论文部分内容阅读
【摘要】在理论上阐述了发散思维及其特点,以及在数学学习中发散思维的重要性,并通过列举一些解题方法和排除思维障碍的方法来说明在数学学习中培养学生发散思维的方法和途径。
【关键词】:发散思维,能力,培养,数学学习
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128(2010)06-0165-02
1 数学思维与发散思维的概述
1.1 数学思维与发散思维。数学思维从属于一般思维, 是人们在数学活动中的思想或心理的过程与发现,它是通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作,以获得对数学对象的本质和规律性的认识过程,通过数学思维形成的数学概念、关系、原理,是在人的认识系统作用下,对客观事物的数学结构或模型所进行的概括的、间接的反映。从而达到认识和改造客观世界的目的。
发散思维和集中思维是处于不同阶段的并列统一的两种思维方式,这两种思维方式是1950年代由美国心理学家吉尔福特在研究智力结构模型时提出来的。所谓集中思维是思维者把所提供的各种信息聚合起来得到一个正确答案,或者从形式上不同的现象和问题中,发现共同因素的思维过程。而发散思维是对已知的信息进行多方向、多角度、多层次的思考与分析,不局限于既定的理解,提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式,有些心理学家将发散思维与创造性思维相结合,认为发散思维的直接趋向就是创造性思维,希望通过培养学生的发散思维来激发学生的创造性。
1.2 发散思维的特点。
①多向性:由对发散思维的定义,我们知道发散思维是思维能从一个信息朝着多种方向去探寻多种不同的解决问题的途径和方法,这就展现出了多向性的特点,因此,这就要求学生努力学习,多动脑筋,掌握多方面的知识,为培养发散思维能力奠定基础。
②变通性:发散思维要求学生在思维的过程中,不受传统教学模式的束缚,思维灵活而不呆板。
③独特性:发散思维的独特性能在一定程度上训练学生的独创性,培养学生的创新意识。
2 数学教学过程中发散思维能力的培养
新的课程标准中,把培养学生的数学能力以及创新能力提到了书面上来,而正确培养和拓展学生的发散思维能力,对强化其创新意识,提高其数学素质有着举足轻重的作用,这就要求教师在数学课堂教学中应遵循大纲的要求,在牢固掌握课本规定的知识的基础上进行适当的补充,解决尽可能多的问题。注重问题解决的过程,培养学生的发散思维,培养学生分析问题解决问题的能力。
2.1 在新课教学中培养学生的发散思维能力。
①创设适当的问题情境:在新授课中,教师应适时创设问题情景,采取“散”式教学,有目的、有计划地训练学生的发散思维能力。即借助典型实例,利用已学知识,通过各种不同的思维发散形式,引导学生多角度思考问题、多渠道求解问题。如在学习新公式的过程中,教师可以让学生利用自己已经学过的知识,尝试通过多种途径来推导出新公式。
例如,在学习两点距离公式时,求两点间的距离,可充分利用已学的直角坐标系的概念和勾股定理来解决这一问题,也可以由学生们自己开拓自己的思维,寻找解决这一问题的新方法。以推导公式的形式来代替传统教学中纯粹的介绍公式,由学生自己去思考推导的过程,亲身感受解决新问题的成就感,从而培养学生的发散思维。
②适时营造课堂氛围:新课在学生的整个学习过程中起着至关重要的作用,学生对某部分内容新课学习的好坏,往往决定了学生对该部分内容的好恶,从而影响以后的数学学习。数学教学过程不仅是一个认识过程,也是一个情感活动的过程,只有两者结合起来才能构成数学教学中一个自然和谐的整体。学生对数学学习的好恶,就是学生情感活动的一种体现,它直接影响学生的学习兴趣以及学习动力的可持续性。
2.2 在习题课教学中培养学生的发散思维能力。
发散思维是一种创造性思维,其主要包括多向思维、逆向思维和横向思维。
2.2.1 多向思维的训练。发散思维的本质特征是思维的多向性,表现在对已知信息进行多方向、多角度、多层次去分析思考,使思维不拘一格,不局限于某一固定的模式。在数学习题教学中,我认为教师应针对学生的具体情况,适当的采用“一题多解”、“一题多变”、“一题多想”“一法多用”、“一题多用”等模式培养学生的发散思维能力和创新能力。
在“一题多解”中培养发散思维。对于一道数学题,往往由于审视的方向不同,而得到不同的解题方法。在习题课教学中,教师应适时地、有意识地引导学生在已有知识经验的基础上,尽可能地想出多种解决问题的方法,力求追求更好、更简、更巧、更美的解法,从而巩固已学基础知识,并且灵活地运用它们之间的联系,最终达到培养学生的发散思维能力和创新精神。
例1:已知f(x)=1+x2,a,b为相异的实数,求证:| f(a)-f(b) |<| a-b |
这是一道不等式的证明题,可以通过以下几个角度来解题。
一是,按证明绝对值不等式的常规方法,经过平方去绝对值,然后作差
|f(a)-f(b)|2-|a-b|2=|1+a2-1+b2|2-|a-b|2
最后整理,用配方法即可证明。
二是,通过作商,利用共轭根式将分子有理化,最后用放缩原理证明
|f(a)-f(b)||a-b|=|1+a2-1+b2||a-b|=|a2-b2|(1+a2+1+b2)|a-b|=|a+b|1+a2+1+b2<|a+b|a2+b2|a|+|b||a|+|b|=1
三是,用三角代换,利用三角不等式来证明,令x=tanθ,a=tanα,b=tanβ,
0≤θ,a,β≤π2,则f(θ)=secθ
四是,构造复数z=1+xi,利用复数的三角不等式来证明
五是,把f(x)=1+x2=(1-0)2+(x-0)2可看作点P(x,1)到O(0,0)的距离,当a≠b时,由点P1(a,1)、P2(b,1)和原点确定的ΔOP1P2中任两边之差大于第三边,即证。
六是,令y=1+x2,则此函数表示双曲线y2-x2=1的上支,|f(a)-f(b)||a-b|是双曲线上两点(a,f(a))与 (b,f(b))连线斜率的绝对值,则问题可转化为双曲线上支任意弦所在直线的斜率与 的关系,而此双曲线渐近线的斜率为±1。即证。
3 避免和排除思维障碍,培养学生的发散思维
3.1 思维障碍的原因
①受思维定势的影响。思维定势是人们长期形成的一种思维惯性,它有积极的一面,也有消极的一面。当思维趋向与当前问题的解决途径一致时,就可产生积极的有利的促进作用。当它与问题的解决途径相悖或不完全一致时,就会干扰思维,产生不利的影响,使得我们因循守旧,摆脱不了机械记忆和模仿,这就成了思维障碍。
②思维孤立障碍。观察是思维的前提,联想是思维的重要手段,培养学生的观察力和联想力有助于他们深入观察各类题型的结构特征,从而引导学生迅速解题。而很多学生都缺乏观察力和联想力,面对数学题缺少仔细的观察和必要的联系,因此在做一些陌生题时可能会思维短路,产生思维障碍。
3.2 培养学生的发散思维
①培养思维的流畅性一是,从过程的逆向联想中培养思维的流畅性。二是,从公式、法则的引申中培养思维的流畅性。在公式、法则的学习过程中,要引导学生联想它的引申。这样既能加深对公式、法则的理解,还能扩大其应用功能,使学生的基础知识在深度和广度上得到提高。
②培养思维的变通性。变通性即不受思维定势的束缚,思维灵活而不呆板。教师可在教学中对例题,习题的形式(如条件或结论)不断变化。采用“变式”教法,广泛运用“一题多变,一法多用”等手法。排除教学中的定势,促使学生从多角度,多方位考虑问题,从而达到变通能力的培养。此方面在上面已给出详细陈述,这里我就不再阐述。
③培养思维的独创性。思维的独创性体现在思维独特,能对事物表现出超乎寻常见解,广开思路整合创新。教师在教学过程中要有意识地拟定一些问题,引导学生讨论、酝酿,集思广益后自己提出一些独创性的见解或方法,在探索中迸发出创新的火花。
例、若对x≠0,x≠1的一切实数,都有f(x)+f(x-1x)=x+1。求f(x)
分析:按常规解法进行两次替代,此题无法解决。首先启发学生取特殊值探究实验:若x=2,
则f(2)+f(12)=3;若x=12,则f(12)+f(-1)=32;若x=-1,则f(-1)+f(2)=0。再探究发现:f(2)经过三次运算还原。最后产生解法:分别用x、x-1x、11-x代入已知等式得f(x)+f(x-1x)=x+1,f(x-1x)+f(11-x)=x-1x+1,f(11-x)+f(x)=11-x+1,消去f(x-1x)和f(11-x)得f(x)=x3-x2-12x(x-1)
这样在探究的活动中发现規律猜想结论,形成思路创造方法,体现了思维的独创性。
参考文献
[1] 任樟辉.数学思维理论.南宁
[2] 郑君文.张恩华. 数学学习论.南宁
[3] 马德炎.论数学学习中发散思维的特点、作用及培养
[4] 陈文明.高中数学思想和方法
[5] 詹加清.中学生数学思维障碍的排除策略研究
【关键词】:发散思维,能力,培养,数学学习
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128(2010)06-0165-02
1 数学思维与发散思维的概述
1.1 数学思维与发散思维。数学思维从属于一般思维, 是人们在数学活动中的思想或心理的过程与发现,它是通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作,以获得对数学对象的本质和规律性的认识过程,通过数学思维形成的数学概念、关系、原理,是在人的认识系统作用下,对客观事物的数学结构或模型所进行的概括的、间接的反映。从而达到认识和改造客观世界的目的。
发散思维和集中思维是处于不同阶段的并列统一的两种思维方式,这两种思维方式是1950年代由美国心理学家吉尔福特在研究智力结构模型时提出来的。所谓集中思维是思维者把所提供的各种信息聚合起来得到一个正确答案,或者从形式上不同的现象和问题中,发现共同因素的思维过程。而发散思维是对已知的信息进行多方向、多角度、多层次的思考与分析,不局限于既定的理解,提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式,有些心理学家将发散思维与创造性思维相结合,认为发散思维的直接趋向就是创造性思维,希望通过培养学生的发散思维来激发学生的创造性。
1.2 发散思维的特点。
①多向性:由对发散思维的定义,我们知道发散思维是思维能从一个信息朝着多种方向去探寻多种不同的解决问题的途径和方法,这就展现出了多向性的特点,因此,这就要求学生努力学习,多动脑筋,掌握多方面的知识,为培养发散思维能力奠定基础。
②变通性:发散思维要求学生在思维的过程中,不受传统教学模式的束缚,思维灵活而不呆板。
③独特性:发散思维的独特性能在一定程度上训练学生的独创性,培养学生的创新意识。
2 数学教学过程中发散思维能力的培养
新的课程标准中,把培养学生的数学能力以及创新能力提到了书面上来,而正确培养和拓展学生的发散思维能力,对强化其创新意识,提高其数学素质有着举足轻重的作用,这就要求教师在数学课堂教学中应遵循大纲的要求,在牢固掌握课本规定的知识的基础上进行适当的补充,解决尽可能多的问题。注重问题解决的过程,培养学生的发散思维,培养学生分析问题解决问题的能力。
2.1 在新课教学中培养学生的发散思维能力。
①创设适当的问题情境:在新授课中,教师应适时创设问题情景,采取“散”式教学,有目的、有计划地训练学生的发散思维能力。即借助典型实例,利用已学知识,通过各种不同的思维发散形式,引导学生多角度思考问题、多渠道求解问题。如在学习新公式的过程中,教师可以让学生利用自己已经学过的知识,尝试通过多种途径来推导出新公式。
例如,在学习两点距离公式时,求两点间的距离,可充分利用已学的直角坐标系的概念和勾股定理来解决这一问题,也可以由学生们自己开拓自己的思维,寻找解决这一问题的新方法。以推导公式的形式来代替传统教学中纯粹的介绍公式,由学生自己去思考推导的过程,亲身感受解决新问题的成就感,从而培养学生的发散思维。
②适时营造课堂氛围:新课在学生的整个学习过程中起着至关重要的作用,学生对某部分内容新课学习的好坏,往往决定了学生对该部分内容的好恶,从而影响以后的数学学习。数学教学过程不仅是一个认识过程,也是一个情感活动的过程,只有两者结合起来才能构成数学教学中一个自然和谐的整体。学生对数学学习的好恶,就是学生情感活动的一种体现,它直接影响学生的学习兴趣以及学习动力的可持续性。
2.2 在习题课教学中培养学生的发散思维能力。
发散思维是一种创造性思维,其主要包括多向思维、逆向思维和横向思维。
2.2.1 多向思维的训练。发散思维的本质特征是思维的多向性,表现在对已知信息进行多方向、多角度、多层次去分析思考,使思维不拘一格,不局限于某一固定的模式。在数学习题教学中,我认为教师应针对学生的具体情况,适当的采用“一题多解”、“一题多变”、“一题多想”“一法多用”、“一题多用”等模式培养学生的发散思维能力和创新能力。
在“一题多解”中培养发散思维。对于一道数学题,往往由于审视的方向不同,而得到不同的解题方法。在习题课教学中,教师应适时地、有意识地引导学生在已有知识经验的基础上,尽可能地想出多种解决问题的方法,力求追求更好、更简、更巧、更美的解法,从而巩固已学基础知识,并且灵活地运用它们之间的联系,最终达到培养学生的发散思维能力和创新精神。
例1:已知f(x)=1+x2,a,b为相异的实数,求证:| f(a)-f(b) |<| a-b |
这是一道不等式的证明题,可以通过以下几个角度来解题。
一是,按证明绝对值不等式的常规方法,经过平方去绝对值,然后作差
|f(a)-f(b)|2-|a-b|2=|1+a2-1+b2|2-|a-b|2
最后整理,用配方法即可证明。
二是,通过作商,利用共轭根式将分子有理化,最后用放缩原理证明
|f(a)-f(b)||a-b|=|1+a2-1+b2||a-b|=|a2-b2|(1+a2+1+b2)|a-b|=|a+b|1+a2+1+b2<|a+b|a2+b2|a|+|b||a|+|b|=1
三是,用三角代换,利用三角不等式来证明,令x=tanθ,a=tanα,b=tanβ,
0≤θ,a,β≤π2,则f(θ)=secθ
四是,构造复数z=1+xi,利用复数的三角不等式来证明
五是,把f(x)=1+x2=(1-0)2+(x-0)2可看作点P(x,1)到O(0,0)的距离,当a≠b时,由点P1(a,1)、P2(b,1)和原点确定的ΔOP1P2中任两边之差大于第三边,即证。
六是,令y=1+x2,则此函数表示双曲线y2-x2=1的上支,|f(a)-f(b)||a-b|是双曲线上两点(a,f(a))与 (b,f(b))连线斜率的绝对值,则问题可转化为双曲线上支任意弦所在直线的斜率与 的关系,而此双曲线渐近线的斜率为±1。即证。
3 避免和排除思维障碍,培养学生的发散思维
3.1 思维障碍的原因
①受思维定势的影响。思维定势是人们长期形成的一种思维惯性,它有积极的一面,也有消极的一面。当思维趋向与当前问题的解决途径一致时,就可产生积极的有利的促进作用。当它与问题的解决途径相悖或不完全一致时,就会干扰思维,产生不利的影响,使得我们因循守旧,摆脱不了机械记忆和模仿,这就成了思维障碍。
②思维孤立障碍。观察是思维的前提,联想是思维的重要手段,培养学生的观察力和联想力有助于他们深入观察各类题型的结构特征,从而引导学生迅速解题。而很多学生都缺乏观察力和联想力,面对数学题缺少仔细的观察和必要的联系,因此在做一些陌生题时可能会思维短路,产生思维障碍。
3.2 培养学生的发散思维
①培养思维的流畅性一是,从过程的逆向联想中培养思维的流畅性。二是,从公式、法则的引申中培养思维的流畅性。在公式、法则的学习过程中,要引导学生联想它的引申。这样既能加深对公式、法则的理解,还能扩大其应用功能,使学生的基础知识在深度和广度上得到提高。
②培养思维的变通性。变通性即不受思维定势的束缚,思维灵活而不呆板。教师可在教学中对例题,习题的形式(如条件或结论)不断变化。采用“变式”教法,广泛运用“一题多变,一法多用”等手法。排除教学中的定势,促使学生从多角度,多方位考虑问题,从而达到变通能力的培养。此方面在上面已给出详细陈述,这里我就不再阐述。
③培养思维的独创性。思维的独创性体现在思维独特,能对事物表现出超乎寻常见解,广开思路整合创新。教师在教学过程中要有意识地拟定一些问题,引导学生讨论、酝酿,集思广益后自己提出一些独创性的见解或方法,在探索中迸发出创新的火花。
例、若对x≠0,x≠1的一切实数,都有f(x)+f(x-1x)=x+1。求f(x)
分析:按常规解法进行两次替代,此题无法解决。首先启发学生取特殊值探究实验:若x=2,
则f(2)+f(12)=3;若x=12,则f(12)+f(-1)=32;若x=-1,则f(-1)+f(2)=0。再探究发现:f(2)经过三次运算还原。最后产生解法:分别用x、x-1x、11-x代入已知等式得f(x)+f(x-1x)=x+1,f(x-1x)+f(11-x)=x-1x+1,f(11-x)+f(x)=11-x+1,消去f(x-1x)和f(11-x)得f(x)=x3-x2-12x(x-1)
这样在探究的活动中发现規律猜想结论,形成思路创造方法,体现了思维的独创性。
参考文献
[1] 任樟辉.数学思维理论.南宁
[2] 郑君文.张恩华. 数学学习论.南宁
[3] 马德炎.论数学学习中发散思维的特点、作用及培养
[4] 陈文明.高中数学思想和方法
[5] 詹加清.中学生数学思维障碍的排除策略研究