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【摘 要】《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在谈到高中数学课程的性质与基本理念时提出,提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界。高考命题相应地也从传统的重知识技能,向重观察归纳能力、思维能力和数学表达能力转变,而数列中的并项求和法对以上三个方面的能力都有涉及,无疑会成为今后高考命题的一个重要方向。本文通过三道例题由浅入深地探索此类问题的解题原则、解题策略,并提供规范准确的解题步骤。
【关键词】并项求和法;周期型数列;分组求和
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2021)16-0100-02
用并项法求数列前n项和是数列分组求和中较为特殊的一类,2012年高考全国卷理科数学第16题,条件简洁,入手不难,但得分率却极低。其根本原因是学生对并项求和的本质缺乏理解,对其解法缺乏总结[1]。笔者尝试寻找此类题的相关解答,发现大部分解答步骤都不是很规范。本文通过具体范例探讨此类问题的共性特征和对应的逻辑思维方式,并给出通用规范的解题步骤。
1 观察并归纳以下数列通项公式结构上的共同特征
(1)an=(?1)n(3n?2)
(2)an=n2(cos2?sin2)
(3)an=(?1)n(2n?1)cos+1
通项公式的共性结构特征:
(1)式 an=(?1)n(3n?2)中(?1)n具备周期性,周期T=2。
(2)式 an=n2(cos2?sin2)使用余弦的倍角公式化简后得:an=n2cos2,其中cos具备周期性,周期T==3。
(3)式 an=(?1)n(2n?1)cos+1中(?1)ncos具备周期性,周期 T=4。
可以发现这些数列通项公式中都含有周期性循环的部分。
2 思考探究,形成解题思路
周期的意思是循环出现,也就是说在每个周期内会循环出现相同的部分。求这类数列的前n项和,可以考虑根据数列表现出的周期性特征,将整个数列按照周期进行分组,在各个组的内部分别求和,然后将各个组的结果进行累加,最终得到结果[2]。
3 数学表达,规范解题步骤
例一:若数列{an}的通项公式是an=(?1)n(3n?2),则S60= 。
分析:在这个通项公式中(?1)n具备周期性质,周期为2,据此考虑将原数列每两项分为一组,进行并项求和。
解:当 n=2k?1时,a2k?1=(?1)2k?1[3(2k?1)?2]=?6k+5
当 n=2k 时,a2k=(?1)2k(3×2k?2)=6k?2
将这两项并为一组,构成新数列:
设bk=a2k?1+a2k=?6k+5+6k?2=3
这里并项后需要检查一下:当k=1,b1=a1+a2;当k=2,b2=a3+a4……
结论:数列{an}中的项既没有重复的也没有遗漏的。(这个步骤非常重要)
所以:S60=a1+a2+…+a60=b1+b2+…+b30=3×30=90
例二:已知数列{an}的通项公式an=n2(cos2?sin2),n∈N+ ,求数列的前3n项和S3n。
解:化简通项公式:
an=n2(cos2?sin2)=n2cos2
通项公式中三角函数的部分具备周期性,周期:T==3。
因为周期为3,所以考虑每三项分为一组
当 n=3k?2,a3k?2=(3k?2)2cos
=?(9k2?12k+4)
当 n=2k?1,a3k?1=(3k?1)2cos
=?(9k2?6k+1)
当 n=3k,a3k=(3k)2cos=9k2
设 bk=a3k?2+a3k?1+a3k=9k?
这里仍然需要检查一下{an}中的项有无重复或遗漏。
∴ S3n=a1+a2+…+a3n=b1+b2+…+bn=n2+4n
例三:(2012年高考全国卷理科数学,16题)数列{an}满足:an+1+(?1)nan=2n?1,则{an}的前60项和
为 。
分析:这不是通项公式,而是一个递推公式,这个公式中也有具备周期性特征的部分(?1)n,其周期为2,据此可尝试使用分组处理法。
解法一:当 n=2k?1时,a2k?a2k?1=4k?3 ①
当 n=2k时,a2k+1+a2k=4k?1 ②
②?①得:a2k?1+a2k+1=2 ③
说明数列相邻奇数项的和为2。
那么偶数项是什么情况呢?显然根据目前的两个递推公式是无法单独解出偶数项的,所以尝试利用递推公式继续往下面写一项:
当 n=2k+1时,a2k+2?a2k+1=4k+1 ④ ②+④得:a2k+a2k+2=8k ⑤
连续偶数项的和为8k(结构上是等差数列,可以
求和)
构造新数列:设bk=a2k?1+a2k+a2k+1+a2k+2=8k+2
这个新数列很熟悉,第一感觉{bn}是等差数列。
这时先别高兴得太早,我们检查一下:
b1=a1+a2+a3+a4,
b2=a3+a4+a5+a6,b3=a5+a6+a7+a8…
数列数列{bn}中出现了重复项,怎么解决这个问题呢?如果只取数列{bn}中的奇数项,则数列{an}中的项既不重复也不遗漏。
S60=a1+a2+…+a60=b1+b3+…+b15
=15×10+×16=1830
题后反思:使用新数列{bn}的奇数项求和很不协调。
那么为什么会出现这种现象呢?该如何避免这种现象出现呢?
解答:事实上,之所以出现这种现象,是因为分组的问题,这个求和问题应该是每四项分成一组(两个奇数项和两个偶数项)。解题按照每两项(n=2k?1,n=2k)分一组去讨论,自然会造成重复现象的出现。解决这个问题的方法就是按照每四项分一组进行并项求和(n=4k?3,n=4k?2,n=4k?1,n=4k)。
解法二:当n=4k?3时,a4k?2?a4k?3=8k?7 ①
当n=4k?2时,a4k?1+a4k?2=8k?5 ②
当n=4k?1时,a4k?a4k?1=8k?3 ③
②?①得:a4k?3+a4k?1=2 ④
②+③得:a4k?2+a4k=16k?8 ⑤
④+⑤得:a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k=16k?6
说明每四项分一组求和后可以得到一个等差数列,因此设:bk=a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k
验证:b1=a1+a2+a3+a4,b2=a5+a6+a7+a8…
数列{an}中的项既没有重复的项,也没有遗漏的项。
所以:S60==15×10+×16=1830
综观以上三个例题,它们有一个共同特征:通项公式中都有周期性循环的部分。依据固有周期将原数列进行分组,分别求出各组的和,用各组的和构造新数列后,将原数列前n项和转化为新数列前n项和。本质:分组的原则来源于通项公式的周期属性。特别注意:构造新数列后需要与原数列对比,检查有无重复项或遗漏项。
【参考文献】
[1]中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社,2017.
[2]高涛.浅析解题类文章的具体解法[J].考试与评价,2015(7).
【作者简介】
孙甲(1979~),男,四川成都人,本科,中学一级教师。研究方向:高中数学教学研究。
【关键词】并项求和法;周期型数列;分组求和
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2021)16-0100-02
用并项法求数列前n项和是数列分组求和中较为特殊的一类,2012年高考全国卷理科数学第16题,条件简洁,入手不难,但得分率却极低。其根本原因是学生对并项求和的本质缺乏理解,对其解法缺乏总结[1]。笔者尝试寻找此类题的相关解答,发现大部分解答步骤都不是很规范。本文通过具体范例探讨此类问题的共性特征和对应的逻辑思维方式,并给出通用规范的解题步骤。
1 观察并归纳以下数列通项公式结构上的共同特征
(1)an=(?1)n(3n?2)
(2)an=n2(cos2?sin2)
(3)an=(?1)n(2n?1)cos+1
通项公式的共性结构特征:
(1)式 an=(?1)n(3n?2)中(?1)n具备周期性,周期T=2。
(2)式 an=n2(cos2?sin2)使用余弦的倍角公式化简后得:an=n2cos2,其中cos具备周期性,周期T==3。
(3)式 an=(?1)n(2n?1)cos+1中(?1)ncos具备周期性,周期 T=4。
可以发现这些数列通项公式中都含有周期性循环的部分。
2 思考探究,形成解题思路
周期的意思是循环出现,也就是说在每个周期内会循环出现相同的部分。求这类数列的前n项和,可以考虑根据数列表现出的周期性特征,将整个数列按照周期进行分组,在各个组的内部分别求和,然后将各个组的结果进行累加,最终得到结果[2]。
3 数学表达,规范解题步骤
例一:若数列{an}的通项公式是an=(?1)n(3n?2),则S60= 。
分析:在这个通项公式中(?1)n具备周期性质,周期为2,据此考虑将原数列每两项分为一组,进行并项求和。
解:当 n=2k?1时,a2k?1=(?1)2k?1[3(2k?1)?2]=?6k+5
当 n=2k 时,a2k=(?1)2k(3×2k?2)=6k?2
将这两项并为一组,构成新数列:
设bk=a2k?1+a2k=?6k+5+6k?2=3
这里并项后需要检查一下:当k=1,b1=a1+a2;当k=2,b2=a3+a4……
结论:数列{an}中的项既没有重复的也没有遗漏的。(这个步骤非常重要)
所以:S60=a1+a2+…+a60=b1+b2+…+b30=3×30=90
例二:已知数列{an}的通项公式an=n2(cos2?sin2),n∈N+ ,求数列的前3n项和S3n。
解:化简通项公式:
an=n2(cos2?sin2)=n2cos2
通项公式中三角函数的部分具备周期性,周期:T==3。
因为周期为3,所以考虑每三项分为一组
当 n=3k?2,a3k?2=(3k?2)2cos
=?(9k2?12k+4)
当 n=2k?1,a3k?1=(3k?1)2cos
=?(9k2?6k+1)
当 n=3k,a3k=(3k)2cos=9k2
设 bk=a3k?2+a3k?1+a3k=9k?
这里仍然需要检查一下{an}中的项有无重复或遗漏。
∴ S3n=a1+a2+…+a3n=b1+b2+…+bn=n2+4n
例三:(2012年高考全国卷理科数学,16题)数列{an}满足:an+1+(?1)nan=2n?1,则{an}的前60项和
为 。
分析:这不是通项公式,而是一个递推公式,这个公式中也有具备周期性特征的部分(?1)n,其周期为2,据此可尝试使用分组处理法。
解法一:当 n=2k?1时,a2k?a2k?1=4k?3 ①
当 n=2k时,a2k+1+a2k=4k?1 ②
②?①得:a2k?1+a2k+1=2 ③
说明数列相邻奇数项的和为2。
那么偶数项是什么情况呢?显然根据目前的两个递推公式是无法单独解出偶数项的,所以尝试利用递推公式继续往下面写一项:
当 n=2k+1时,a2k+2?a2k+1=4k+1 ④ ②+④得:a2k+a2k+2=8k ⑤
连续偶数项的和为8k(结构上是等差数列,可以
求和)
构造新数列:设bk=a2k?1+a2k+a2k+1+a2k+2=8k+2
这个新数列很熟悉,第一感觉{bn}是等差数列。
这时先别高兴得太早,我们检查一下:
b1=a1+a2+a3+a4,
b2=a3+a4+a5+a6,b3=a5+a6+a7+a8…
数列数列{bn}中出现了重复项,怎么解决这个问题呢?如果只取数列{bn}中的奇数项,则数列{an}中的项既不重复也不遗漏。
S60=a1+a2+…+a60=b1+b3+…+b15
=15×10+×16=1830
题后反思:使用新数列{bn}的奇数项求和很不协调。
那么为什么会出现这种现象呢?该如何避免这种现象出现呢?
解答:事实上,之所以出现这种现象,是因为分组的问题,这个求和问题应该是每四项分成一组(两个奇数项和两个偶数项)。解题按照每两项(n=2k?1,n=2k)分一组去讨论,自然会造成重复现象的出现。解决这个问题的方法就是按照每四项分一组进行并项求和(n=4k?3,n=4k?2,n=4k?1,n=4k)。
解法二:当n=4k?3时,a4k?2?a4k?3=8k?7 ①
当n=4k?2时,a4k?1+a4k?2=8k?5 ②
当n=4k?1时,a4k?a4k?1=8k?3 ③
②?①得:a4k?3+a4k?1=2 ④
②+③得:a4k?2+a4k=16k?8 ⑤
④+⑤得:a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k=16k?6
说明每四项分一组求和后可以得到一个等差数列,因此设:bk=a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k
验证:b1=a1+a2+a3+a4,b2=a5+a6+a7+a8…
数列{an}中的项既没有重复的项,也没有遗漏的项。
所以:S60==15×10+×16=1830
综观以上三个例题,它们有一个共同特征:通项公式中都有周期性循环的部分。依据固有周期将原数列进行分组,分别求出各组的和,用各组的和构造新数列后,将原数列前n项和转化为新数列前n项和。本质:分组的原则来源于通项公式的周期属性。特别注意:构造新数列后需要与原数列对比,检查有无重复项或遗漏项。
【参考文献】
[1]中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社,2017.
[2]高涛.浅析解题类文章的具体解法[J].考试与评价,2015(7).
【作者简介】
孙甲(1979~),男,四川成都人,本科,中学一级教师。研究方向:高中数学教学研究。