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摘 要：为系统地研究钢筋混凝土板极限承载力判据，首先利用有限元软件建立钢筋混凝土双向板在不同边界条件下从初始加载至破坏的全过程分析，提取混凝土单元的弹性应变能;然后对钢筋混凝土双向板应变能进行概率分布拟合，由分布拟合的参数变化趋势推断出它的极限承载力.研究表明：钢筋混凝土双向板的弹性应变能分布拟合符合对数正态分布.随着荷载增加，对数正态分布的拟合参数先增加后趋于稳定;对拟合参数进行曲线拟合发现，二次多项式拟合程度最好，根据二次多项式方程推断出构件的极限承载力，与理论值对比误差很小，验证了本文提出判据的可行性.
关键词：概率分布;对数正态分布;极限承载力;判據;弹性应变能;曲线拟合
中图分类号：TU375.2 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.013
0 引言
目前，极限承载力判据主要应用于边坡稳定性分析和拱坝失稳临界状态判别，主要评价方法有3种[1-2]：收敛性判据[3-4]、特征点位移突变判据[5-6]和塑性区贯通判据[7-8].但这3类判据都存在一定的局限性.吕庆等[9]认为有限元计算收敛性判据容易受人为因素控制，在某些情况下获得的安全系数误差较大.刘金龙等[10]认为塑性区贯通是构件破坏的主要因素，但还应判断构件是否产生很大的且无限发展的塑性变形和位移.为克服上述局限性，专家学者在前人研究的基础上提出了一些新的极限承载力判据.陈华等[11]根据不同的预应力碳纤维加固混凝土T形梁破坏模式分析，提出了预应力碳纤维加固混凝土T形梁正截面抗弯承载力公式.邓宇等[12]通过研究不同因素对FRP筋混凝土板承载能力的变化，推导出相应的FRP筋混凝土板破坏形态抗弯承载力计算公式.徐晓阳等[13]在对比分析了3种判据的基础上，针对边坡稳定性问题，改进了收敛性判据，并定义为运行极限时步法.陈迪辉等[14]通过分析上述3种判据的缺点，引入了尖点突变理论作为拱坝整体失稳的判据.付成华等[15]对围岩系统稳定性判据进行研究，基于突变理论提出了位移模突变判据、洞周屈服区面积突变判据和广义黏塑性剪应变突变判据.张凤勇等[16]基于有限元强度折减法，对重力坝深层稳定性进行分析，提出了一种以接触面状态作为失稳判据的方法.夏雨等[17-18]对钢筋混凝土梁单元第一主应力变化量进行统计分析，提出了基于第一主应力变化量判断构件是否达到极限承载力的判据;在统计分析钢筋混凝土梁单元应变能的基础上，提出了基于弹性应变能的判断构件极限承载力的判据.
关于极限承载力理论判据，房屋建筑结构领域的学者多是以工程结构试验中的材料或结构破坏特性为依据来推导极限承载力，缺乏有限元理论的支撑，难以验证数据的收敛性，且工程效率相对较低及方法单一.在边坡和拱坝等工程领域中，极限承载力判据理论已取得了较多的研究成果.以此为基础，结合弹性应变能概率分布形式及变化情况来开展钢筋混凝土结构极限承载力判据的研究，能够客观反映构件变形过程中的能量积累，降低数值计算误差，为结构或构件承载力计算理论提供了一种新思路.针对钢筋混凝土结构中的梁构件，本课题组已进行基于主应力变化量和弹性应变能的极限承载力判据初探[17-18].本文将进一步对钢筋混凝土板的极限承载力判据展开系统性研究，研究对象以四边简支板为主，扩展到不同边界条件下板的弹性应变能分析.
1 有限元模型
本文研究对象为钢筋混凝土方形板，板尺寸为1.60 m×1.60 m×0.08 m.钢筋混凝土板的有限元模型采用整体式模型，其单元选用SOLID65，将钢筋连续均匀分布于整个模型中，综合考虑了混凝土与钢筋对板刚度的贡献，在精确计算的基础上更容易收敛.在材料本构关系上，混凝土不考虑开裂和压碎，采用多线性等向强化模型MISO，钢筋选用双线性等向强化模型BISO.为了实现钢筋混凝土板四边简支，首先对双向板底面的四条边进行Z轴方向的约束，然后在相邻的两条边上，一边进行X、Y方向的约束，另一边进行Y方向的约束.为了防止模型出现应力奇异，在模型顶面施加竖向均布荷载，荷载子步数为100;同时为了使计算易收敛，采用位移收敛准则.在顶面依次施加均布荷载，加载工况分9种，工况1—工况9分别为：10 kPa、15 kPa、 20 kPa、25 kPa、30 kPa、35 kPa、40 kPa、43 kPa、45 kPa，其中，加入43 kPa是为了更准确地探究应变能在接近极限状态下的分布情况和变化规律.在每种工况计算稳定后，依次提取混凝土单元的弹性应变能进行分析.
混凝土选用C30，其立方体抗压强度标准值[fcu，k=30.00] MPa，单轴抗压强度[fc=14.30 ] MPa，单轴抗拉强度[ft=1.43] MPa，开裂裂缝的剪力传递系数[βt=0.50]，闭合裂缝的剪力传递系数[βc=0.95]，弹性模量[Ec=3×104] MPa，泊松比[υc=0.2].
钢筋选用HRB335，屈服强度[fy=300.00] MPa，弹性模量[Es=2×105] MPa，泊松比[υs=0.3]，板配筋采用双层双向配筋，钢筋直径8 mm，每根间距 200 mm.构件的三维模型如图1所示.
2 基于混凝土单元弹性应变能统计推断
在均布荷载作用下，假设在各个工况下，混凝土单元弹性应变能分布特征和变化规律对钢筋混凝土板的破坏具有作用效应.本文对9种工况下钢筋混凝土板进行数值模拟计算，提取混凝土单元弹性应变能作为研究对象，对样本数据进行概率分布拟合得到相应的参数，再根据概率密度函数参数的变化规律，推断出极限承载力，进而提出一种基于弹性应变能的极限承载力判据. 从现有研究可知，概率分布应基于已有观测数据以经验方法确定，其做法分为2种：一是画出数据的频率直方图，通过比较特定的概率密度函数和相应的频率直方图直观地推断分布类型;二是将数据点画在不同概率纸上，如果数据点近似成线性趋势，则生成该概率纸的分布就可能是一个合适的分布类型.
将数值计算中混凝土单元划分的个数共4 096个作为样本数据，画出其频率直方图与相应的概率密度函数.在此过程中重点是如何选择分割区间宽度，如果区间划分过宽，频率直方图显得粗糙;反之，如果分割区间划分过细，则频率直方图的平滑性不够好.解决上述问题的处理方法有2种：一是选择直方图分割区间数近似等于样本数据个数的平方根;二是根據样本大小和数据的分布情况，自动选择频率直方图的宽度和位置，这个规则适用于许多类型的数据，可以有效地解决直方图平滑性不够好的问题.本文采取第2种方法，具体的拟合图如图2所示.
经过对比多种拟合函数与频率直方图，从图2的9种工况拟合情况可以看出，对数正态分布与频率直方图最为吻合.混凝土单元弹性应变能随着荷载增加而不断增大，当荷载增加到一定数值，弹性应变能趋于稳定，由工况1的2.5×104 mJ逐渐发展到工况6的5.0×105 mJ，最后稳定到工况9的6.0×105 mJ.对于上述现象，推测为：在加载初期，荷载较小，混凝土单元弹性应变能还有较大的储备空间，所以最大应变能较小;随着荷载不断增加，混凝土单元的弹性应变能逐渐达到满载状态，导致应变能持续增大并趋于稳定.
工况1中，最大密度值约为2.5×10-4;随着荷载增加，最大密度值不断减小，工况9最大密度值降到最小，约为1.5×10-5.从9种工况直方图可以看出，混凝土单元弹性应变能主要集中在0～2.0×105 mJ，当弹性应变能超过2.0×105 mJ后，对应的密度值很小;图2（a）—图2（d）的密度变化幅度较大，而图2（e）—图2（i）密度变化幅度较小并趋于稳定.这种现象表明，混凝土单元的弹性应变能在荷载的作用下逐渐变化，对应的密度也随之改变，最后储存弹性应变能的混凝土单元的变形达到极限，对应的密度值趋于稳定.
从图2可以看出，对数正态分布与频率直方图拟合情况良好.为了检验拟合情况，用对数正态概率纸进行绘制，对数正态概率纸是根据变量的累积概率对应于所指定的理论分布累积概率绘制的散点图，能够直观地检测样本数据是否符合某一概率分布，如果被检验的数据符合所指定的分布，则样本数据的点基本在理论分布的对角线上.画出钢筋混凝土板弹性应变能对数正态分布概率纸，如图3 所示.
从图3的9种工况图可知，弹性应变能的数据点几乎都落在指定的对数正态分布的概率图上，只有较少数的数据偏离曲线，这进一步表明对数正态分布函数是混凝土单元应变能拟合的最佳概率密度函数.
3 分布类型的拟合优度检验
频率直方图和P-P图是从图像上直观判断出混凝土弹性应变能的分布类型，为了使上述结果更准确，还应从理论上确定混凝土弹性应变能的分布类型，为此对其进行拟合优度检验.目前，广泛应用的拟合优度检验方法有3类，即[x2]、Kolmogorov-Smirnov（K-S）和Anderson-Darling（A-D）方法.综合考虑3种方法，选择K-S检验方法对9种工况下的对数正态分布函数进行拟合优度检验，该检验的基本出发点是比较经验累积频率与假定理论分布的概率分布函数.检验的显著性水平取0.1，即置信区间为90%，得出的评价指标如表1所示.
从表1可知，各工况下的h值均为0，表明混凝土单元弹性应变能拟合分布服从对数正态分布.分析ksstat可知，其值均小于临界值cv，表明混凝土单元弹性应变能拟合分布服从对数正态分布.但是，工况1—工况4（加载初期）ksstat略小于临界值cv，表明在加载初期混凝土单元弹性应变能勉强服从对数正态分布.其实际意义可以理解为：在加载初期，弹性应变能在混凝土单元的分布不均匀，波动较大;随着均布荷载增加，混凝土单元的变形也不断增加，既导致储存弹性应变能的单元数目增加，又导致已储存弹性应变能单元的数值增加. 因此，在此期间应变能勉强服从对数正态分布.在加载中后期，ksstat明显小于临界值cv，表明在此期间应变能完全服从对数正态分布.实际意义可以理解为：在加载中后期，混凝土单元的变形进一步增加，储存应变能的混凝土单元已经饱和，变化的仅为应变能的数值，应变能完全服从对数正态分布.综上所述，钢筋混凝土板从加载初期直至破坏阶段的全过程中，弹性应变能都服从对数正态分布.
4 基于对数正态分布的极限承载力分析
对数正态分布与正态分布相似，其概率密度函数为：
[f（x|μ， σ）=12πxσexp-12σ2lnx-μ2， x>0 0 ， x≤0]
其中：[-∞<μ<+∞]，是对数平均值，也称位置参数;[σ≥0]，是对数标准差，也称形状参数.通过分析得到9种工况下对数正态分布的拟合参数如表2所示.
从表2可以看出，随着荷载的增加，拟合参数也相应增加，当荷载达到一定数值，拟合参数将趋于稳定.拟合参数[μ、σ]分别表示其位置和形状大小的变化，根据这些参数的变化情况可以推断出混凝土板的极限承载力.拟合优度如表3所示， [μ]、[σ]的拟合情况如图4、图5所示. 从图4和图5可以看出，拟合参数[μ]和[σ]最终都趋于稳定，因此，取参数趋于稳定的点所对应的荷载作为钢筋混凝土板的极限荷载值.为了求得参数最后趋于稳定的点，分别对[μ]和[σ]进行曲线拟合，拟合结果如表3所示.从表3中的确定系数（R-square）可知，当拟合参数[μ]和[σ]的拟合程度分别达到99.82%和99.74%时，方差（SSE）和均方根（RMSE）均趋于0，表明二次多项式是最佳拟合情况.参数最终趋于稳定的点即曲线水平对应的点，也就是二次多项式的对称轴，分别计算出其对称轴，结果如表4所示.
从表4可以看出，拟合参数[μ]、[σ]最终趋于稳定，对应的荷载分别为46.13 kPa和47.86 kPa，为安全起见，取两者中较小值46.13 kPa作为极限承载力.为了对比，采用屈服线理论计算本文钢筋混凝土板的极限承载力[19]，计算公式如下：
[pu=]
[12×（2M1u+2M2u+M'1u+M″1u+M'2u+M″2u）l2o1（3lo2-lo1）]
式中：[M1u]、[M2u]表示对应于[lo1]（短跨）、[lo2]（长跨）方向跨中极限承载力，[M'1u]、[M″1u]、[M'2u]、[M″2u]表示对应于[lo1]、[lo2]两对边支座的极限承载力.
板的计算参数：
[fc]为混凝土轴心抗压强度标准值，[ft]为混凝土轴心抗拉强度标准值，[Ec]为混凝土的弹性模量，[fy]、[f'y]为普通钢筋抗拉、抗压强度设计值，[Es]为钢筋的弹性模量，[as]为下部纵向受拉钢筋合力点至受拉构件边缘的竖向距离，[h0]为截面有效高度.以四边简支双向板为例，各参数取值为：
[fc=14.30 N/mm2，ft=1.43 N/mm2，Ec=3×104 N/mm2，fy=300.00 N/mm2，f'y=300.00 N/mm2，Es=2×105 N/mm2，as=20.00 mm，h0=60.00 mm.]
单位长度钢筋截面面积：
[As=251.20 mm2]
截面受压区高度：
[x=Asfyα1fcb=5.27 mm]
式中：[α1]为混凝土受压区等效矩形应力系数，取值1.0;[b]为单位宽度，取值1 000.
单位宽度极限正抵抗弯矩：
[mu=fyAs（h0-x2）=4.32 kN· m/m].
单位宽度极限负抵抗弯矩：
[m'u=fyAs（h0-x2）=4.32 kN· m/m].
跨中极限承载力：
[M1u=M2u=Mu×板长度（1.60 m）=6.91 kN· m].
单位面积极限荷载：
[pu=12×2M1u+2M2ul2o13lo2-lo1=40.50 kPa].
式中：[lo1=lo2=1.60 m].
经计算，拟合参数[σ]与理论值[pu]的极限荷载分别为46.13 kPa、40.50 kPa，拟合参数推断的极限荷载与理论计算值的误差为13.90%.拟合参数是根据有限元计算混凝土单元弹性应变能后分布拟合得来，其值依赖于有限元的计算结果.由于应变能的变化客观存在，单元尺寸、网格划分收敛准则及精度的影响不可避免地产生误差.因此，本文提出的基于混凝土弹性应变能的拟合参数推断极限承载力是可行的.
5 其他边界条件下极限承载力分析
在上述四边简支双向板的基础上，增加四边固定、一边固定三边简支、两邻边固定两邻边简支、三边固定一边简支、两对边固定两对边简支等5种边界情况，分别记为1、2、3、4、5、6号板，计算结果如表5所示.
6 结论
本文提取钢筋混凝土双向板从初始加载直至破坏阶段全过程的弹性应变能，分析其在不同工况下的变化规律，提出了一种基于应变能的双向板极限承载力判据.得到如下结论：
1）钢筋混凝土双向板受到均布荷载作用时，在初始加载直至破坏阶段的整个过程中，弹性应变能服从对数正态分布.
2）通过研究四邊简支双向板、四边固定、一边固定三边简支、两邻边固定两邻边简支、三边固定一边简支、两对边固定两对边简支件下双向板的弹性应变能，发现应变能均服从对数正态分布;根据对正态分布的2个参数的变化，推断出不同边界条件下双向板极限承载力，并与理论计算值对比，得出误差分别为13.90%、8.89%、9.49%、11.51%、12.93%、10.68%，说明基于应变能判据推出的极限承载力具有较高的可靠性和适用性.
参考文献
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[19] 程文瀼，李爱群，康谷贻，等.混凝土结构[M].北京：中國建筑工业出版社，2016.
Criterion for ultimate bearing capacity of reinforced concrete slab based on strain energy
XIA Yu， CHANG Yuan， YU Yingye
（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，
Liuzhou 545006， China）
Abstract： In order to study the criterion for the ultimate bearing capacity of reinforced concrete， the finite element software is firstly used to construct the whole process analysis of two-way reinforced concrete slabs under different borders from the initial loadings to the destruction， to extract the elastic strain energy of concrete units. Then， the probability distribution of the corresponding variable energy is fitted， and the ultimate bearing capacity of the reinforced concrete slab is inferred from the parameter change trend of the distribution fitting. It is shown that the elastic strain energy distribution fitting of reinforced concrete slab conforms to the log-normal distribution， and as the load increases， the fitting parameters of the log-normal distribution first increase and then become stable. Then，the curve fitting of the fitting parameters shows that the quadratic polynomial is best. According to the quadratic polynomial formula， the ultimate bearing capacity of the component is inferred. The error is small compared with the theoretical value， verifying the feasibility of the criterion proposed in this paper.
Key words： probability distribution; log-normal distribution; ultimate bearing capacity; criterion; elastic strain energy; curve fitting
（责任编辑：罗小芬）
关键词：概率分布;对数正态分布;极限承载力;判據;弹性应变能;曲线拟合
中图分类号：TU375.2 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.013
0 引言
目前，极限承载力判据主要应用于边坡稳定性分析和拱坝失稳临界状态判别，主要评价方法有3种[1-2]：收敛性判据[3-4]、特征点位移突变判据[5-6]和塑性区贯通判据[7-8].但这3类判据都存在一定的局限性.吕庆等[9]认为有限元计算收敛性判据容易受人为因素控制，在某些情况下获得的安全系数误差较大.刘金龙等[10]认为塑性区贯通是构件破坏的主要因素，但还应判断构件是否产生很大的且无限发展的塑性变形和位移.为克服上述局限性，专家学者在前人研究的基础上提出了一些新的极限承载力判据.陈华等[11]根据不同的预应力碳纤维加固混凝土T形梁破坏模式分析，提出了预应力碳纤维加固混凝土T形梁正截面抗弯承载力公式.邓宇等[12]通过研究不同因素对FRP筋混凝土板承载能力的变化，推导出相应的FRP筋混凝土板破坏形态抗弯承载力计算公式.徐晓阳等[13]在对比分析了3种判据的基础上，针对边坡稳定性问题，改进了收敛性判据，并定义为运行极限时步法.陈迪辉等[14]通过分析上述3种判据的缺点，引入了尖点突变理论作为拱坝整体失稳的判据.付成华等[15]对围岩系统稳定性判据进行研究，基于突变理论提出了位移模突变判据、洞周屈服区面积突变判据和广义黏塑性剪应变突变判据.张凤勇等[16]基于有限元强度折减法，对重力坝深层稳定性进行分析，提出了一种以接触面状态作为失稳判据的方法.夏雨等[17-18]对钢筋混凝土梁单元第一主应力变化量进行统计分析，提出了基于第一主应力变化量判断构件是否达到极限承载力的判据;在统计分析钢筋混凝土梁单元应变能的基础上，提出了基于弹性应变能的判断构件极限承载力的判据.
关于极限承载力理论判据，房屋建筑结构领域的学者多是以工程结构试验中的材料或结构破坏特性为依据来推导极限承载力，缺乏有限元理论的支撑，难以验证数据的收敛性，且工程效率相对较低及方法单一.在边坡和拱坝等工程领域中，极限承载力判据理论已取得了较多的研究成果.以此为基础，结合弹性应变能概率分布形式及变化情况来开展钢筋混凝土结构极限承载力判据的研究，能够客观反映构件变形过程中的能量积累，降低数值计算误差，为结构或构件承载力计算理论提供了一种新思路.针对钢筋混凝土结构中的梁构件，本课题组已进行基于主应力变化量和弹性应变能的极限承载力判据初探[17-18].本文将进一步对钢筋混凝土板的极限承载力判据展开系统性研究，研究对象以四边简支板为主，扩展到不同边界条件下板的弹性应变能分析.
1 有限元模型
本文研究对象为钢筋混凝土方形板，板尺寸为1.60 m×1.60 m×0.08 m.钢筋混凝土板的有限元模型采用整体式模型，其单元选用SOLID65，将钢筋连续均匀分布于整个模型中，综合考虑了混凝土与钢筋对板刚度的贡献，在精确计算的基础上更容易收敛.在材料本构关系上，混凝土不考虑开裂和压碎，采用多线性等向强化模型MISO，钢筋选用双线性等向强化模型BISO.为了实现钢筋混凝土板四边简支，首先对双向板底面的四条边进行Z轴方向的约束，然后在相邻的两条边上，一边进行X、Y方向的约束，另一边进行Y方向的约束.为了防止模型出现应力奇异，在模型顶面施加竖向均布荷载，荷载子步数为100;同时为了使计算易收敛，采用位移收敛准则.在顶面依次施加均布荷载，加载工况分9种，工况1—工况9分别为：10 kPa、15 kPa、 20 kPa、25 kPa、30 kPa、35 kPa、40 kPa、43 kPa、45 kPa，其中，加入43 kPa是为了更准确地探究应变能在接近极限状态下的分布情况和变化规律.在每种工况计算稳定后，依次提取混凝土单元的弹性应变能进行分析.
混凝土选用C30，其立方体抗压强度标准值[fcu，k=30.00] MPa，单轴抗压强度[fc=14.30 ] MPa，单轴抗拉强度[ft=1.43] MPa，开裂裂缝的剪力传递系数[βt=0.50]，闭合裂缝的剪力传递系数[βc=0.95]，弹性模量[Ec=3×104] MPa，泊松比[υc=0.2].
钢筋选用HRB335，屈服强度[fy=300.00] MPa，弹性模量[Es=2×105] MPa，泊松比[υs=0.3]，板配筋采用双层双向配筋，钢筋直径8 mm，每根间距 200 mm.构件的三维模型如图1所示.
2 基于混凝土单元弹性应变能统计推断
在均布荷载作用下，假设在各个工况下，混凝土单元弹性应变能分布特征和变化规律对钢筋混凝土板的破坏具有作用效应.本文对9种工况下钢筋混凝土板进行数值模拟计算，提取混凝土单元弹性应变能作为研究对象，对样本数据进行概率分布拟合得到相应的参数，再根据概率密度函数参数的变化规律，推断出极限承载力，进而提出一种基于弹性应变能的极限承载力判据. 从现有研究可知，概率分布应基于已有观测数据以经验方法确定，其做法分为2种：一是画出数据的频率直方图，通过比较特定的概率密度函数和相应的频率直方图直观地推断分布类型;二是将数据点画在不同概率纸上，如果数据点近似成线性趋势，则生成该概率纸的分布就可能是一个合适的分布类型.
将数值计算中混凝土单元划分的个数共4 096个作为样本数据，画出其频率直方图与相应的概率密度函数.在此过程中重点是如何选择分割区间宽度，如果区间划分过宽，频率直方图显得粗糙;反之，如果分割区间划分过细，则频率直方图的平滑性不够好.解决上述问题的处理方法有2种：一是选择直方图分割区间数近似等于样本数据个数的平方根;二是根據样本大小和数据的分布情况，自动选择频率直方图的宽度和位置，这个规则适用于许多类型的数据，可以有效地解决直方图平滑性不够好的问题.本文采取第2种方法，具体的拟合图如图2所示.
经过对比多种拟合函数与频率直方图，从图2的9种工况拟合情况可以看出，对数正态分布与频率直方图最为吻合.混凝土单元弹性应变能随着荷载增加而不断增大，当荷载增加到一定数值，弹性应变能趋于稳定，由工况1的2.5×104 mJ逐渐发展到工况6的5.0×105 mJ，最后稳定到工况9的6.0×105 mJ.对于上述现象，推测为：在加载初期，荷载较小，混凝土单元弹性应变能还有较大的储备空间，所以最大应变能较小;随着荷载不断增加，混凝土单元的弹性应变能逐渐达到满载状态，导致应变能持续增大并趋于稳定.
工况1中，最大密度值约为2.5×10-4;随着荷载增加，最大密度值不断减小，工况9最大密度值降到最小，约为1.5×10-5.从9种工况直方图可以看出，混凝土单元弹性应变能主要集中在0～2.0×105 mJ，当弹性应变能超过2.0×105 mJ后，对应的密度值很小;图2（a）—图2（d）的密度变化幅度较大，而图2（e）—图2（i）密度变化幅度较小并趋于稳定.这种现象表明，混凝土单元的弹性应变能在荷载的作用下逐渐变化，对应的密度也随之改变，最后储存弹性应变能的混凝土单元的变形达到极限，对应的密度值趋于稳定.
从图2可以看出，对数正态分布与频率直方图拟合情况良好.为了检验拟合情况，用对数正态概率纸进行绘制，对数正态概率纸是根据变量的累积概率对应于所指定的理论分布累积概率绘制的散点图，能够直观地检测样本数据是否符合某一概率分布，如果被检验的数据符合所指定的分布，则样本数据的点基本在理论分布的对角线上.画出钢筋混凝土板弹性应变能对数正态分布概率纸，如图3 所示.
从图3的9种工况图可知，弹性应变能的数据点几乎都落在指定的对数正态分布的概率图上，只有较少数的数据偏离曲线，这进一步表明对数正态分布函数是混凝土单元应变能拟合的最佳概率密度函数.
3 分布类型的拟合优度检验
频率直方图和P-P图是从图像上直观判断出混凝土弹性应变能的分布类型，为了使上述结果更准确，还应从理论上确定混凝土弹性应变能的分布类型，为此对其进行拟合优度检验.目前，广泛应用的拟合优度检验方法有3类，即[x2]、Kolmogorov-Smirnov（K-S）和Anderson-Darling（A-D）方法.综合考虑3种方法，选择K-S检验方法对9种工况下的对数正态分布函数进行拟合优度检验，该检验的基本出发点是比较经验累积频率与假定理论分布的概率分布函数.检验的显著性水平取0.1，即置信区间为90%，得出的评价指标如表1所示.
从表1可知，各工况下的h值均为0，表明混凝土单元弹性应变能拟合分布服从对数正态分布.分析ksstat可知，其值均小于临界值cv，表明混凝土单元弹性应变能拟合分布服从对数正态分布.但是，工况1—工况4（加载初期）ksstat略小于临界值cv，表明在加载初期混凝土单元弹性应变能勉强服从对数正态分布.其实际意义可以理解为：在加载初期，弹性应变能在混凝土单元的分布不均匀，波动较大;随着均布荷载增加，混凝土单元的变形也不断增加，既导致储存弹性应变能的单元数目增加，又导致已储存弹性应变能单元的数值增加. 因此，在此期间应变能勉强服从对数正态分布.在加载中后期，ksstat明显小于临界值cv，表明在此期间应变能完全服从对数正态分布.实际意义可以理解为：在加载中后期，混凝土单元的变形进一步增加，储存应变能的混凝土单元已经饱和，变化的仅为应变能的数值，应变能完全服从对数正态分布.综上所述，钢筋混凝土板从加载初期直至破坏阶段的全过程中，弹性应变能都服从对数正态分布.
4 基于对数正态分布的极限承载力分析
对数正态分布与正态分布相似，其概率密度函数为：
[f（x|μ， σ）=12πxσexp-12σ2lnx-μ2， x>0 0 ， x≤0]
其中：[-∞<μ<+∞]，是对数平均值，也称位置参数;[σ≥0]，是对数标准差，也称形状参数.通过分析得到9种工况下对数正态分布的拟合参数如表2所示.
从表2可以看出，随着荷载的增加，拟合参数也相应增加，当荷载达到一定数值，拟合参数将趋于稳定.拟合参数[μ、σ]分别表示其位置和形状大小的变化，根据这些参数的变化情况可以推断出混凝土板的极限承载力.拟合优度如表3所示， [μ]、[σ]的拟合情况如图4、图5所示. 从图4和图5可以看出，拟合参数[μ]和[σ]最终都趋于稳定，因此，取参数趋于稳定的点所对应的荷载作为钢筋混凝土板的极限荷载值.为了求得参数最后趋于稳定的点，分别对[μ]和[σ]进行曲线拟合，拟合结果如表3所示.从表3中的确定系数（R-square）可知，当拟合参数[μ]和[σ]的拟合程度分别达到99.82%和99.74%时，方差（SSE）和均方根（RMSE）均趋于0，表明二次多项式是最佳拟合情况.参数最终趋于稳定的点即曲线水平对应的点，也就是二次多项式的对称轴，分别计算出其对称轴，结果如表4所示.
从表4可以看出，拟合参数[μ]、[σ]最终趋于稳定，对应的荷载分别为46.13 kPa和47.86 kPa，为安全起见，取两者中较小值46.13 kPa作为极限承载力.为了对比，采用屈服线理论计算本文钢筋混凝土板的极限承载力[19]，计算公式如下：
[pu=]
[12×（2M1u+2M2u+M'1u+M″1u+M'2u+M″2u）l2o1（3lo2-lo1）]
式中：[M1u]、[M2u]表示对应于[lo1]（短跨）、[lo2]（长跨）方向跨中极限承载力，[M'1u]、[M″1u]、[M'2u]、[M″2u]表示对应于[lo1]、[lo2]两对边支座的极限承载力.
板的计算参数：
[fc]为混凝土轴心抗压强度标准值，[ft]为混凝土轴心抗拉强度标准值，[Ec]为混凝土的弹性模量，[fy]、[f'y]为普通钢筋抗拉、抗压强度设计值，[Es]为钢筋的弹性模量，[as]为下部纵向受拉钢筋合力点至受拉构件边缘的竖向距离，[h0]为截面有效高度.以四边简支双向板为例，各参数取值为：
[fc=14.30 N/mm2，ft=1.43 N/mm2，Ec=3×104 N/mm2，fy=300.00 N/mm2，f'y=300.00 N/mm2，Es=2×105 N/mm2，as=20.00 mm，h0=60.00 mm.]
单位长度钢筋截面面积：
[As=251.20 mm2]
截面受压区高度：
[x=Asfyα1fcb=5.27 mm]
式中：[α1]为混凝土受压区等效矩形应力系数，取值1.0;[b]为单位宽度，取值1 000.
单位宽度极限正抵抗弯矩：
[mu=fyAs（h0-x2）=4.32 kN· m/m].
单位宽度极限负抵抗弯矩：
[m'u=fyAs（h0-x2）=4.32 kN· m/m].
跨中极限承载力：
[M1u=M2u=Mu×板长度（1.60 m）=6.91 kN· m].
单位面积极限荷载：
[pu=12×2M1u+2M2ul2o13lo2-lo1=40.50 kPa].
式中：[lo1=lo2=1.60 m].
经计算，拟合参数[σ]与理论值[pu]的极限荷载分别为46.13 kPa、40.50 kPa，拟合参数推断的极限荷载与理论计算值的误差为13.90%.拟合参数是根据有限元计算混凝土单元弹性应变能后分布拟合得来，其值依赖于有限元的计算结果.由于应变能的变化客观存在，单元尺寸、网格划分收敛准则及精度的影响不可避免地产生误差.因此，本文提出的基于混凝土弹性应变能的拟合参数推断极限承载力是可行的.
5 其他边界条件下极限承载力分析
在上述四边简支双向板的基础上，增加四边固定、一边固定三边简支、两邻边固定两邻边简支、三边固定一边简支、两对边固定两对边简支等5种边界情况，分别记为1、2、3、4、5、6号板，计算结果如表5所示.
6 结论
本文提取钢筋混凝土双向板从初始加载直至破坏阶段全过程的弹性应变能，分析其在不同工况下的变化规律，提出了一种基于应变能的双向板极限承载力判据.得到如下结论：
1）钢筋混凝土双向板受到均布荷载作用时，在初始加载直至破坏阶段的整个过程中，弹性应变能服从对数正态分布.
2）通过研究四邊简支双向板、四边固定、一边固定三边简支、两邻边固定两邻边简支、三边固定一边简支、两对边固定两对边简支件下双向板的弹性应变能，发现应变能均服从对数正态分布;根据对正态分布的2个参数的变化，推断出不同边界条件下双向板极限承载力，并与理论计算值对比，得出误差分别为13.90%、8.89%、9.49%、11.51%、12.93%、10.68%，说明基于应变能判据推出的极限承载力具有较高的可靠性和适用性.
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Criterion for ultimate bearing capacity of reinforced concrete slab based on strain energy
XIA Yu， CHANG Yuan， YU Yingye
（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，
Liuzhou 545006， China）
Abstract： In order to study the criterion for the ultimate bearing capacity of reinforced concrete， the finite element software is firstly used to construct the whole process analysis of two-way reinforced concrete slabs under different borders from the initial loadings to the destruction， to extract the elastic strain energy of concrete units. Then， the probability distribution of the corresponding variable energy is fitted， and the ultimate bearing capacity of the reinforced concrete slab is inferred from the parameter change trend of the distribution fitting. It is shown that the elastic strain energy distribution fitting of reinforced concrete slab conforms to the log-normal distribution， and as the load increases， the fitting parameters of the log-normal distribution first increase and then become stable. Then，the curve fitting of the fitting parameters shows that the quadratic polynomial is best. According to the quadratic polynomial formula， the ultimate bearing capacity of the component is inferred. The error is small compared with the theoretical value， verifying the feasibility of the criterion proposed in this paper.
Key words： probability distribution; log-normal distribution; ultimate bearing capacity; criterion; elastic strain energy; curve fitting
（责任编辑：罗小芬）