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【摘要】本文介绍作者在带限制条件的排列问题教学过程中,通过例题对比及方法对比,旨在说明例题教学中注重例题设计及一题多解,然后对比各种解法的区别,从而发现规律,体现实质的重要性.
【关键词】带限制条件;双重受限;单重受限;排列
带限制条件的排列问题中有一类常见的限制是“在”与“不在”.即限制某些特定元素只能在某些位置,也可限制某些特定元素不在某些位置.这一类问题对学生而言,入手较难,而且特别容易出错,本文就这类问题用不同方法进行对比,从集合角度加以分析,并且总结解决办法.
一、单重受限:即部分元素和位置仅受到一个方面的限制
例1 甲、乙、丙三个班级分别从A,B,C,D,E五个景点各选一处游览,而且不能重复,由于甲班中部分同学已去过景点A,B,所以甲班不选景点A,B,问共有多少种安排方法.
分析 从元素看甲班受到限制,而从位置看景点A,B,受到限制,所以用优限法,可以优先安排甲班,也可优先安排景点A,B.
法一 优先安排甲班:甲从C,D,E选一处游览,而乙、丙从剩下的4个地方随意安排,故共有A13A24=36种安排方法.
法二 优限安排受限位置A,B.共分四类:第一类A,B都没被选,共有A33=6种排法;第二类A被选而B没被选,共有A12A23=12种排法;第三类B被选而A没排选,同样为12种排法,第四类A,B都被选,共有A22A13=6种排法,故共有6 12 12 6=36种安排方法.
评注 例2中优先安排受限制的元素甲,则不需要分类,因为甲一定要选位置.而优先安排受了限制位置A,B,则需要分四类,因为位置A,B不一定要被占据.
总结 通过例1、例2的对比:单重受限问题中,关键考查元素和位置哪个更“紧缺”,如果元素比位置少,则优先安排受限制元素更容易.相反,则优先安排受限制位置更容易,另外,也可都用间接法.
二、双重受限:即部分元素和位置受到两个方面不同的限制
例2 用0到9可组成多少个无重复数字的四位奇数?
分析 本例中有两个方面受到限制,一方面,0不能在千位,即千位只能在1到9中选.而个位只能在1,3,5,7,9中选,如果优先安排受限元素过于复杂,故优先安排受限制位置有两种做法:
法 先安排千位,再安排个位:分两类,第一类,千位为奇数有A15=5种安排法,再个位有A14=4种排法,最后是有一位和十位有A28=56种排法,共有5×4×56=1 120种排法.第二类,千位为偶数,同样共有A14A15A28=1 120种排法,故总共有1 120 1 120=2 240种排法.
例3 从A,B,C,D,E,F六人中选4人参加4×100米接力赛,其中A不能跑第一棒,B不能跑第四棒,共有多少种安排方法.
分析 例4也有两方面受限.一方面,A不能第一棒即第一棒只能从B,C,D,E,F中选.另一方面,B不能跑第四棒,即第四棒只能从A,C,D,E,F中選,由于元素比位置多,按照前面单重受限总结,如果优先安排受限A,B则情况过于复杂,下面采用优先安排受限的位置.
法一 先安排第一棒,再安排第四棒:分两类,第一类,若第一棒是B,则不再有限制,有A35=60种排法.第二类,若第一棒不是B,则共有A14A14A24=192种排法,故共有60 192=252种排法.
法二 先安排第四棒,再安排第一棒.同样分两类,第一类第四棒是A,有A35=60种排法,第二类第四棒不是A,则共有A14A14A24=192种排法,故共有60 192=252种排法.
评注 例4与例3则不同,无论先安排第一棒,再安排第四棒,还是先安排第四棒再安排第一棒都需要讨论.主要原因是第一棒的取值集合M={B,C,D,E,F}与第四棒的取值集合N={A,C,D,E,F}没有包含关系,这样无论优先安排哪个受限位置,对另外一个受限位置都有不确定的因素.同样例3中若把“奇数”改为“偶数”,则A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,2,4,6,8}由于A与B没有包含,所以讨论无法避免,若先安排千位,则分千位是奇数和偶数两类.若先安排个位,则分个位为0和不为0两类.另外,例4也可用间接法:A46-2A35 A44=252种排法.
总结 双重受限问题关键考查受限位置的取值集合间的关系.不妨没受限位置甲的取值集合为A,受限位置乙的取值集合为B.若BA,则先安排甲,再安排乙可以避免讨论.若AB,则先安排乙再安排甲可以避免讨论.如果A与B无包含关系,正面解答时讨论将无法避免,讨论的标准是看在不在A∩B中.如先安排甲再安排乙,则可分甲从A∩B中选和甲从CA(A∩B)中选两类.另外,必要时可用间接法.
通过上面两个类型的四个例题的分析和解答以及总结,能够使学生在这类排列问题能够有更深层次的掌握,特别对优限法有了本质地认识,而不是机械地模仿.使学生不但知其然,而且知其所以然,从而揭示了事物的本质,通过几种解法和对比,激活了学生的思维,而且遵循数学解题中的简单化原则,通过教学实践检验,取得了很好的教学效果.
【关键词】带限制条件;双重受限;单重受限;排列
带限制条件的排列问题中有一类常见的限制是“在”与“不在”.即限制某些特定元素只能在某些位置,也可限制某些特定元素不在某些位置.这一类问题对学生而言,入手较难,而且特别容易出错,本文就这类问题用不同方法进行对比,从集合角度加以分析,并且总结解决办法.
一、单重受限:即部分元素和位置仅受到一个方面的限制
例1 甲、乙、丙三个班级分别从A,B,C,D,E五个景点各选一处游览,而且不能重复,由于甲班中部分同学已去过景点A,B,所以甲班不选景点A,B,问共有多少种安排方法.
分析 从元素看甲班受到限制,而从位置看景点A,B,受到限制,所以用优限法,可以优先安排甲班,也可优先安排景点A,B.
法一 优先安排甲班:甲从C,D,E选一处游览,而乙、丙从剩下的4个地方随意安排,故共有A13A24=36种安排方法.
法二 优限安排受限位置A,B.共分四类:第一类A,B都没被选,共有A33=6种排法;第二类A被选而B没被选,共有A12A23=12种排法;第三类B被选而A没排选,同样为12种排法,第四类A,B都被选,共有A22A13=6种排法,故共有6 12 12 6=36种安排方法.
评注 例2中优先安排受限制的元素甲,则不需要分类,因为甲一定要选位置.而优先安排受了限制位置A,B,则需要分四类,因为位置A,B不一定要被占据.
总结 通过例1、例2的对比:单重受限问题中,关键考查元素和位置哪个更“紧缺”,如果元素比位置少,则优先安排受限制元素更容易.相反,则优先安排受限制位置更容易,另外,也可都用间接法.
二、双重受限:即部分元素和位置受到两个方面不同的限制
例2 用0到9可组成多少个无重复数字的四位奇数?
分析 本例中有两个方面受到限制,一方面,0不能在千位,即千位只能在1到9中选.而个位只能在1,3,5,7,9中选,如果优先安排受限元素过于复杂,故优先安排受限制位置有两种做法:
法 先安排千位,再安排个位:分两类,第一类,千位为奇数有A15=5种安排法,再个位有A14=4种排法,最后是有一位和十位有A28=56种排法,共有5×4×56=1 120种排法.第二类,千位为偶数,同样共有A14A15A28=1 120种排法,故总共有1 120 1 120=2 240种排法.
例3 从A,B,C,D,E,F六人中选4人参加4×100米接力赛,其中A不能跑第一棒,B不能跑第四棒,共有多少种安排方法.
分析 例4也有两方面受限.一方面,A不能第一棒即第一棒只能从B,C,D,E,F中选.另一方面,B不能跑第四棒,即第四棒只能从A,C,D,E,F中選,由于元素比位置多,按照前面单重受限总结,如果优先安排受限A,B则情况过于复杂,下面采用优先安排受限的位置.
法一 先安排第一棒,再安排第四棒:分两类,第一类,若第一棒是B,则不再有限制,有A35=60种排法.第二类,若第一棒不是B,则共有A14A14A24=192种排法,故共有60 192=252种排法.
法二 先安排第四棒,再安排第一棒.同样分两类,第一类第四棒是A,有A35=60种排法,第二类第四棒不是A,则共有A14A14A24=192种排法,故共有60 192=252种排法.
评注 例4与例3则不同,无论先安排第一棒,再安排第四棒,还是先安排第四棒再安排第一棒都需要讨论.主要原因是第一棒的取值集合M={B,C,D,E,F}与第四棒的取值集合N={A,C,D,E,F}没有包含关系,这样无论优先安排哪个受限位置,对另外一个受限位置都有不确定的因素.同样例3中若把“奇数”改为“偶数”,则A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,2,4,6,8}由于A与B没有包含,所以讨论无法避免,若先安排千位,则分千位是奇数和偶数两类.若先安排个位,则分个位为0和不为0两类.另外,例4也可用间接法:A46-2A35 A44=252种排法.
总结 双重受限问题关键考查受限位置的取值集合间的关系.不妨没受限位置甲的取值集合为A,受限位置乙的取值集合为B.若BA,则先安排甲,再安排乙可以避免讨论.若AB,则先安排乙再安排甲可以避免讨论.如果A与B无包含关系,正面解答时讨论将无法避免,讨论的标准是看在不在A∩B中.如先安排甲再安排乙,则可分甲从A∩B中选和甲从CA(A∩B)中选两类.另外,必要时可用间接法.
通过上面两个类型的四个例题的分析和解答以及总结,能够使学生在这类排列问题能够有更深层次的掌握,特别对优限法有了本质地认识,而不是机械地模仿.使学生不但知其然,而且知其所以然,从而揭示了事物的本质,通过几种解法和对比,激活了学生的思维,而且遵循数学解题中的简单化原则,通过教学实践检验,取得了很好的教学效果.