何引导学生进行有效的反思呢?笔者做了以下尝试。
一、反思解题过程
(一)解题完成之后应立即反思解题过程,默默问自己:
我的推理过程是否严密?
我的表达是否规范?
我的书写是否简洁?
(二)进一步深入思考:
反思解题方法,是怎样做出来的?
反思解题依据的原理,为什么可以这样做?
反思解题思路,为什么会想到这种方法?
学生通过对解题过程深入细致地反思,变被动接受为主动积极参与、主动获得,既能让学生对概念、定理、规律、方法理解得更加完整和深刻,又易于学生学习的知识内化和正向迁移,还能够培养学生严谨、缜密的思维习惯。
二、反思解题结果
反思解题结果可以检验解题的合理性,丰富解题的成果。解题获得答案后可以反思:我的结论可信吗?还有其他结论吗?还有哪些收获?
(一)反思结果的合理性。
例:学校准备在图书馆后面的场地边上建一个面积为50平方米的长方形自行车棚,一边利用图书馆的后墙,后墙长18米,并利用已有的总长为25米的铁围栏,请你设计,如何搭建较合适?
学生解题得长是20米,宽为2.5米或长为10米,宽为5米。得出结果后反思,两组解都合理吗?
(二)反思解题结果或条件的引申变换,解题后反思题目条件、结论可否变换,能否继续引申,即一题多变。
在完成证明“依次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形”之后,可以反思:如果菱形改为四边形结论会是怎样呢?平行四边形呢?矩形呢?如果是等腰梯形结论又如何?
这样就超出了单纯的为结果而解题,思维的产物也超出题目本身的内涵,具有一定的创新性。
(三)反思解题特点。
反思上例中的解题,会发现共同特点:都要构造三角形,都是应用三角形的中位线解题。
深入思考还发现,所得四边形的形状是由原四边形对角线的性质决定的,对角线互相垂直可得四边形是矩形;对角线相等得到的就是菱形;相等又垂直得到四边形就是正方形。
在解决问题后,引导学生反思,并归纳解题的基本规律,這比解几道题目的意义大多了,不仅使学生掌握了解答某一类问题的规律,形成科学解题的基本思路,还训练了学生从特殊到一般的归纳总结能力。
三、反思一题多解,一解多题
一题多解,即对同一题目,从不同角度运用不同的思维,联系各种数学背景,采用不同的数学方法,广开思路分析探讨,从而获得多种解题途径。通过训练使学生通过反思,从不同的角度、不同的方位分析、思考问题,沟通知识之间的纵横联系,培养发散性思维。
一解多题,即是用同一种(或同类)方法解多个不同的题目,这对于培养学生发现、应用规律的能力,提高学生的数学概括能力有很大的帮助。
四、反思错题
学生在解题中由于审题不清、思维的不严密,对知识理解的不深刻、考虑问题不全面,经常会导致错误的结果。我们应该启发、引导学生对解题结果作进一步反思,从反思中鉴别解题结果的真伪,辨别错误出在何处?产生的根源是什么?如何得出正确答案?
在解题教学中,如果能经常启发引导学生在解题后反思其结果的合理性,反思是否可将题设条件和结果进行引申和变换,反思解题方法的多样性,反思错题的根源,再将不同的题目按解法或按题型或按类型串在一起,不仅有利于学生学习从不同角度、不同层次探索新命题和获取新知识的方法,而且能提高学生解决问题的能力,产生举一反三、触类旁通的教学效应,充分调动学生的学习积极性,还能培养学生的抽象概括思维能力、联想思维能力和建模能力,发展学生的创新思维能力。
参考文献:
[1]单墫.解题研究.南京师范大学出版社,2002.
[2]吕建恒.一道几何题的证明思路及方法.中学数学教学参考,2006,4.
关键词: 数学解题反思 解题过程 解题结果 一题多解 一解多题
在《数学的心脏》中,美国数学家P.R.Halmos提出“数学的心脏是问题”,可见学习数学需要解题。多做题目在一定程度上是可以提高解题能力,然而影响提高数学解题能力,有诸多条件和因素。其中普遍被遗忘的一个重要环节:解题后的“反思”。如何引导学生进行有效的反思呢?笔者做了以下尝试。
一、反思解题过程
(一)解题完成之后应立即反思解题过程,默默问自己:
我的推理过程是否严密?
我的表达是否规范?
我的书写是否简洁?
(二)进一步深入思考:
反思解题方法,是怎样做出来的?
反思解题依据的原理,为什么可以这样做?
反思解题思路,为什么会想到这种方法?
学生通过对解题过程深入细致地反思,变被动接受为主动积极参与、主动获得,既能让学生对概念、定理、规律、方法理解得更加完整和深刻,又易于学生学习的知识内化和正向迁移,还能够培养学生严谨、缜密的思维习惯。
二、反思解题结果
反思解题结果可以检验解题的合理性,丰富解题的成果。解题获得答案后可以反思:我的结论可信吗?还有其他结论吗?还有哪些收获?
(一)反思结果的合理性。
例:学校准备在图书馆后面的场地边上建一个面积为50平方米的长方形自行车棚,一边利用图书馆的后墙,后墙长18米,并利用已有的总长为25米的铁围栏,请你设计,如何搭建较合适?
学生解题得长是20米,宽为2.5米或长为10米,宽为5米。得出结果后反思,两组解都合理吗?
(二)反思解题结果或条件的引申变换,解题后反思题目条件、结论可否变换,能否继续引申,即一题多变。
在完成证明“依次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形”之后,可以反思:如果菱形改为四边形结论会是怎样呢?平行四边形呢?矩形呢?如果是等腰梯形结论又如何?
这样就超出了单纯的为结果而解题,思维的产物也超出题目本身的内涵,具有一定的创新性。
(三)反思解题特点。
反思上例中的解题,会发现共同特点:都要构造三角形,都是应用三角形的中位线解题。
深入思考还发现,所得四边形的形状是由原四边形对角线的性质决定的,对角线互相垂直可得四边形是矩形;对角线相等得到的就是菱形;相等又垂直得到四边形就是正方形。
在解决问题后,引导学生反思,并归纳解题的基本规律,這比解几道题目的意义大多了,不仅使学生掌握了解答某一类问题的规律,形成科学解题的基本思路,还训练了学生从特殊到一般的归纳总结能力。
三、反思一题多解,一解多题
一题多解,即对同一题目,从不同角度运用不同的思维,联系各种数学背景,采用不同的数学方法,广开思路分析探讨,从而获得多种解题途径。通过训练使学生通过反思,从不同的角度、不同的方位分析、思考问题,沟通知识之间的纵横联系,培养发散性思维。
一解多题,即是用同一种(或同类)方法解多个不同的题目,这对于培养学生发现、应用规律的能力,提高学生的数学概括能力有很大的帮助。
四、反思错题
学生在解题中由于审题不清、思维的不严密,对知识理解的不深刻、考虑问题不全面,经常会导致错误的结果。我们应该启发、引导学生对解题结果作进一步反思,从反思中鉴别解题结果的真伪,辨别错误出在何处?产生的根源是什么?如何得出正确答案?
在解题教学中,如果能经常启发引导学生在解题后反思其结果的合理性,反思是否可将题设条件和结果进行引申和变换,反思解题方法的多样性,反思错题的根源,再将不同的题目按解法或按题型或按类型串在一起,不仅有利于学生学习从不同角度、不同层次探索新命题和获取新知识的方法,而且能提高学生解决问题的能力,产生举一反三、触类旁通的教学效应,充分调动学生的学习积极性,还能培养学生的抽象概括思维能力、联想思维能力和建模能力,发展学生的创新思维能力。
参考文献:
[1]单墫.解题研究.南京师范大学出版社,2002.
[2]吕建恒.一道几何题的证明思路及方法.中学数学教学参考,2006,4.