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【摘要】高中数学学习中学生会感到数学知识体系、知识结构与初中截然不同:抽象程度上突变,知识内容的整体剧增,知识面的拓宽、量的增加,题目的灵活性、跳跃性加大,题目的已知条件与问题间的联系更加隐蔽,从客观上增加了学生的学习困难,如何做到更高效是教育者们关心的问题,也是很头疼的问题,甚至会出现一些困惑:课本上的例题重要吗?是不是一定要去补充很多课外例题?为此,本文通过如何使用教科书上的章末例题的一题多解来寻找答案,揭示迷津,让大家切勿“捡了西瓜丢了芝麻”、“舍本逐末”,以加强对教材体系和知识的体会,用好教科书,让其发挥出特有的“导航”作用。
【关键词】高中数学一题多解
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2010)08-0160-01
高中数学的教学中“一题多解”是阶段性学习中培养学生发散思维的有效、常用的方法,而善于挖掘教材中的“一题多解”,能更好的发挥教材的“导航性”。《人教版》高中数学教材编排中,每章结束后都有内容提要、需要注意的问题、参考例题三部分。如何让这些例题发挥作用,用好这些例题,让教学起到“投石问路”、达到“一石击起千层浪”的效果,让学生对本阶段的知识进行应用与开拓,形成知识系统化就显得尤为重要。为此,我常从深究教材例题的一题多解,去尽情领略命题人的韬略和用心,去发现、找寻章节的重难点,检验教学的效果和学生掌握的程度。去体会编者的用心良苦,也因此而获益匪浅。
下面以原人教版高中数学第三册第七章章末的例题一为例,以飨读者,证言之属实。
【题目】圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦。
(1)当α=时,求AB的长。(2)当弦AB被点P平分
时,写出直线AB的方程。
解析:本题用直线方程的点斜式,易于求出直线AB的方程,而求AB的长,则有多种解法。①用求曲线的交点坐标的方法,先求出A、B的坐标,再用平面内两点间的距离公式计算出AB的长;②分别过点A、B作X轴Y轴的垂线,交点为C,则三角形ABC为直角三角形,利用解直角三角形的知识处理;③在②的构造后,利用韦达定理求出BC=∣x1-x2∣,同理求出AC=∣y1-y2∣,再用勾股定理解决;④利用圆的半径、半弦、弦心距的关系计算。分述如下:
解法一,求出直线与圆的交点坐标,然后用两点间的距离公式计算AB的长度。
此解法主要运用的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、求曲线的交点坐标以及两点间的距离公式。
解法二,构造直角三角形,然后解直角三角形。
此解法主要运用到的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、求曲线的交点坐标以及解直角三角形。
解法三,利用相交弦及一元二次方程的韦达定理计算。
如图1,在方法二的基础上,进一步考虑分别用韦达定理求出AC、BC的长,再用直角三角形的勾股定理求AB。这种方法比较普通,更具有一般性,他是解析几何中直线与圆锥曲线相交时,求其相交弦的一种常用的方法。特别如果直线方程的斜率K未知,将弦长作为已知然后反过来求直线方程,这种方法就更能显示出其优越性。
图1
由方法一知道直线AB的方程为y-2=-(x+1),即 y=-x+1…①与 x2+y2=8…②联立解得:x2+(-x+1)2=8,整理得2x2-2x-7=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2)又A、B是直线与圆的交点,由韦达定理得:|BC|=|x1+x2|=
=,同理:|AC|==,从
而得│AB|==。
点评:此解法主要运用到的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、一元二次方程的韦达定理、直角三角形的勾股定理等。
解法四,利用圆的半径、半弦及弦心距求解(图略)。
过点O作OC⊥AB垂足为D,连接OA、OB,在Rt△AOC中,OA为圆O的半径,OC的长可以利用点O(0,0)到直线AB的距离求出来,再用直角三角形的勾股定理求出AC的长由|AB|=2|AC|。
解:过点O作OC⊥AB垂足为D,连接OA、OB,则|OA|==R,由方法一知道直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即:x+y-1=0,∴|OC|=,在Rt△AOC中:
|AC|=,∴|AB|
=2|AC|=。
点评:此解法主要运用到的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、圆的半径、半弦及弦心距等。
【关键词】高中数学一题多解
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2010)08-0160-01
高中数学的教学中“一题多解”是阶段性学习中培养学生发散思维的有效、常用的方法,而善于挖掘教材中的“一题多解”,能更好的发挥教材的“导航性”。《人教版》高中数学教材编排中,每章结束后都有内容提要、需要注意的问题、参考例题三部分。如何让这些例题发挥作用,用好这些例题,让教学起到“投石问路”、达到“一石击起千层浪”的效果,让学生对本阶段的知识进行应用与开拓,形成知识系统化就显得尤为重要。为此,我常从深究教材例题的一题多解,去尽情领略命题人的韬略和用心,去发现、找寻章节的重难点,检验教学的效果和学生掌握的程度。去体会编者的用心良苦,也因此而获益匪浅。
下面以原人教版高中数学第三册第七章章末的例题一为例,以飨读者,证言之属实。
【题目】圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦。
(1)当α=时,求AB的长。(2)当弦AB被点P平分
时,写出直线AB的方程。
解析:本题用直线方程的点斜式,易于求出直线AB的方程,而求AB的长,则有多种解法。①用求曲线的交点坐标的方法,先求出A、B的坐标,再用平面内两点间的距离公式计算出AB的长;②分别过点A、B作X轴Y轴的垂线,交点为C,则三角形ABC为直角三角形,利用解直角三角形的知识处理;③在②的构造后,利用韦达定理求出BC=∣x1-x2∣,同理求出AC=∣y1-y2∣,再用勾股定理解决;④利用圆的半径、半弦、弦心距的关系计算。分述如下:
解法一,求出直线与圆的交点坐标,然后用两点间的距离公式计算AB的长度。
此解法主要运用的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、求曲线的交点坐标以及两点间的距离公式。
解法二,构造直角三角形,然后解直角三角形。
此解法主要运用到的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、求曲线的交点坐标以及解直角三角形。
解法三,利用相交弦及一元二次方程的韦达定理计算。
如图1,在方法二的基础上,进一步考虑分别用韦达定理求出AC、BC的长,再用直角三角形的勾股定理求AB。这种方法比较普通,更具有一般性,他是解析几何中直线与圆锥曲线相交时,求其相交弦的一种常用的方法。特别如果直线方程的斜率K未知,将弦长作为已知然后反过来求直线方程,这种方法就更能显示出其优越性。
图1
由方法一知道直线AB的方程为y-2=-(x+1),即 y=-x+1…①与 x2+y2=8…②联立解得:x2+(-x+1)2=8,整理得2x2-2x-7=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2)又A、B是直线与圆的交点,由韦达定理得:|BC|=|x1+x2|=
=,同理:|AC|==,从
而得│AB|==。
点评:此解法主要运用到的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、一元二次方程的韦达定理、直角三角形的勾股定理等。
解法四,利用圆的半径、半弦及弦心距求解(图略)。
过点O作OC⊥AB垂足为D,连接OA、OB,在Rt△AOC中,OA为圆O的半径,OC的长可以利用点O(0,0)到直线AB的距离求出来,再用直角三角形的勾股定理求出AC的长由|AB|=2|AC|。
解:过点O作OC⊥AB垂足为D,连接OA、OB,则|OA|==R,由方法一知道直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即:x+y-1=0,∴|OC|=,在Rt△AOC中:
|AC|=,∴|AB|
=2|AC|=。
点评:此解法主要运用到的知识点是:直线的倾斜角、斜率、直线的点斜式方程、圆的半径、半弦及弦心距等。