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学习了方差公式,有些学生往往只局限于具体的计算之中,没有体会其中的奥妙,实际上方差公式在数学解题中有着广泛的应用.大家知道，如果一组数据x１,x２,x３,…，xn，其平均数为
[AKx-D]= 1 n ( x1+x2+x3+…+xn) ①
方差为 S2 = 1 n ［ ( x1-[AKx-D])2+(x2-[AKx-D])2+ (x
3 -[AKx-D])2+…+(xn -[AKx-D])2 ］②
此方差公式可简化为S2=
1 n ［（x21+x22+x23+…+ x2n)-n[AKx-D]2］ ③
① 代入③ 得S２= 1 n［（x21+ x22+ x23+…+ x
2n ) -1 n ( x1+x2+ x3+…+xn)2］ ④
显然，S2≥0，当且仅当x1=x2=x3=…=xn时，S2=0.
公式④是极为实用的公式，一些数学问题妙用公式④来解，常能化繁为简，化难为易，且思路清晰，简洁明快.下面举例说明.
一、证明有关问题
例1已知a+b+c=1,求证a2+ b2+ c2≥ 1 3 .
证明 ：由公式④知a,b,c的方差为
S2= 1 3 ［ （a2+ b2+ c2) -
1 3 ( a+b+c)2］= 1 3 ［（a2+ b
2+ c2)- 1 3 ×12 ］=
1 3 （a2+ b2+ c2)-
1 9 ,
因为S2≥0， 所以
1 3 （a2+ b2+ c2)- 1 9 ≥0.
所以a2+ b2+ c2≥ 1 3 .
二、求值
例2 已知△ABC的三边a,b,c满足a＞b＞c, 2b=a+c,a2+b2+c2=84, 且b为正整数，求b的值.
解 ：因为2b=a+c，所以a+b+c=3b.
由公式④知a,b,c的方差为
S2= 1 3 ［ （a2+ b2+ c2) -
1 3( a+b+c)2 ］=
1 3［84- 1 3 ( 3b)2］= 28- b2.
因为S2≥0，所以28-b2≥0. 即b2≤28.
又因为2b=a+c，所以4b2= a2+c2+2ac = 84-b2+2ac.
因为a＞0,c＞0,所以4b2＞84-b2.所以 b2＞16 4 5 .
所以16 4 5 ＜b2≤ 28. 因为b是正整数.所以b=5.
三、求最值
例3 设m, n, p均为正实数，且m2+ n2- p2=0,求
p m+n 的最小值.
解 ：由公式④知 m, n的方差为
S2= 1 2 ［ （m2+ n2）-
1 2 （m+n)2］= 1 2 ［ p2 -
1 2 （m+n）2］.
因为S2≥0，所以p2- 1 2 （m+n）2≥0. 即
p2 (m+n)2 ≥
1 2 .
因为m,n,p均为正实数,所以 p m+n
≥ 2 2 .
故当且仅当m=n时，
p m+n
取最小值
2 2 .
四、判断三角形形状
例4 若△ABC的三边a、b、c，满足b+c=8，bc=a２－12a+52，试问△ABC的形状（按边分类），并证明你的结论.
解： △ABC是等腰三角形，证明如下：
由已知得b２+ c２=64-2bc=64-2( a２－12a+52)= -2a２+24a - 40.
由公式④知 b,c的方差为
S２=
１ ２ ［ （b2+c2) -
1 2( b+c)2］=
1 2 ［ （-2a2+24a-40)-
1 2 ×82
］= -(a-6)2.
因为S2≥0， 所以 -(a-6)2≥0. 所以(a-6)2=0, 即 a=6.
所以S2=0,从而b=c=4.
故△ABC是以a为底， b, c为腰的等腰三角形.
五、求字母的取值范围
例5 设实数a,b,c满足
a2-bc-8a+7=0
b2+c2+bc-6a+6=0 〖JB）〗
①
②
求a的取值范围.
解 ：①+②得b２+c２= -a2+14a-13,② - ①得
（b+c）2=（a-1）2.
由公式④知b，c的方差为
S2= 1 2［(b2+c2)-
1 2 （b+c）2］=
1 2［ (-a2+14a-13)-
1 2 （a-1）2］= -
3 4 ( a2-10a+9)
因为S2≥0， 所以-
3 4 ( a2-10a+9) ≥0.即a2-10a+9≤0.
解得 1≤ a ≤9.
六、解方程(组)
例6解方程 4（x+y-1+
z-2）=x+y+z+9.
解 ：设x=a,
y-1=b,
z-2=c.则x=a2,y=b2+1,z=c2+2.
原方程化为4（a+b+c）=a2+b2+c2+12,即a2+b2+c2= 4（a+b+c）-12.
由公式④知a,b,c的方差为
S2 = 1 3 ［ （a2+ b2+c2) -
1 3( a+b+c)2］=
1 3 ［4（a+b+c）-12- 1 3 ( a+b+c)2］
=- 1 9 ( a+b+c-6 )2.
因为S2≥0，所以- 1 9( a+b+c-6 )2≥0.所以( a+b+c-6 )
2≤0.
而( a+b+c-6)2≥0， 所以a+b+c=6.
所以S2=0, 从而a=b=c=2.
故x=4,y=5,z=6,经检验均是原方程的解.
[AKx-D]= 1 n ( x1+x2+x3+…+xn) ①
方差为 S2 = 1 n ［ ( x1-[AKx-D])2+(x2-[AKx-D])2+ (x
3 -[AKx-D])2+…+(xn -[AKx-D])2 ］②
此方差公式可简化为S2=
1 n ［（x21+x22+x23+…+ x2n)-n[AKx-D]2］ ③
① 代入③ 得S２= 1 n［（x21+ x22+ x23+…+ x
2n ) -1 n ( x1+x2+ x3+…+xn)2］ ④
显然，S2≥0，当且仅当x1=x2=x3=…=xn时，S2=0.
公式④是极为实用的公式，一些数学问题妙用公式④来解，常能化繁为简，化难为易，且思路清晰，简洁明快.下面举例说明.
一、证明有关问题
例1已知a+b+c=1,求证a2+ b2+ c2≥ 1 3 .
证明 ：由公式④知a,b,c的方差为
S2= 1 3 ［ （a2+ b2+ c2) -
1 3 ( a+b+c)2］= 1 3 ［（a2+ b
2+ c2)- 1 3 ×12 ］=
1 3 （a2+ b2+ c2)-
1 9 ,
因为S2≥0， 所以
1 3 （a2+ b2+ c2)- 1 9 ≥0.
所以a2+ b2+ c2≥ 1 3 .
二、求值
例2 已知△ABC的三边a,b,c满足a＞b＞c, 2b=a+c,a2+b2+c2=84, 且b为正整数，求b的值.
解 ：因为2b=a+c，所以a+b+c=3b.
由公式④知a,b,c的方差为
S2= 1 3 ［ （a2+ b2+ c2) -
1 3( a+b+c)2 ］=
1 3［84- 1 3 ( 3b)2］= 28- b2.
因为S2≥0，所以28-b2≥0. 即b2≤28.
又因为2b=a+c，所以4b2= a2+c2+2ac = 84-b2+2ac.
因为a＞0,c＞0,所以4b2＞84-b2.所以 b2＞16 4 5 .
所以16 4 5 ＜b2≤ 28. 因为b是正整数.所以b=5.
三、求最值
例3 设m, n, p均为正实数，且m2+ n2- p2=0,求
p m+n 的最小值.
解 ：由公式④知 m, n的方差为
S2= 1 2 ［ （m2+ n2）-
1 2 （m+n)2］= 1 2 ［ p2 -
1 2 （m+n）2］.
因为S2≥0，所以p2- 1 2 （m+n）2≥0. 即
p2 (m+n)2 ≥
1 2 .
因为m,n,p均为正实数,所以 p m+n
≥ 2 2 .
故当且仅当m=n时，
p m+n
取最小值
2 2 .
四、判断三角形形状
例4 若△ABC的三边a、b、c，满足b+c=8，bc=a２－12a+52，试问△ABC的形状（按边分类），并证明你的结论.
解： △ABC是等腰三角形，证明如下：
由已知得b２+ c２=64-2bc=64-2( a２－12a+52)= -2a２+24a - 40.
由公式④知 b,c的方差为
S２=
１ ２ ［ （b2+c2) -
1 2( b+c)2］=
1 2 ［ （-2a2+24a-40)-
1 2 ×82
］= -(a-6)2.
因为S2≥0， 所以 -(a-6)2≥0. 所以(a-6)2=0, 即 a=6.
所以S2=0,从而b=c=4.
故△ABC是以a为底， b, c为腰的等腰三角形.
五、求字母的取值范围
例5 设实数a,b,c满足
a2-bc-8a+7=0
b2+c2+bc-6a+6=0 〖JB）〗
①
②
求a的取值范围.
解 ：①+②得b２+c２= -a2+14a-13,② - ①得
（b+c）2=（a-1）2.
由公式④知b，c的方差为
S2= 1 2［(b2+c2)-
1 2 （b+c）2］=
1 2［ (-a2+14a-13)-
1 2 （a-1）2］= -
3 4 ( a2-10a+9)
因为S2≥0， 所以-
3 4 ( a2-10a+9) ≥0.即a2-10a+9≤0.
解得 1≤ a ≤9.
六、解方程(组)
例6解方程 4（x+y-1+
z-2）=x+y+z+9.
解 ：设x=a,
y-1=b,
z-2=c.则x=a2,y=b2+1,z=c2+2.
原方程化为4（a+b+c）=a2+b2+c2+12,即a2+b2+c2= 4（a+b+c）-12.
由公式④知a,b,c的方差为
S2 = 1 3 ［ （a2+ b2+c2) -
1 3( a+b+c)2］=
1 3 ［4（a+b+c）-12- 1 3 ( a+b+c)2］
=- 1 9 ( a+b+c-6 )2.
因为S2≥0，所以- 1 9( a+b+c-6 )2≥0.所以( a+b+c-6 )
2≤0.
而( a+b+c-6)2≥0， 所以a+b+c=6.
所以S2=0, 从而a=b=c=2.
故x=4,y=5,z=6,经检验均是原方程的解.