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【摘要】“以学习者为中心”教学模式，主张教学思想、教学方法、教学设计等方面均以学习者为主，教师的作用是引发学习者思考，然后为学习者留出深入探究的空间，让学习者成为学习真正意义上的主人.
【关键词】学习者为中心;初中数学;三角形面积
一、“以学习者为中心”理念的内涵
“以学习者为中心”就是把重点放在个体学习者身上，探究学习如何发生，以及如何激发学习者的积极性，在此基础上探索最有效的教学途径.“以学习者为中心”的教学是以人本主义和建构主义学习理论为基础的.“以学习者为中心”的教学理念，要求教师改变多年来的传统教学思想，在课堂教学中真正做到以学生为中心.
二、案例分析与研究
（一）教学内容
求平面直角坐标系内三角形的面积，例题为人教版数学七年级下册第七章平面直角坐标系习题7.2第9题.原题：△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求△AOB的面积.（提示：△AOB的面积可以看作一个长方形的面积减去几个小三角形的面积.）
（二）教学思想
思考：本题虽然给出了提示，但是在计算的过程中涉及求一个长方形以及三个三角形的面积，计算量较大，学习者在计算时稍不留意就容易出错.此外，随着△AOB的顶点坐标发生改变，有的學习者不能很清晰地构造出△AOB的面积是哪一个长方形的面积减去哪些小三角形的面积.因此，寻找新的解题方法显得尤其重要.若能根据三角形顶点的坐标，直接用公式求出它的面积，那么学习者更易接受，更能彻底掌握.
（三）教学方法
教师课前准备好几何画板课件，在课件的制作中，设置参数（a，b）、（c，d），分别为所要求的△AOB的顶点A、B的坐标.教学中，教师先通过软件度量出△AOB的面积，让学习者感受到运用软件带来的方便，激起他们探究新知的强烈兴趣;改变各参数的大小，改变△AOB的顶点坐标，引导学习者发现顶点坐标与面积的大小的关系;通过计算多组数据，学习者猜测、总结出公式;再鼓励小组合作证明所得的公式;最后通过平移变换，求出任意三角形的面积，完成教学目标.
（四）教学片段
环节1.谈一谈
师：在上节课的学习中，我们通过补形法求出了三角形的面积.在计算三角形面积的过程中你有什么想法，请谈谈你的感受.
生1：要计算的面积较多，容易出错.
生2：当图中没有方格时，不会计算.
师：用补形法求平面直角坐标系内三角形的面积过程比较烦琐，不少同学在解题过程中遇到了困难.那么我们能不能利用公式直接计算平面直角坐标系内三角形的面积呢？
生3：通过网络搜索，我发现如果一个三角形的顶点坐标都是整数，那么可以利用pick定理计算.
pick定理：如果一个简单多边形（以下称为“多边形”）的每个顶点都是直角坐标平面上的格点，那么称该多边形为格点多边形.若一个面积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S=12a b-1.
如图所示，在△ABC中，点A（-1，2），点B（3，3），点C（2，1） .边界上有3个格点，所以a为3，三角形内部也有3个格点，所以b 为3，可得S△ABC = 12×3 3-1=3.5.
生4：利用pick定理计算习题7.2第9题，观察下图中的△AOB，发现其边界上有6个点，边界内部有8个点，所以S△AOB= 12×6 8-1=10.
师：利用pick定理我们能够快速有效地计算格点三角形的面积，但只要三角形的顶点坐标中有一个顶点不为整数时，就无法利用此定理进行计算.那么有没有什么公式适用于计算平面直角坐标系内任意三角形的面积呢？
环节2.观一观
师：本节课我们先利用几何画板来探讨有一个顶点坐标为（0，0）的三角形的面积.请同学们仔细观察下面的操作.
教师打开事先准备好的几何画板课件，选择“度量”菜单下的“面积”，度量出画好的三角形的面积，并多次改变三角形的顶点坐标，反复“度量”——“面积”.
师：请同学说出你想度量出的三角形的顶点坐标，并度量其面积，全体同学记下顶点坐标及对应的面积.
生5：△AOB的顶点分别为A（3，4），B（5，2），面积为7; △AOB的顶点分别为A（2，5），B（3，3），面积为4.5……
生6：△AOB的顶点分别为A（4，1），B（1，3），面积为5.5; △AOB的顶点分别为A（2，4），B（-2，1），面积为5……
环节3.算一算
师：设△AOB的顶点为A（xa，ya），B（xb，yb），请大家用你刚记录下来的数据计算xa yb 与xbya的差.例如：△AOB的顶点为A（3，4），B（5，2），3×2-4×5=-14.
生7：△AOB的顶点为A（2，5），B（3，3），2×3-5×3=-9.
生8：△AOB的顶点为A（4，1），B（1，3），4×3-1×1=11.
生9：△AOB的顶点为A（2，4），B（-2，1），2×1-4×（-2）=10.
环节4.猜一猜
师：同学们根据计算的结果，对照前面我们度量出的三角形的面积，能猜一猜有一顶点坐标为（0，0）的三角形的面积与另外两点坐标之间有什么关系吗？
生10：△AOB的顶点为A（4，1），B（1，3），4×3-1×1=11，面积为5.5.所以我猜测2S△AOB =xa yb -xbya.
生11：△AOB的顶点为A（2，5），B（3，3），2×3-5×3=-9，面积为4.5.所以我猜测2S△AOB = xbya-xa yb. 生12：根据前面同学所说，我猜测S△AOB =12︱xa yb -xbya︱.
环节5.证一证
师：我们只通过几组数据猜测出的公式不一定是正确的，因此还要进行几何证明.请同学们分成若干个小组，在直角坐标系内画出顶点为A（xa，ya），B（xb，yb）的△AOB，并通过割补法求出△AOB的面积.
师根据下图示范解题过程：由A（xa，ya），B（xb，yb）得C（0，ya），D（xb，ya），E（0，yb）.
所以S矩形BDCE = CD×CE =xb（ya- yb） ，S△AOC =12 AC×CO=12 xaya，S△BOE =12 BE×OE=-12 xbyb，S△ADB =12 AD×BD=12 （xb- xa） （ya- yb），S△AOB = S矩形BDCE -S△AOC-S△BOE-S△ADB = xb（ya- yb） -12 xaya 12 xbyb-12 （xb- xa） （ya- yb），化简整理得：S△AOB =12（xb ya-xa yb）.
学习小组画图并计算，在计算的过程中遇到困难，可寻求教师的帮助.
生13：根据自画图形，我们小组得到：S△AOB =12（xa yb -xb ya）.
生14：根据自画图形，我们小组得到：S△AOB =12（xb ya -xa yb）.
综上可得，当一个顶点坐标为（0，0）时，三角形面积公式为12|xayb-xbya|.
环节6.跳一跳
师：到此，我们证明出：S△AOB =12︱xa yb -xbya︱，但这个公式只适用于三角形中有一个顶点的坐标为（0，0）.如果一个三角形的三个顶点都不在原点，
那么我们又该怎么办呢？
如：△ABC中，A，B，C三点的坐标分别为（2，4），（6，2），（3，-1），求△ABC的面积.
生15：因为平移不改变图形的大小，所以可以先把△ABC平移，使其有一个顶点坐标为（0，0）.将C点平移到C1点，使C1点与原点重合，同时A点平移到A1点（-1，5），B点平移到B1点（3，3），然后根据公式算出平移后三角形的面积，从而得出所要求的△ABC的面积为12×︱3×5 -3×（-1）︱=9.
生16：我的方法也是平移，不過我平移的是坐标系，使坐标系的原点与三角形的一个顶点重合……
三、结语
“以学习者为中心”要求教师把重点放在学习者身上，在整个教学的过程中，都要考虑到学习者的特点，从而设计课程节奏，引导其快乐学习，以达到真正提高学习者的综合素质的目的.
【关键词】学习者为中心;初中数学;三角形面积
一、“以学习者为中心”理念的内涵
“以学习者为中心”就是把重点放在个体学习者身上，探究学习如何发生，以及如何激发学习者的积极性，在此基础上探索最有效的教学途径.“以学习者为中心”的教学是以人本主义和建构主义学习理论为基础的.“以学习者为中心”的教学理念，要求教师改变多年来的传统教学思想，在课堂教学中真正做到以学生为中心.
二、案例分析与研究
（一）教学内容
求平面直角坐标系内三角形的面积，例题为人教版数学七年级下册第七章平面直角坐标系习题7.2第9题.原题：△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求△AOB的面积.（提示：△AOB的面积可以看作一个长方形的面积减去几个小三角形的面积.）
（二）教学思想
思考：本题虽然给出了提示，但是在计算的过程中涉及求一个长方形以及三个三角形的面积，计算量较大，学习者在计算时稍不留意就容易出错.此外，随着△AOB的顶点坐标发生改变，有的學习者不能很清晰地构造出△AOB的面积是哪一个长方形的面积减去哪些小三角形的面积.因此，寻找新的解题方法显得尤其重要.若能根据三角形顶点的坐标，直接用公式求出它的面积，那么学习者更易接受，更能彻底掌握.
（三）教学方法
教师课前准备好几何画板课件，在课件的制作中，设置参数（a，b）、（c，d），分别为所要求的△AOB的顶点A、B的坐标.教学中，教师先通过软件度量出△AOB的面积，让学习者感受到运用软件带来的方便，激起他们探究新知的强烈兴趣;改变各参数的大小，改变△AOB的顶点坐标，引导学习者发现顶点坐标与面积的大小的关系;通过计算多组数据，学习者猜测、总结出公式;再鼓励小组合作证明所得的公式;最后通过平移变换，求出任意三角形的面积，完成教学目标.
（四）教学片段
环节1.谈一谈
师：在上节课的学习中，我们通过补形法求出了三角形的面积.在计算三角形面积的过程中你有什么想法，请谈谈你的感受.
生1：要计算的面积较多，容易出错.
生2：当图中没有方格时，不会计算.
师：用补形法求平面直角坐标系内三角形的面积过程比较烦琐，不少同学在解题过程中遇到了困难.那么我们能不能利用公式直接计算平面直角坐标系内三角形的面积呢？
生3：通过网络搜索，我发现如果一个三角形的顶点坐标都是整数，那么可以利用pick定理计算.
pick定理：如果一个简单多边形（以下称为“多边形”）的每个顶点都是直角坐标平面上的格点，那么称该多边形为格点多边形.若一个面积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S=12a b-1.
如图所示，在△ABC中，点A（-1，2），点B（3，3），点C（2，1） .边界上有3个格点，所以a为3，三角形内部也有3个格点，所以b 为3，可得S△ABC = 12×3 3-1=3.5.
生4：利用pick定理计算习题7.2第9题，观察下图中的△AOB，发现其边界上有6个点，边界内部有8个点，所以S△AOB= 12×6 8-1=10.
师：利用pick定理我们能够快速有效地计算格点三角形的面积，但只要三角形的顶点坐标中有一个顶点不为整数时，就无法利用此定理进行计算.那么有没有什么公式适用于计算平面直角坐标系内任意三角形的面积呢？
环节2.观一观
师：本节课我们先利用几何画板来探讨有一个顶点坐标为（0，0）的三角形的面积.请同学们仔细观察下面的操作.
教师打开事先准备好的几何画板课件，选择“度量”菜单下的“面积”，度量出画好的三角形的面积，并多次改变三角形的顶点坐标，反复“度量”——“面积”.
师：请同学说出你想度量出的三角形的顶点坐标，并度量其面积，全体同学记下顶点坐标及对应的面积.
生5：△AOB的顶点分别为A（3，4），B（5，2），面积为7; △AOB的顶点分别为A（2，5），B（3，3），面积为4.5……
生6：△AOB的顶点分别为A（4，1），B（1，3），面积为5.5; △AOB的顶点分别为A（2，4），B（-2，1），面积为5……
环节3.算一算
师：设△AOB的顶点为A（xa，ya），B（xb，yb），请大家用你刚记录下来的数据计算xa yb 与xbya的差.例如：△AOB的顶点为A（3，4），B（5，2），3×2-4×5=-14.
生7：△AOB的顶点为A（2，5），B（3，3），2×3-5×3=-9.
生8：△AOB的顶点为A（4，1），B（1，3），4×3-1×1=11.
生9：△AOB的顶点为A（2，4），B（-2，1），2×1-4×（-2）=10.
环节4.猜一猜
师：同学们根据计算的结果，对照前面我们度量出的三角形的面积，能猜一猜有一顶点坐标为（0，0）的三角形的面积与另外两点坐标之间有什么关系吗？
生10：△AOB的顶点为A（4，1），B（1，3），4×3-1×1=11，面积为5.5.所以我猜测2S△AOB =xa yb -xbya.
生11：△AOB的顶点为A（2，5），B（3，3），2×3-5×3=-9，面积为4.5.所以我猜测2S△AOB = xbya-xa yb. 生12：根据前面同学所说，我猜测S△AOB =12︱xa yb -xbya︱.
环节5.证一证
师：我们只通过几组数据猜测出的公式不一定是正确的，因此还要进行几何证明.请同学们分成若干个小组，在直角坐标系内画出顶点为A（xa，ya），B（xb，yb）的△AOB，并通过割补法求出△AOB的面积.
师根据下图示范解题过程：由A（xa，ya），B（xb，yb）得C（0，ya），D（xb，ya），E（0，yb）.
所以S矩形BDCE = CD×CE =xb（ya- yb） ，S△AOC =12 AC×CO=12 xaya，S△BOE =12 BE×OE=-12 xbyb，S△ADB =12 AD×BD=12 （xb- xa） （ya- yb），S△AOB = S矩形BDCE -S△AOC-S△BOE-S△ADB = xb（ya- yb） -12 xaya 12 xbyb-12 （xb- xa） （ya- yb），化简整理得：S△AOB =12（xb ya-xa yb）.
学习小组画图并计算，在计算的过程中遇到困难，可寻求教师的帮助.
生13：根据自画图形，我们小组得到：S△AOB =12（xa yb -xb ya）.
生14：根据自画图形，我们小组得到：S△AOB =12（xb ya -xa yb）.
综上可得，当一个顶点坐标为（0，0）时，三角形面积公式为12|xayb-xbya|.
环节6.跳一跳
师：到此，我们证明出：S△AOB =12︱xa yb -xbya︱，但这个公式只适用于三角形中有一个顶点的坐标为（0，0）.如果一个三角形的三个顶点都不在原点，
那么我们又该怎么办呢？
如：△ABC中，A，B，C三点的坐标分别为（2，4），（6，2），（3，-1），求△ABC的面积.
生15：因为平移不改变图形的大小，所以可以先把△ABC平移，使其有一个顶点坐标为（0，0）.将C点平移到C1点，使C1点与原点重合，同时A点平移到A1点（-1，5），B点平移到B1点（3，3），然后根据公式算出平移后三角形的面积，从而得出所要求的△ABC的面积为12×︱3×5 -3×（-1）︱=9.
生16：我的方法也是平移，不過我平移的是坐标系，使坐标系的原点与三角形的一个顶点重合……
三、结语
“以学习者为中心”要求教师把重点放在学习者身上，在整个教学的过程中，都要考虑到学习者的特点，从而设计课程节奏，引导其快乐学习，以达到真正提高学习者的综合素质的目的.