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摘 要：普通高中课程理念和新高考考察要点中都强调了数学文化的价值。本文通过介绍祖暅原理，用元素法计算立体几何图形的体积来合情推理祖暅原理，展示在初等数学课堂上如何渗透数学文化。
关键词：祖暅原理;元素法;数学文化
Abstract：In senior high core quality of mathematics of middle school students，practice the theory of Educational Mathematics.
Keywords：Teaching practice，Area of circle，Volume of a sphere
1、引言
数学文化是往往是容易忽视而又不可或缺，学生们通过学习数学文化，能够感受到学科魅力、领悟人文价值、体会美学应用等，从而提高学生的数学学科素养，人文情怀和学习兴趣，激发学生们的创新与探索精神。
在人教版高中数学必修二第一章《空间几何探究与发现祖暅原理》中介绍了祖暅原理“两个夹于两个平行平面间的几何体，被平行这两个平面所截的任意两个平面，若截得的两个截面面积总相等，那么这两个被夹的几何体体积相等”。由于初等数学知识具有一定的局限性，课本中无法给出详细的说明。
有大量文献阐述这方面的内容，具体见[1-10]。文[1]给出祖暅原理的历史和简单证明，大量讲述其由来，但证明过于简洁，不适合初等数学学习者阅读。文[2-4]从祖暅原理的历史阐明和将祖暅原理运用到教学中的方式及作用与效益，但就其历史和应用分别来谈其有益相对狭义，相结合则更加完善。文[5-7]用典例解释高考题中的数学文化，其中简单阐明了数学文化的狭义定义。文[8，9]对文化从思想、核心素养、教育教学特定方面进一步阐释，并进一步解释了数学文化。文[10]中通过运用近似，分割，求和，取极限的步骤得到定积分，利用定积分证明高中阶段立体几何中的基本公式，该文选择几组特殊的平面图形和立体图形进行求面积或者体积，并分析了各公式之间的联系，充分体现了广义的数学文化。
本文采用定积分中的元素法计算圆锥的体积和平面切割圆锥顶层并将切割的顶层挪动的体积来证明祖暅原理中阐述的内容，阐述“幂势即同则积不容异”，挖掘包含其中的数学文化内涵，并说明教学当中结合数学文化讲课所带来的曾益。
2、祖暅原理的由来
祖暅原理即是“等积原理”【1】，是在祖冲之及其子祖暅推导球体积公式过程中发现提出的。球的体积的计算最初出现是在《九章算术》中，因为正方形与其内接球面积比为4：3，正方体与其内接等边圆柱的体积之比也为4：3，从而得出正方体与其内接球的体积之比为16：9，进而解决球的体积问题。刘徽发现《九章算术》中体积公式的比例错误，构造出“牟合方盖”解决问题的思想（古人称伞为“盖”，“牟”同“侔”），并未正确求出球的体积公式。祖暅沿用刘徽的思想去进行探索，将精力从牟合方盖转到方盖差上，再进行分割得到小方盖差，从小方盖差着手，利用两平行平面去截取两个夹在其间的几何体，再进行面积体积计算和比较，若得当高度与截面面积相同时，其体积相等的结论（即幂势即同则积不容异，“势”为高，“幂”为面积，“容”为体积），这样就解决了球的体积。
由上述证明知：当高度与截面面积相同时，其体积相等，即验证了“幂势即同则积不容异”的道理。
4、祖暅原理中的数学文化
祖暅原理由《九章算术》发起，“牟合方盖”的发展，最后得到祖暅原理求得体积，这一段数学发展史是数学文化上灿烂的一笔。祖暅原理是在前人的基础上一步一步发展起来的，《九章算术》在当时是权威，刘徽发现问题与错误并没有因为权威而怀疑放弃自己的观点，祖氏父子沿其方向探究。这个素材充分展示了数学家实事求是、敢于质疑的精神。有利于培养学生善于发现问题，敢于提出问题，勇于探索问题的能力。
无论在那个学习阶段，提高学生学习主动性和勇于探索的精神都很重要重要，在中学阶段尤为突出。那么中学老师激发学生的学习热情需要哪些条件呢？首先一定的数学知识储备是必要的。如若没有一定的数学知识储备，学生很难对数学领域产生兴趣。因此，要想提高学生对于数学学习的兴趣，必须要使得学生有一定的知识准备，以培养他们广泛稳定的兴趣。在课堂教学中，老师可以通过学习书本的知识点，挖掘其知识点背后的数学文化然后传授给学生们，让同学们学习中不单单只是枯燥的学习知识点，而更深层次的了解知识点承载的数学文化，不仅提高学生的学习兴趣，更能够深刻理解知识点，在遇到复杂多变的数学问题时，能够巧妙的运用知识点蕴含的数学思想，解决问题。例如，例如高中学生刚学习立体几何时，由于暂时还没有从平面几何转过弯来，对立体几何不感兴趣，可以简略地介绍立体几何的某些定理的历史。例如介绍一下祖暅原理的相关历史，在数学中祖暅原理的相关应用。学生通过学习祖暅原理的历史由来，让学生不局限于数学只有理论的印象当中，还能够激发学生对相关知识学习的兴趣和深入探索的意向。其次，对于课堂上好奇心较强的学生来说，课后还会去搜集祖暅原理相关的资料，了解更多的知识点。另一方面，祖暅原理在解决某些复杂数学问题方面也是颇为有用的。从这些方面看來祖暅原理带给我们的不仅仅是学术理论，在课堂伸展教学中，能给予我们伸展的方向及度量，且在解题技巧上亦有不可多得的帮助。
下面我们通过解析（2013年上海高考理科第13题）来感受如何运用祖暅原理巧妙解决复杂的数学问题。
例，在XOY平面上，将两个半圆弧 和（x 、两条直线 和 围成的封闭图形记为D，如图3中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何为Ω，过 作Ω的
水平截面，所得截面面积为 ，试得出Ω的体积值（ ） 这道高考题若按照普通水平学生知识储备，这道题目算是一道难题，基础稍微好的学生容易掉入“割补法”的陷阱中，但是如果学生有祖暅原理相关的知识储备，那么该题将迎刃而解。根据题意知，一个半径为1，高为 的圆柱平放，一个高为2，底面积为 的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为 。
祖暅原理的出现，解决了大部分体积问题，更给出了解决体积问题的积累思想。祖暅原理以牟合方盖的思想来贯穿整个探索，放在现代就是无限分割、微元、积分思想，充分体现了极限、建模的思想理念，这正蕴含着现代初等数学教学中强调的数学建模方面的核心素养。这些数学工具、方法、思想的运用，有利于培养自身学习能力和构造性思维和探索的能力、创新能力。祖暅原理对我们现在的学习与教学都有重大的影响，基于数学课堂上的数学核心素养，老师为主导和学生为主体的辩证统一关系，可以归结到如文化史一般在前人的思想上加以新发现新思想。打好基础与创新发展，可来源于运用数学工具，方法去探索创新，有效率地提高自我。数学思维中熟练与理解的交互作用，可表现在运用已有知识，用自己的想法去证明原理，不难看出祖暅原理中蕴含的探索精神，极限和建模的思想理念，证明的严谨性和逻辑性以及带给课堂教学的延展性和张力都是数学文化的体现和传承。
祖暅原理作为人类认识物体体积的一种重要的工具，是历史的产物，是社会历史实践中所创造中所流传下来的物质和精神财富，其展现了数学文化是数学与人文的结合，以其相关背景知识、数学知识、数学工具等作为载体来传承其数学思想、数学方法和数学精神，以此展现数学的严谨性和逻辑性并培养数学核心素养。在近些年无论是从教育部的改革来看，还是从大学入学考试试题来看，其蕴含的数学文化正在悄悄地进入高中数学课堂、进入高考、进入高考考察的范围，一些题也因为其背后承载的数学文化而成为了经典试题，在当今的教学课堂中，可以预见，甚至可以看见，富含数学文化的一些考试题出现，正在逐渐引导教师往数学文化这方面挖掘和探究，继而把数学文化渗透到课堂教学中，最终实现《普通高中教学课程标准》中教学过程中“传授数学文化”的预期目标，这一目标也充分体现了文化自信。
基于祖暅原理中的数学文化在此重申笔者对于数学文化的认识，从狭义上来说数学文化包含数学历史，名人事件，数学工具和数学方法;从广义上来说数学文化除了人文历史还包括数学思想、逻辑、精神、核心素养、教育教学方式方法、文化自信等方面，即数学文化包含与数学相关的一切。
5、结论与启发
通过祖暅原理，可以发现文化也是课程教育的重要部分，文化以各式各样的形式存在在课程中。在初高中数学学习阶段，往往老师就是按照书本的内容进行讲解，运用直接灌输的方式，可以说是一种数学文化工具型教育，文化的蝉联难以显现。现在，高新型教育系统的出现，再以此方式教学，学生难免失去对数学学习的兴趣。如果老师上课能在数学课堂上找到理论的文化归宿，来源依据，让课程遵循历史文化，社会文化的禅变，将文化工具赋予逻辑思想，将工具化型文化转变为思想教育型文化，并融入课堂教学内容中，使同学们了解课程中文化的尺度，文化的自主性和传承性，增加课堂趣味，同学们就能对学习数学理论和文化产生极大的兴趣，不仅能够使学生们学好基本理论，还能增强学生们的自主创新精神，提高学生们自身的文化素养。此外，数学文化贯穿着生活学习中有关数学的一切，如美术，天文，音乐等，在教学过程中穿插数学文化的介绍与讲解，让学生在学习理论知识的过程中，可以深入感受数学文化的魅力，传承数学文化的价值理念，弘扬数学文化的精神。
参考文献
[1] 张伟. 祖暅原理的由来及证明[J]. 重庆教育学院学报，2010.23（03）：113-115.
[2] 叶秀云. 叶雪梅.“祖暅原理”及其教学探究[J]. 福建中学数学，2012.（04）：27-29.
[3] 高红成，王瑞. 祖暅原理的形成及其现实教育意义[J]. 2001.12（04）：28-30.
[4] 袁志玲，陆书环. 基于数学文化的探究式教学设计-----祖暅原理与球体积[J]. 数学教学研究，2007（10）：12-14.
[5] 程玮. 高考数学文化之祖暅原理例析[J]. 中学教育研究，2017.10：10-11.
[6] 高建文. 高考题中数学文化体验[J]. 数学教学研，.2019.01（38）：44-58.
[7] 万广磊，李毅. 数学文化[J]. 中學数学教学参考，2019.（01）：148-150.
[8] 张乃达. 数学思维与数学文化[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2014.（01）：15-23.
[9] 王剑光. 高中数学教学中如何提高学生的核心素养[J]. 西部素质教育，2019.5（06：）：78-80.
[10] 韩新方，李妍，黄柏梅，刘孟锌，马丽. 初等数学中微元法的教学探究[J]. 已投稿.
关键词：祖暅原理;元素法;数学文化
Abstract：In senior high core quality of mathematics of middle school students，practice the theory of Educational Mathematics.
Keywords：Teaching practice，Area of circle，Volume of a sphere
1、引言
数学文化是往往是容易忽视而又不可或缺，学生们通过学习数学文化，能够感受到学科魅力、领悟人文价值、体会美学应用等，从而提高学生的数学学科素养，人文情怀和学习兴趣，激发学生们的创新与探索精神。
在人教版高中数学必修二第一章《空间几何探究与发现祖暅原理》中介绍了祖暅原理“两个夹于两个平行平面间的几何体，被平行这两个平面所截的任意两个平面，若截得的两个截面面积总相等，那么这两个被夹的几何体体积相等”。由于初等数学知识具有一定的局限性，课本中无法给出详细的说明。
有大量文献阐述这方面的内容，具体见[1-10]。文[1]给出祖暅原理的历史和简单证明，大量讲述其由来，但证明过于简洁，不适合初等数学学习者阅读。文[2-4]从祖暅原理的历史阐明和将祖暅原理运用到教学中的方式及作用与效益，但就其历史和应用分别来谈其有益相对狭义，相结合则更加完善。文[5-7]用典例解释高考题中的数学文化，其中简单阐明了数学文化的狭义定义。文[8，9]对文化从思想、核心素养、教育教学特定方面进一步阐释，并进一步解释了数学文化。文[10]中通过运用近似，分割，求和，取极限的步骤得到定积分，利用定积分证明高中阶段立体几何中的基本公式，该文选择几组特殊的平面图形和立体图形进行求面积或者体积，并分析了各公式之间的联系，充分体现了广义的数学文化。
本文采用定积分中的元素法计算圆锥的体积和平面切割圆锥顶层并将切割的顶层挪动的体积来证明祖暅原理中阐述的内容，阐述“幂势即同则积不容异”，挖掘包含其中的数学文化内涵，并说明教学当中结合数学文化讲课所带来的曾益。
2、祖暅原理的由来
祖暅原理即是“等积原理”【1】，是在祖冲之及其子祖暅推导球体积公式过程中发现提出的。球的体积的计算最初出现是在《九章算术》中，因为正方形与其内接球面积比为4：3，正方体与其内接等边圆柱的体积之比也为4：3，从而得出正方体与其内接球的体积之比为16：9，进而解决球的体积问题。刘徽发现《九章算术》中体积公式的比例错误，构造出“牟合方盖”解决问题的思想（古人称伞为“盖”，“牟”同“侔”），并未正确求出球的体积公式。祖暅沿用刘徽的思想去进行探索，将精力从牟合方盖转到方盖差上，再进行分割得到小方盖差，从小方盖差着手，利用两平行平面去截取两个夹在其间的几何体，再进行面积体积计算和比较，若得当高度与截面面积相同时，其体积相等的结论（即幂势即同则积不容异，“势”为高，“幂”为面积，“容”为体积），这样就解决了球的体积。
由上述证明知：当高度与截面面积相同时，其体积相等，即验证了“幂势即同则积不容异”的道理。
4、祖暅原理中的数学文化
祖暅原理由《九章算术》发起，“牟合方盖”的发展，最后得到祖暅原理求得体积，这一段数学发展史是数学文化上灿烂的一笔。祖暅原理是在前人的基础上一步一步发展起来的，《九章算术》在当时是权威，刘徽发现问题与错误并没有因为权威而怀疑放弃自己的观点，祖氏父子沿其方向探究。这个素材充分展示了数学家实事求是、敢于质疑的精神。有利于培养学生善于发现问题，敢于提出问题，勇于探索问题的能力。
无论在那个学习阶段，提高学生学习主动性和勇于探索的精神都很重要重要，在中学阶段尤为突出。那么中学老师激发学生的学习热情需要哪些条件呢？首先一定的数学知识储备是必要的。如若没有一定的数学知识储备，学生很难对数学领域产生兴趣。因此，要想提高学生对于数学学习的兴趣，必须要使得学生有一定的知识准备，以培养他们广泛稳定的兴趣。在课堂教学中，老师可以通过学习书本的知识点，挖掘其知识点背后的数学文化然后传授给学生们，让同学们学习中不单单只是枯燥的学习知识点，而更深层次的了解知识点承载的数学文化，不仅提高学生的学习兴趣，更能够深刻理解知识点，在遇到复杂多变的数学问题时，能够巧妙的运用知识点蕴含的数学思想，解决问题。例如，例如高中学生刚学习立体几何时，由于暂时还没有从平面几何转过弯来，对立体几何不感兴趣，可以简略地介绍立体几何的某些定理的历史。例如介绍一下祖暅原理的相关历史，在数学中祖暅原理的相关应用。学生通过学习祖暅原理的历史由来，让学生不局限于数学只有理论的印象当中，还能够激发学生对相关知识学习的兴趣和深入探索的意向。其次，对于课堂上好奇心较强的学生来说，课后还会去搜集祖暅原理相关的资料，了解更多的知识点。另一方面，祖暅原理在解决某些复杂数学问题方面也是颇为有用的。从这些方面看來祖暅原理带给我们的不仅仅是学术理论，在课堂伸展教学中，能给予我们伸展的方向及度量，且在解题技巧上亦有不可多得的帮助。
下面我们通过解析（2013年上海高考理科第13题）来感受如何运用祖暅原理巧妙解决复杂的数学问题。
例，在XOY平面上，将两个半圆弧 和（x 、两条直线 和 围成的封闭图形记为D，如图3中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何为Ω，过 作Ω的
水平截面，所得截面面积为 ，试得出Ω的体积值（ ） 这道高考题若按照普通水平学生知识储备，这道题目算是一道难题，基础稍微好的学生容易掉入“割补法”的陷阱中，但是如果学生有祖暅原理相关的知识储备，那么该题将迎刃而解。根据题意知，一个半径为1，高为 的圆柱平放，一个高为2，底面积为 的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为 。
祖暅原理的出现，解决了大部分体积问题，更给出了解决体积问题的积累思想。祖暅原理以牟合方盖的思想来贯穿整个探索，放在现代就是无限分割、微元、积分思想，充分体现了极限、建模的思想理念，这正蕴含着现代初等数学教学中强调的数学建模方面的核心素养。这些数学工具、方法、思想的运用，有利于培养自身学习能力和构造性思维和探索的能力、创新能力。祖暅原理对我们现在的学习与教学都有重大的影响，基于数学课堂上的数学核心素养，老师为主导和学生为主体的辩证统一关系，可以归结到如文化史一般在前人的思想上加以新发现新思想。打好基础与创新发展，可来源于运用数学工具，方法去探索创新，有效率地提高自我。数学思维中熟练与理解的交互作用，可表现在运用已有知识，用自己的想法去证明原理，不难看出祖暅原理中蕴含的探索精神，极限和建模的思想理念，证明的严谨性和逻辑性以及带给课堂教学的延展性和张力都是数学文化的体现和传承。
祖暅原理作为人类认识物体体积的一种重要的工具，是历史的产物，是社会历史实践中所创造中所流传下来的物质和精神财富，其展现了数学文化是数学与人文的结合，以其相关背景知识、数学知识、数学工具等作为载体来传承其数学思想、数学方法和数学精神，以此展现数学的严谨性和逻辑性并培养数学核心素养。在近些年无论是从教育部的改革来看，还是从大学入学考试试题来看，其蕴含的数学文化正在悄悄地进入高中数学课堂、进入高考、进入高考考察的范围，一些题也因为其背后承载的数学文化而成为了经典试题，在当今的教学课堂中，可以预见，甚至可以看见，富含数学文化的一些考试题出现，正在逐渐引导教师往数学文化这方面挖掘和探究，继而把数学文化渗透到课堂教学中，最终实现《普通高中教学课程标准》中教学过程中“传授数学文化”的预期目标，这一目标也充分体现了文化自信。
基于祖暅原理中的数学文化在此重申笔者对于数学文化的认识，从狭义上来说数学文化包含数学历史，名人事件，数学工具和数学方法;从广义上来说数学文化除了人文历史还包括数学思想、逻辑、精神、核心素养、教育教学方式方法、文化自信等方面，即数学文化包含与数学相关的一切。
5、结论与启发
通过祖暅原理，可以发现文化也是课程教育的重要部分，文化以各式各样的形式存在在课程中。在初高中数学学习阶段，往往老师就是按照书本的内容进行讲解，运用直接灌输的方式，可以说是一种数学文化工具型教育，文化的蝉联难以显现。现在，高新型教育系统的出现，再以此方式教学，学生难免失去对数学学习的兴趣。如果老师上课能在数学课堂上找到理论的文化归宿，来源依据，让课程遵循历史文化，社会文化的禅变，将文化工具赋予逻辑思想，将工具化型文化转变为思想教育型文化，并融入课堂教学内容中，使同学们了解课程中文化的尺度，文化的自主性和传承性，增加课堂趣味，同学们就能对学习数学理论和文化产生极大的兴趣，不仅能够使学生们学好基本理论，还能增强学生们的自主创新精神，提高学生们自身的文化素养。此外，数学文化贯穿着生活学习中有关数学的一切，如美术，天文，音乐等，在教学过程中穿插数学文化的介绍与讲解，让学生在学习理论知识的过程中，可以深入感受数学文化的魅力，传承数学文化的价值理念，弘扬数学文化的精神。
参考文献
[1] 张伟. 祖暅原理的由来及证明[J]. 重庆教育学院学报，2010.23（03）：113-115.
[2] 叶秀云. 叶雪梅.“祖暅原理”及其教学探究[J]. 福建中学数学，2012.（04）：27-29.
[3] 高红成，王瑞. 祖暅原理的形成及其现实教育意义[J]. 2001.12（04）：28-30.
[4] 袁志玲，陆书环. 基于数学文化的探究式教学设计-----祖暅原理与球体积[J]. 数学教学研究，2007（10）：12-14.
[5] 程玮. 高考数学文化之祖暅原理例析[J]. 中学教育研究，2017.10：10-11.
[6] 高建文. 高考题中数学文化体验[J]. 数学教学研，.2019.01（38）：44-58.
[7] 万广磊，李毅. 数学文化[J]. 中學数学教学参考，2019.（01）：148-150.
[8] 张乃达. 数学思维与数学文化[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2014.（01）：15-23.
[9] 王剑光. 高中数学教学中如何提高学生的核心素养[J]. 西部素质教育，2019.5（06：）：78-80.
[10] 韩新方，李妍，黄柏梅，刘孟锌，马丽. 初等数学中微元法的教学探究[J]. 已投稿.