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数形结合是一种基本的数学思想方法，它蕴含着以图识性，由性得图的理念，它兼有数的严谨与形的直观，是生成解题思路、优化解题过程、探求结论的重要手段之一.但很多时候，同学们即使知道用数形结合，却仍做不出，做不对.这里通过几个得分率较低的例题，谈一谈利用数形结合解题时，怎样巧而不错.
一、数形结合，选择恰当的函数图像，磨刀不误砍柴工
1.同学们能否用数形结合巧妙而又准确地解题，首先取决于你选择什么函数画图.不能出题者给什么就画什么函数图像，我们首先要有分析转化求简的意识，利用方程变形，选择直观简单且容易表达的图形.
例1 若函数y = a|x|与y = x + a的图象恰有两个公共点，求实数a的取值范围.
解析：如果直接根据题中所给画f(x)=a|x|和g(x)=x+a的函数图像，则这两个函数都带字母，图像是变化的，要看相对位置关系，难度有点大.而我们可以利用方程进行变形转化，得a|x|=x+a，因为a=0时不符合，所以原题即转化为关于x的方程|x|=1ax+1有两个不同的交点，画y=|x|和y=1ax+1的图像很容易得到答案是a>1或a<－1.
例2 设函数f(x)=2x2+(x－m)|x－m|（m是实数），h(x)=f(x)x,x≠00,x=0 ，若对于任意x∈［1,2］，不等式h(x)≥1恒成立，求实数m的取值范围.
解析：与其直接考虑y=h(x)的图像，进行分类讨论，不如将原题转化为：不等式(x－m)|x－m|≥－2x2+x对任意的x∈［1,2］恒成立.同一坐标系下画g(x)=(x－m)|x－m|，x∈［1,2］和w(x)=－2x2+x，x∈［1,2］的图像，由于两函数在［1,2］上分别递增和递减，故只要g(1)≥w(1)，从而得m≤2.
2.在分析转化选择恰当的函数图像时，切记要等价转化，尤其要注意代数式的等价变形和变量的范围.
例3 曲线y=1+4－x2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，求实数k的取值范围 .
解析：这是比较典型的数形结合的题，第一次做往往会出错，y=1+4－x2 (-2≤x≤2)等价于
x2+(y－1)2=4,(y≥1)，图像应是圆的上半部分而不是整个圆.正确答案为：k∈(512,34］.
例4若函数y=f(x)满足：① 在定义域D内是单调函数，②存在［a，b］D，使y=f(x)在［a，b］上的值域为［a，b］，那么y＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x+2＋k是闭函数，那么k的取值范围是.
解析：本题分析转化为关于x的方程x+2+k=x在区间［－2,+∞)上有两个不同的根.
同学们做本题时是想将“ ”去掉，就变形为：(x+2)2=(x－k)2，转化为关于x的方程x2－(2k+1)x+k2－2=0在［－2,+∞)上有两个不同的实数根，则结果就是k>－94且k≠－2，范围扩大了，原因就是x+2=x－k与(x+2)2=(x－k)2不等价.
若想去“ ”，这里可以利用复合函数整体换元的思想，令t=x+2，则方程变为t2－t－2－k=0，由于t=x+2在定义域上单调，所以本题转化为：关于x的方程t2－t－2－k=0在［0,+∞)上有两个不同的实数根，易得 －94 实际上本题的“ ”可以保持不动：
法1：变形为k=x－x+2，画y=k和y=x－x+2的函数图像，这里涉及复合函数求导，理科生可选用这种方法.
法2：也可变形为x+2=x－k，画y=x+2和y=x－k的图像；
数形结合选择画什么？笔者总结：一般是在等价转化的前提下，（1）画基本的函数模型：一（二、三）次函数，指（对数）函数，三角函数，反比例函数，勾函数；（2）转化成画一条确定的、一条动的曲线；动的简单，确定的复杂.这样就能更直观，易于得出正确答案.
二、数形结合，准确画图，细节决定成败
同学们知道用数形结合解题，却经常因画图不准确而出错.借助图像解题时，要注意严密性，仅画图示反应“意”是不够的，还必须准确反应出图形的性质特征（如单调性、对称性、周期性等）及其中特殊的点. 尤其要有注意端点值、极限值以及渐近线的意识.
例5 关于x的方程lnx－mx=0在(0,+∞)上有两个不同的实数解，求m的取值范围.
解析：本题可变形为：m=lnxx，画y=m和y=lnxx的图像，这里同学们大多只考虑y=lnxx的单调性和最值，而不考虑x→0+和x→+∞时的极限值，但这里当x→+∞时，y→0+，根本不是y→－∞.正确图形如下：
正确答案是：0 当我们无法确定函数的极限值时，完全可以选择画别的函数图像，借助于曲线的切线的方法解决问题.
例6 当m在什么范围时，关于x的方程x2－mx－lnx=0分别无实数根？只有一根？有两个不同的实数根？
解析：本题若分离变量则估计x→0+和x→+∞时的极限值是一个难点.这里就可以考虑函数y=x2－mx和y=lnx的图像.当两者相切时，设切点的横坐标为x1，则2x1－m=1x1x21－mx1=lnx1 解得：m=1,x1=1，结合图像可得，当m<1时无解；当m=1时一解；当m>1时，两解.
三、数形结合、贵在结合，用运动的方法辅以必要的计算找准、找全临界情形
数形结合到了最后往往会因找错了临界情形而出错，下面列举两个典型的例子.
例7 已知函数f(x)=|x－a|+4x,(a∈R).若对于任意x∈(0,+∞)不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围.
解析：本题若画y=f(x)图像则既要考虑去绝对值又要考虑定义域，分类较繁.不妨转化为
|x－a|≥－4x+1，画h(x)=|x－a|和g(x)=－4x+1，x∈(0,+∞)的图像.但大多数同学会错误地认为临界情形是y=x－a与g(x)=－4x+1相切时，实际上由于此时切点横坐标是2，小于g(x)=－4x+1的零点4，故临界情形应是y=h(x)与y=g(x)同零点时，即a=4，故本题a≤4而非a≤3.如上图.
例7变式：若将上题改为：已知函数f(x)=|x－a|+4x,(a∈R).若对于任意x∈(0,+∞)不等式f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围.
则此时的临界情形就是相切时，因为此时切点横坐标是2，大于y=－4x+4的零点1，故a≤0.
例8 已知x+y+1≥02x+y+3≤0 ，求yx的取值范围.
解析：本题答案是（－2,－12\〗，很多同学可能会答成（-∞，-12\〗，就是没有注意到另一个临界情形，即和边界2x+y+3=0平行的极限情形.
（作者：陈莉，江苏省句容高级中学)
一、数形结合，选择恰当的函数图像，磨刀不误砍柴工
1.同学们能否用数形结合巧妙而又准确地解题，首先取决于你选择什么函数画图.不能出题者给什么就画什么函数图像，我们首先要有分析转化求简的意识，利用方程变形，选择直观简单且容易表达的图形.
例1 若函数y = a|x|与y = x + a的图象恰有两个公共点，求实数a的取值范围.
解析：如果直接根据题中所给画f(x)=a|x|和g(x)=x+a的函数图像，则这两个函数都带字母，图像是变化的，要看相对位置关系，难度有点大.而我们可以利用方程进行变形转化，得a|x|=x+a，因为a=0时不符合，所以原题即转化为关于x的方程|x|=1ax+1有两个不同的交点，画y=|x|和y=1ax+1的图像很容易得到答案是a>1或a<－1.
例2 设函数f(x)=2x2+(x－m)|x－m|（m是实数），h(x)=f(x)x,x≠00,x=0 ，若对于任意x∈［1,2］，不等式h(x)≥1恒成立，求实数m的取值范围.
解析：与其直接考虑y=h(x)的图像，进行分类讨论，不如将原题转化为：不等式(x－m)|x－m|≥－2x2+x对任意的x∈［1,2］恒成立.同一坐标系下画g(x)=(x－m)|x－m|，x∈［1,2］和w(x)=－2x2+x，x∈［1,2］的图像，由于两函数在［1,2］上分别递增和递减，故只要g(1)≥w(1)，从而得m≤2.
2.在分析转化选择恰当的函数图像时，切记要等价转化，尤其要注意代数式的等价变形和变量的范围.
例3 曲线y=1+4－x2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，求实数k的取值范围 .
解析：这是比较典型的数形结合的题，第一次做往往会出错，y=1+4－x2 (-2≤x≤2)等价于
x2+(y－1)2=4,(y≥1)，图像应是圆的上半部分而不是整个圆.正确答案为：k∈(512,34］.
例4若函数y=f(x)满足：① 在定义域D内是单调函数，②存在［a，b］D，使y=f(x)在［a，b］上的值域为［a，b］，那么y＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x+2＋k是闭函数，那么k的取值范围是.
解析：本题分析转化为关于x的方程x+2+k=x在区间［－2,+∞)上有两个不同的根.
同学们做本题时是想将“ ”去掉，就变形为：(x+2)2=(x－k)2，转化为关于x的方程x2－(2k+1)x+k2－2=0在［－2,+∞)上有两个不同的实数根，则结果就是k>－94且k≠－2，范围扩大了，原因就是x+2=x－k与(x+2)2=(x－k)2不等价.
若想去“ ”，这里可以利用复合函数整体换元的思想，令t=x+2，则方程变为t2－t－2－k=0，由于t=x+2在定义域上单调，所以本题转化为：关于x的方程t2－t－2－k=0在［0,+∞)上有两个不同的实数根，易得 －94
法1：变形为k=x－x+2，画y=k和y=x－x+2的函数图像，这里涉及复合函数求导，理科生可选用这种方法.
法2：也可变形为x+2=x－k，画y=x+2和y=x－k的图像；
数形结合选择画什么？笔者总结：一般是在等价转化的前提下，（1）画基本的函数模型：一（二、三）次函数，指（对数）函数，三角函数，反比例函数，勾函数；（2）转化成画一条确定的、一条动的曲线；动的简单，确定的复杂.这样就能更直观，易于得出正确答案.
二、数形结合，准确画图，细节决定成败
同学们知道用数形结合解题，却经常因画图不准确而出错.借助图像解题时，要注意严密性，仅画图示反应“意”是不够的，还必须准确反应出图形的性质特征（如单调性、对称性、周期性等）及其中特殊的点. 尤其要有注意端点值、极限值以及渐近线的意识.
例5 关于x的方程lnx－mx=0在(0,+∞)上有两个不同的实数解，求m的取值范围.
解析：本题可变形为：m=lnxx，画y=m和y=lnxx的图像，这里同学们大多只考虑y=lnxx的单调性和最值，而不考虑x→0+和x→+∞时的极限值，但这里当x→+∞时，y→0+，根本不是y→－∞.正确图形如下：
正确答案是：0
例6 当m在什么范围时，关于x的方程x2－mx－lnx=0分别无实数根？只有一根？有两个不同的实数根？
解析：本题若分离变量则估计x→0+和x→+∞时的极限值是一个难点.这里就可以考虑函数y=x2－mx和y=lnx的图像.当两者相切时，设切点的横坐标为x1，则2x1－m=1x1x21－mx1=lnx1 解得：m=1,x1=1，结合图像可得，当m<1时无解；当m=1时一解；当m>1时，两解.
三、数形结合、贵在结合，用运动的方法辅以必要的计算找准、找全临界情形
数形结合到了最后往往会因找错了临界情形而出错，下面列举两个典型的例子.
例7 已知函数f(x)=|x－a|+4x,(a∈R).若对于任意x∈(0,+∞)不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围.
解析：本题若画y=f(x)图像则既要考虑去绝对值又要考虑定义域，分类较繁.不妨转化为
|x－a|≥－4x+1，画h(x)=|x－a|和g(x)=－4x+1，x∈(0,+∞)的图像.但大多数同学会错误地认为临界情形是y=x－a与g(x)=－4x+1相切时，实际上由于此时切点横坐标是2，小于g(x)=－4x+1的零点4，故临界情形应是y=h(x)与y=g(x)同零点时，即a=4，故本题a≤4而非a≤3.如上图.
例7变式：若将上题改为：已知函数f(x)=|x－a|+4x,(a∈R).若对于任意x∈(0,+∞)不等式f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围.
则此时的临界情形就是相切时，因为此时切点横坐标是2，大于y=－4x+4的零点1，故a≤0.
例8 已知x+y+1≥02x+y+3≤0 ，求yx的取值范围.
解析：本题答案是（－2,－12\〗，很多同学可能会答成（-∞，-12\〗，就是没有注意到另一个临界情形，即和边界2x+y+3=0平行的极限情形.
（作者：陈莉，江苏省句容高级中学)