二元线性规划的思想即借助平面图形，有效地解决一些二元函数的最值问题，它不仅在处理生产实际问题中的最优化问题时具有广泛的应用，而且在解决一些看似与线性规划无关的问题时也能起到使问题化繁为简、化难为易的作用.本文尝试利用线性规划思想解决如下类型的一些问题.供同学们学习时参考.
　　1.解决集合问题
　　例1 设集合A={(x,y)|y≥12|x-2|}，B={(x,y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠Φ.（1）b的取值范围是；（2）若(x,y)∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是.
　　解：集合A表示区域y≥12(x-2)(x≥2)y≤-12(x-2)(x＜2)，集合B表示区域y≤-x+b(x≥0)y≥x+b(x＜0).由A∩B≠Φ，易知b≥1;显然A∩B所表示的区域的最上端为点(0,b).设z=x+2y则y=-12x+12z经过点(0,b)时该直线在y轴上的截距最大，亦即z最大，此时0+2b=9，所以b=92.
　　评析：以集合为载体链接线性规划知识，对学生的数学素养提出了较高的要求.
　　2.解决不等式问题
　　例2 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a＞0)，设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2，如果x1＜2＜x2＜4,且函数f(x)的对称轴为x=x0,求证：x0＞-1.
　　证明：设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1
　　由题意得
　　g(2)＜0g(4)＞0即4a+2b-1＜016a+4b-3＞0
　　如图，作出其表示的平面区域，其中A(18,14)
　　我们需要让x0=-b2a＞-1，即ba＜1.
　　设目标函数Z=ba，而ba表示可行域内的点(a,b)与坐标原点连线的斜率，由可行域知ba＜kOA=2，故x0＞-1.
　　
　　评析：由a,b满足的不等式组，很容易联想到用线性规划方法求解.
　　3.解决数列问题
　　例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10,S5≤15,求a4的最大值.
　　
　　解：设数列{an}的首项为a1，公差为d，
　　∵S4≥10,S5≤15，
　　∴4a1+4×32d≥105a1+5×42d≤15即2a1+3d≥5a1+2d≤3
　　而a4=a1+3d，所以，可以建立平面直角坐标系a1Od画出可行域及直线l0：a1+3d=0，平移直线l0，当过点A(1,1)时，纵截距最大，即a4的最大值为4.
　　评析：本题将数列与线性规划结合起来，可以看出线性规划是解决多元最值问题的有力工具.
　　4.解决概率问题
　　例4 设－1≤a≤1，－1≤b≤1，求关于x的方程x2＋ax＋b2＝0有实根的概率. 
　　解：由题知该方程有实根满足条件－1≤a≤1，－1≤b≤1，a2－4b2≥0，作平面区域如下图：由图知阴影面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积，故概率为14.
　　
　　评析：这是一个几何概型问题，利用线性规划的方法给出了直观、简捷的解答.
　　
　　5.解决平面向量问题
　　例5 已知四边形OABC是矩形，OA=2,OC=1,OD=3OA,点P为 内（含边界）的动点，设OP=m•OC+n•OA(m,n∈R)，求m+n的最大值.
　　
　　
　　解：以O为坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则OC=(0,1),OD=(6,0)
　　
　　设P(x,y)∴(x,y)=m(0,1)+n(6,0)=(6n,m)
　　∴x=6n,y=m则m+n=16x+y.
　　z=x6+y，因为点P为△BCD内（含边界）的动点，所以，当直线系y=-x6+z平行移到B(2,1)时直线在y轴上的截距最大.
　　即(m+n)max=Zmax=26+1=45.
　　评析：将平面向量与线性规划结合，充分体现了在知识网络交汇处设计试题的思想.
　　（作者：卢伯友,湖南省慈利县第一中学）
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