论文部分内容阅读
【摘要】在现实的数学教学中,受传统教学思想的影响,过于注重知识的获取,过分强调接受学习、死记硬背、机械训练,轻视学习过程,忽略学生思维发展。本文对数学思维的品质作了界定和简单阐述,指明探究的问题,然后从“数学思维特性及品质培养例谈”与“数学思维能力培养”两大方面进行论述,希望能改变数学教学的现状。
【关键词】思维 品质 能力 培养 教学
Research on cultivating students’ mathematics thinking
Chen E
【Abstract】In the realistic mathematics teaching, affected by the traditional teaching ideas, teachers pay too much attention to the obtainment of knowledge and emphasize memorizing by rote and practicing by rote too much, but ignore the learning course and the development of students’ thinking. In this paper, the writer has made a definition and a simple expatiation on the quality of the mathematics thinking, designated the researchful problem and then made a discussion from two aspects, hoping to change the present situation of the mathematics teaching. The first aspect is talking about cultivating the mathematics thinking character and the quality and the other is about how to cultivate the mathematics ideation.
【Keywords】Thinking Quality Ability Cultivation Teaching
现代数学教学要求教师让学生从“学会”到“会学”,即掌握数学思维方法,发展数学思维,形成能力。要会学,最根本的一条就是要在传授知识的过程中充分展示数学过程,使数学教学成为数学活动的教学,从而培养学生的数学思维,发展成为能力。改变传统僵化的数学教学模式,使数学能力核心——数学思维得到真正的发展。
1.数学思维浅述。心理学研究指出,思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括与间接的反映。数学思维,是人脑对数学对象的本质和内在规律性关系的概括与间接的反映。
1.1 数学思维的特征。由于数学这门学科本身的高度概括性和抽象性,就决定了数学思维的特征:第一是概括性,第二是间接性。如:人们最熟悉的自然数并不“自然”,现实中并不存在,它是概括了不同事物在“数量”方面的特征后的结果;数学中的点、线、面也是对人类长期积累的经验的抽象概括的结果,因此,数学思维是概括之上的概括。再有,数学概念是对数学本质的抽象,这种抽象只保留了事物的数量关系和空间形式,而舍弃了其他自然属性,而且这种数量关系和空间形式是理想化的,这也就导致了数学学科与现实事物之间的“天然距离”,从而使数学思维更加间接。
1.2 数学思维的品质。数学思维品质与一般思维品质一样都具有五个方面的特性,即:思维的灵活性、批判性、深刻性、敏捷性和创造性,这五种思维品质相辅相成,组成一个有机的整体。其中,思维深刻性是一切思维品质的基础。
这五个方面的思维品质也正是我们衡量学生数学能力的基本标准,为我们指明了在数学教学过程中培养学生能力的基本方向。
2.在数学教学中思维能力的培养途径。
2.1 激发兴趣。“兴趣是最好的老师”,浓厚的学习兴趣能有效地诱发学习动机,促使学生自觉集中精力,积极思维,全神贯注地投入学习活动。在实际教学中,要从点滴抓起,及时点拨,启迪思维,以发展和培养学生的思维能力。比如立体几何入门课教学时,可提问学生:6根火柴能组成4个三角形吗?学生受思维定势的影响,仅局限于在一个平面内,无论如何是摆不出来的,此时,他们就会产生疑问,6根火柴真能组成4个三角形吗?从学生的眼神里可以看到他们强烈的探索欲望。这时老师给予启发,如6根火柴不一定放在一个平面内,从而把学生的思维推向空间,很快获得了成功。接着老师给出正四面体模型,引导学生认真观察。通过这样的事例,能有效地打破在一个平面上思维的局限,从而激起学生学习立体几何的欲望。
新大纲中增加了重视创新意识和实践能力的培养这一小节说明,在具体内容中增加探究性活动。课文中增加了探究课、探究性习题。教学实践表明,解答这类问题只运用逻辑思维难以完成,需要把逻辑思维、形象思维和直觉思维综合起来发挥作用,产生创新性思维。创新思维能力是在点点滴滴积累中形成的,这就要求教师在每个教学环节中有意识地创设情境去培养。在计算公式的推导中、在“想一想,猜一猜”中、在应用性问题的探究中,落实创新思维能力的培养。如:在学完解直角三角形后,我在习题课上提出一题:已知C城市在B城市的正北方向,两城市相距100KM,计划在两城市间修筑一条高速公路(即线段BC),经测量,森林保护区A在B城市以北偏东60度的方向上,又在C城市以南偏东30度的方向上,已知森林保护区A的范围是以A为圆心,半径为50KM的圆。问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?为什么?此题是一个涉及环保的应用问题,综合考查学生的数学基础知识,对学生灵活运用知识有较高的要求。通过解决这个问题,还可以充分发挥学生的主动性和创造性。果不出我所料,学生兴致倍增。10分钟后得出答案“会”。
2.2 设计有梯度的问题。在课堂教学中,让学生进入探索未知的主动思维状态,是提高学生思维能力,获得良好教学效果不可缺少的条件。亚里士多德曾经说过,思维自疑问和惊奇开始。启发式教学中的提问,正是拨动学生思维之弦的重要手段,成功的课堂提问可以收到理想的教学效果。但是如果课堂提问难度过大,学生会产生畏惧心理和厌学情绪。因此对一些复杂问题,老师应设计一个由浅入深、有表及里的梯度提问系列,引导学生步步深入。
在解题教学中,引导学生认真审题,探索信息,发现隐含关系,引导学生分析解题方法的优劣,优化解题过程,寻找最佳解法等。如:已知:矩形ABCD的边长AB=3,AD=2,把这矩形放入平面直角坐标系XOY中,使AB在X轴正半轴上,C、D落在第一象限,且点D在直线Y=-3X+5上,以AB为直径作圆M,抛物线Y=ax2+bx+c经过A、B两点,顶点为P。
①求点A、B、M的坐标;
②若点P在圆M外且在矩形ABCD内时,求a的取值范围;
③在⑵中若OP与圆M相切,切点为Q,求此时抛物线的解析式。
在分析中,需引导学生深入研究题设,深挖隐含条件,如在此题抛物线的顶点P在AB的垂直平分线上,题目条件中并没有明确给出,就要引导学生去发现;又抛物线的解析式有一般式、顶点式及双根式,所以,根据题意正确选择抛物线的解析式,解起来便会省力。此题还涉及到构造特殊的图形,用到数学的转化思想、数形结合思想。
2.3 揭示知识形成的过程。传统的数学教学重视结果、轻过程,而现代教学理论认为,教学过程既是学生的认识过程,也是学生思维发展的过程,因此数学教学不单单是将现成结论灌输给学生,更要充分的利用特例、实验、现代教学手段,设计一系列问题,从而形成一个完整的认识过程,留给学生足够的思维空间,充分发挥学生想象,全面发展学生的思维。
例如讲数学概念就需要重点揭示概念的抽象、概括过程,抓住本质特征。比如讲负数概念可以从计算3-5=?问题入手,负数是为了表示现实生活中具有相反意义的量,揭示这些历史背景,有利于学生对负数的正确认识,有利于建立负数的概念。
在概括能力培养的过程中,教师应设计教学情境,明确概括路线,引导学生猜想、发现。教师设计教学情境时,首先应当在分析新旧知识之间的本质联系与区别的基础上,紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的,安排猜想过程,促使学生发现内在规律;其次应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系,并确定同化模式,从而确定猜想的主要内容;再有应设计多种启发路线,在关键步骤上放手让学生猜想,使学生的思维真正经历概括过程。
如:在讲点与圆的三种位置关系时,我不是让学生被动地听教师讲,而是让学生在练习本上先画一个圆,然后提问:这个圆把平面分成几个部分?有的学生说两部分,有的学生说三个部分,到底是几个部分呢?引导学生相互议论,最后通过学生的充分感知,得到正确的结论,再进一步揭示圆内部分、圆外部分可以各看成是一个集合(因为在讲圆的概念时,学生已经理解了,圆是到定点的距离等于定长的点的集合),让学生通过观察、比较、归纳概括出:
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
在此进一步提出问题:若设圆的半径为r,点A到圆心的距离为d,当点A与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时,点A和圆的位置关系有什么变化。学生通过思考得出:点A和圆的位置关系由圆内变到圆上又变到圆外。在此,我启发同学:若点B也如同点A那样变化,则与圆的位置关系怎样呢?这个规律对任一点是否都一样呢?在一个一个的设疑解决之后提出:点与圆的位置关系,怎样描述呢?此时d与r之间又有怎样的关系呢?引发学生思考、概括。学生用语言概括之后,教师板书关系式:
点在圆内dr。
这样把点和圆看成是运动变化得到的三种情况,便于学生理解、思考与概括,同时让学生掌握用运动的观点去对待一个静止问题的数学思维方法,从而使学生的思维得到训练与发展。
2.4 多角度思考问题。逆向思维是发展数学思维的重要方面,在数学教学中应有意识的加强逆向思维训练,突破思维定势,发展学生的数学思维。
例如:在有理数加法运算的符号法则中异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,对于这一点,往往强调这一法则在判断和的符号上的功能。反过来,如果知道两数和的符号,当然可判断两数绝对值的大小。
例:已知A>0,B<0,且A=a2+ab,B=b2+ab,判断|A|、|B|的大小。
这题常用比较法判断大小,但都要用分情况讨论,而如果运用实数的加法运算的法则,则求解的过程就大大简化,这是因为A+B=a2+2ab+b2=(a+b)2>0,A、B异号,A与A+B同号,所以|A|>|B|。
思维的发散性是指能使学生产生多角度和多层次思维活动,能用多种方法和多种途径探求知识和问题,即一题多解、一题多用等。设计思维的发散点,能培养学生的创新意识、创新精神和创新能力。
例:如图,已知△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,点E为 的中点,求证:∠EAD=∠EAO。
证法1:(思维方法:要证明∠EAD=∠EAO,因为E是 的中点,所以 = ,所以∠BAE=∠CAE,这样就只需证明∠BAO=∠CAD就可得出结论了。)
证法2:(思维方法:因为E是 的中点,点O为圆心,所以连接OE,则直线OE就经过圆心,平分弦BC所对的弧,所以OE⊥BC。又因为AD⊥BC,从而利用平行线的内错角相等直接去证明∠EAD=∠EAO。)
3.总结。充分展示出数学发展生动活泼的本来面目,才能揭示数学思维的本质,也为我们提供了探索未知领域的基本思想和方法。数学教学中,我们只有以数学思维的揭示和培养为立足点展开数学活动,才能真正达到数学教学的目的。
参考文献
1 徐利治.数学与思维[M].湖南:湖南教育出版社,1998
2 马忠林.学科现代教育理论书系[M].南宁:广西教育出版社,2000
3 单墫.数学是思维的学科[J].数学通报.2001(6)
4 章建跃.对数学本质特征的若干认识[J].数学通报.2001(6)
5 朱成万.着意思维,体现人文[J].中学数学教学参考.2003(8)
6 任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996
7 张乃达.数学思维教育学[M].南京:江苏教育出版社,1990
8 黄光荣.问题链方法与数学思维[J].数学教育学报.2003. 12(2)
【关键词】思维 品质 能力 培养 教学
Research on cultivating students’ mathematics thinking
Chen E
【Abstract】In the realistic mathematics teaching, affected by the traditional teaching ideas, teachers pay too much attention to the obtainment of knowledge and emphasize memorizing by rote and practicing by rote too much, but ignore the learning course and the development of students’ thinking. In this paper, the writer has made a definition and a simple expatiation on the quality of the mathematics thinking, designated the researchful problem and then made a discussion from two aspects, hoping to change the present situation of the mathematics teaching. The first aspect is talking about cultivating the mathematics thinking character and the quality and the other is about how to cultivate the mathematics ideation.
【Keywords】Thinking Quality Ability Cultivation Teaching
现代数学教学要求教师让学生从“学会”到“会学”,即掌握数学思维方法,发展数学思维,形成能力。要会学,最根本的一条就是要在传授知识的过程中充分展示数学过程,使数学教学成为数学活动的教学,从而培养学生的数学思维,发展成为能力。改变传统僵化的数学教学模式,使数学能力核心——数学思维得到真正的发展。
1.数学思维浅述。心理学研究指出,思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括与间接的反映。数学思维,是人脑对数学对象的本质和内在规律性关系的概括与间接的反映。
1.1 数学思维的特征。由于数学这门学科本身的高度概括性和抽象性,就决定了数学思维的特征:第一是概括性,第二是间接性。如:人们最熟悉的自然数并不“自然”,现实中并不存在,它是概括了不同事物在“数量”方面的特征后的结果;数学中的点、线、面也是对人类长期积累的经验的抽象概括的结果,因此,数学思维是概括之上的概括。再有,数学概念是对数学本质的抽象,这种抽象只保留了事物的数量关系和空间形式,而舍弃了其他自然属性,而且这种数量关系和空间形式是理想化的,这也就导致了数学学科与现实事物之间的“天然距离”,从而使数学思维更加间接。
1.2 数学思维的品质。数学思维品质与一般思维品质一样都具有五个方面的特性,即:思维的灵活性、批判性、深刻性、敏捷性和创造性,这五种思维品质相辅相成,组成一个有机的整体。其中,思维深刻性是一切思维品质的基础。
这五个方面的思维品质也正是我们衡量学生数学能力的基本标准,为我们指明了在数学教学过程中培养学生能力的基本方向。
2.在数学教学中思维能力的培养途径。
2.1 激发兴趣。“兴趣是最好的老师”,浓厚的学习兴趣能有效地诱发学习动机,促使学生自觉集中精力,积极思维,全神贯注地投入学习活动。在实际教学中,要从点滴抓起,及时点拨,启迪思维,以发展和培养学生的思维能力。比如立体几何入门课教学时,可提问学生:6根火柴能组成4个三角形吗?学生受思维定势的影响,仅局限于在一个平面内,无论如何是摆不出来的,此时,他们就会产生疑问,6根火柴真能组成4个三角形吗?从学生的眼神里可以看到他们强烈的探索欲望。这时老师给予启发,如6根火柴不一定放在一个平面内,从而把学生的思维推向空间,很快获得了成功。接着老师给出正四面体模型,引导学生认真观察。通过这样的事例,能有效地打破在一个平面上思维的局限,从而激起学生学习立体几何的欲望。
新大纲中增加了重视创新意识和实践能力的培养这一小节说明,在具体内容中增加探究性活动。课文中增加了探究课、探究性习题。教学实践表明,解答这类问题只运用逻辑思维难以完成,需要把逻辑思维、形象思维和直觉思维综合起来发挥作用,产生创新性思维。创新思维能力是在点点滴滴积累中形成的,这就要求教师在每个教学环节中有意识地创设情境去培养。在计算公式的推导中、在“想一想,猜一猜”中、在应用性问题的探究中,落实创新思维能力的培养。如:在学完解直角三角形后,我在习题课上提出一题:已知C城市在B城市的正北方向,两城市相距100KM,计划在两城市间修筑一条高速公路(即线段BC),经测量,森林保护区A在B城市以北偏东60度的方向上,又在C城市以南偏东30度的方向上,已知森林保护区A的范围是以A为圆心,半径为50KM的圆。问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?为什么?此题是一个涉及环保的应用问题,综合考查学生的数学基础知识,对学生灵活运用知识有较高的要求。通过解决这个问题,还可以充分发挥学生的主动性和创造性。果不出我所料,学生兴致倍增。10分钟后得出答案“会”。
2.2 设计有梯度的问题。在课堂教学中,让学生进入探索未知的主动思维状态,是提高学生思维能力,获得良好教学效果不可缺少的条件。亚里士多德曾经说过,思维自疑问和惊奇开始。启发式教学中的提问,正是拨动学生思维之弦的重要手段,成功的课堂提问可以收到理想的教学效果。但是如果课堂提问难度过大,学生会产生畏惧心理和厌学情绪。因此对一些复杂问题,老师应设计一个由浅入深、有表及里的梯度提问系列,引导学生步步深入。
在解题教学中,引导学生认真审题,探索信息,发现隐含关系,引导学生分析解题方法的优劣,优化解题过程,寻找最佳解法等。如:已知:矩形ABCD的边长AB=3,AD=2,把这矩形放入平面直角坐标系XOY中,使AB在X轴正半轴上,C、D落在第一象限,且点D在直线Y=-3X+5上,以AB为直径作圆M,抛物线Y=ax2+bx+c经过A、B两点,顶点为P。
①求点A、B、M的坐标;
②若点P在圆M外且在矩形ABCD内时,求a的取值范围;
③在⑵中若OP与圆M相切,切点为Q,求此时抛物线的解析式。
在分析中,需引导学生深入研究题设,深挖隐含条件,如在此题抛物线的顶点P在AB的垂直平分线上,题目条件中并没有明确给出,就要引导学生去发现;又抛物线的解析式有一般式、顶点式及双根式,所以,根据题意正确选择抛物线的解析式,解起来便会省力。此题还涉及到构造特殊的图形,用到数学的转化思想、数形结合思想。
2.3 揭示知识形成的过程。传统的数学教学重视结果、轻过程,而现代教学理论认为,教学过程既是学生的认识过程,也是学生思维发展的过程,因此数学教学不单单是将现成结论灌输给学生,更要充分的利用特例、实验、现代教学手段,设计一系列问题,从而形成一个完整的认识过程,留给学生足够的思维空间,充分发挥学生想象,全面发展学生的思维。
例如讲数学概念就需要重点揭示概念的抽象、概括过程,抓住本质特征。比如讲负数概念可以从计算3-5=?问题入手,负数是为了表示现实生活中具有相反意义的量,揭示这些历史背景,有利于学生对负数的正确认识,有利于建立负数的概念。
在概括能力培养的过程中,教师应设计教学情境,明确概括路线,引导学生猜想、发现。教师设计教学情境时,首先应当在分析新旧知识之间的本质联系与区别的基础上,紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的,安排猜想过程,促使学生发现内在规律;其次应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系,并确定同化模式,从而确定猜想的主要内容;再有应设计多种启发路线,在关键步骤上放手让学生猜想,使学生的思维真正经历概括过程。
如:在讲点与圆的三种位置关系时,我不是让学生被动地听教师讲,而是让学生在练习本上先画一个圆,然后提问:这个圆把平面分成几个部分?有的学生说两部分,有的学生说三个部分,到底是几个部分呢?引导学生相互议论,最后通过学生的充分感知,得到正确的结论,再进一步揭示圆内部分、圆外部分可以各看成是一个集合(因为在讲圆的概念时,学生已经理解了,圆是到定点的距离等于定长的点的集合),让学生通过观察、比较、归纳概括出:
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
在此进一步提出问题:若设圆的半径为r,点A到圆心的距离为d,当点A与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时,点A和圆的位置关系有什么变化。学生通过思考得出:点A和圆的位置关系由圆内变到圆上又变到圆外。在此,我启发同学:若点B也如同点A那样变化,则与圆的位置关系怎样呢?这个规律对任一点是否都一样呢?在一个一个的设疑解决之后提出:点与圆的位置关系,怎样描述呢?此时d与r之间又有怎样的关系呢?引发学生思考、概括。学生用语言概括之后,教师板书关系式:
点在圆内d
这样把点和圆看成是运动变化得到的三种情况,便于学生理解、思考与概括,同时让学生掌握用运动的观点去对待一个静止问题的数学思维方法,从而使学生的思维得到训练与发展。
2.4 多角度思考问题。逆向思维是发展数学思维的重要方面,在数学教学中应有意识的加强逆向思维训练,突破思维定势,发展学生的数学思维。
例如:在有理数加法运算的符号法则中异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,对于这一点,往往强调这一法则在判断和的符号上的功能。反过来,如果知道两数和的符号,当然可判断两数绝对值的大小。
例:已知A>0,B<0,且A=a2+ab,B=b2+ab,判断|A|、|B|的大小。
这题常用比较法判断大小,但都要用分情况讨论,而如果运用实数的加法运算的法则,则求解的过程就大大简化,这是因为A+B=a2+2ab+b2=(a+b)2>0,A、B异号,A与A+B同号,所以|A|>|B|。
思维的发散性是指能使学生产生多角度和多层次思维活动,能用多种方法和多种途径探求知识和问题,即一题多解、一题多用等。设计思维的发散点,能培养学生的创新意识、创新精神和创新能力。
例:如图,已知△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,点E为 的中点,求证:∠EAD=∠EAO。
证法1:(思维方法:要证明∠EAD=∠EAO,因为E是 的中点,所以 = ,所以∠BAE=∠CAE,这样就只需证明∠BAO=∠CAD就可得出结论了。)
证法2:(思维方法:因为E是 的中点,点O为圆心,所以连接OE,则直线OE就经过圆心,平分弦BC所对的弧,所以OE⊥BC。又因为AD⊥BC,从而利用平行线的内错角相等直接去证明∠EAD=∠EAO。)
3.总结。充分展示出数学发展生动活泼的本来面目,才能揭示数学思维的本质,也为我们提供了探索未知领域的基本思想和方法。数学教学中,我们只有以数学思维的揭示和培养为立足点展开数学活动,才能真正达到数学教学的目的。
参考文献
1 徐利治.数学与思维[M].湖南:湖南教育出版社,1998
2 马忠林.学科现代教育理论书系[M].南宁:广西教育出版社,2000
3 单墫.数学是思维的学科[J].数学通报.2001(6)
4 章建跃.对数学本质特征的若干认识[J].数学通报.2001(6)
5 朱成万.着意思维,体现人文[J].中学数学教学参考.2003(8)
6 任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996
7 张乃达.数学思维教育学[M].南京:江苏教育出版社,1990
8 黄光荣.问题链方法与数学思维[J].数学教育学报.2003. 12(2)