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[摘 要]TALC模型是旅游学界讨论最多的模型之一，在诸多讨论的议题中，关于该模型各阶段的划分和确认一直是一个未能解决的难题。文章基于用Logistic模型解决TALC模型各阶段定量划分的目的，在运用微分知识分析Logistic模型数学性质的基础上，发现了该模型有3个时间节点。然后分析了Logistic模型对TALC模型各阶段的定量划分的适用性，并对美国十大国家公园上百年的时间序列数据进行回归分析，实证了美国十大国家公园的旅游生命周期模式。分析得出：（1）Logistic模型可以很好地拟合TALC模型的前5个阶段，即探查-参与阶段、发展阶段、巩固阶段、停滞阶段；（2）利用Logistic模型求得划分TALC模型的3个时间节点（[a-1.317r]，[K4.732]）、（[ar]，[K2]）、（[a+1.317r]，[K1.268]）；（3）美国国家公园的旅游生命周期模式可以分为3类：Ⅰ型—标准型、Ⅱ型—断崖型、Ⅲ型—跳跃型。研究发现TALC模型各阶段可以进行定量划分和确认，文章得出的3个时间节点就是一次探索性尝试。
[关键词]Logistic模型；TALC模型；美国国家公园；旅游生命周期模式
[中图分类号]F59
[文献标识码]A
[文章编号]1002-5006（2017）06-0086-10
Doi： 10.3969/j.issn.1002-5006.2017.06.013
引言
旅游地生命周期理论是旅游地理学中非常重要的理论，也是被国内外旅游研究者讨论最多的理论之一。从20世纪70年代开始出现了一系列讨论度假地发展的文章，如度假地周期（resort cycle）[1]、旅游地演化周期（tourist area cycle of evolution）[2]、目的地生命周期（destination life cycle）[3]、旅游地生命周期（tourism area life cycle）[4]等。其实早先Godkin、Webster和Hobbs就对美国滨水度假地的演化过程、阶段和模式进行了研究[5]。Christaller在研究欧洲旅游的发展时发现，旅游地的演进要经过发现（discovery）、成长（growth）、衰落（decline）3个过程[6]。目前被旅游研究者公认的旅游地生命周期（tourism area life cycle）模型是由Butler于1980年提出的（图1）。Butler发现，旅游地的发展一般会经历探查、参与、发展、巩固、停滞、衰落或复苏6个阶段，并分析了每个阶段游客、居民和旅游设施的变化，而且TALC模型在形态上呈S形[2]。
自Butler提出旅游地生命周期模型之后，国内外旅游研究者一度对该模型进行过激烈而且充分的讨论。余书炜总结了周期理论包含的5个内容：（1）基础命题——旅游地会经历一个由起步经盛而衰的演进过程，即生命周期过程；（2）对周期的释因；（3）对生命周期各階段划分与描述；（4）对生命周期各阶段的特征描述；（5）对周期理论用途的阐述[7]。李军和陈志钢就旅游学术界对该模型的争论概括为3个方面：（1）质疑还是支持Butler提出的旅游地生命周期模型；（2）什么因素决定了旅游地生命周期的演进；（3）TALC模型的解释是应该从需求的角度，还是从生产的角度[8]。然而，关于该模型各阶段的定量划分却少有文献探讨，因而很难应用到旅游预测和旅游规划中。Haywood指出，只有考虑到分析的空间单元、TALC演化模式及其阶段划分、合适的测量指标、合适的时间维度等重要问题时，才能使得周期理论具有实际操作性[9]。Cooper发现，旅游地生命周期阶段转折点的确认、所处阶段的确认、各阶段长度的确认也存在很多争议[10]。
尽管如此，仍有许多研究将该模型用于实证分析。笔者通过对文献的考证，发现部分学者将TALC模型应用于微观单元的研究和讨论。国外学者Cooper和Jackson对英国男人岛的研究[3]、Getz对美国与加拿大交界处的尼亚加拉瀑布的研究[11]、Benedetto和Bojanic对美国赛普里斯花园的研究[4]，这些研究都是将某一处景区作为微观单元进行分析。国内在旅游地生命周期应用于微观单元上也有相应的研究，保继刚将TALC模型应用于北京颐和园[12]、喀斯特洞穴的研究[13]。陆林对黄山、九华山的旅游地生命周期进行的实证研究[14]。徐红罡认为当旅游地的旅游产品和形象较为单一时，旅游生命周期就可以等同于旅游产品生命周期[15]。
至于对TALC模型各阶段的划分，由于Butler提出的TALC模型是一个定性描述模型，因此对于TALC模型各阶段的划分目前更多停留在定性探讨上，对TALC模型各阶段的定量分析的研究较少。保继刚、陆林等人的研究，多是先对游客量随时间变化进行统计，然后针对图形的变化进行定性的原因探讨。李睿等对浙江瑶琳洞的生命周期进行了统计分析和回归分析，发现游客量对时间的三次函数拟合良好[16]。查爱苹运用微分方程的知识对旅游地的需求模型进行数学推导，发现推导出的函数与TALC模型不谋而合[17]。笔者发现，查爱苹所推导出的旅游地需求模型已经出现Logistic模型的痕迹，但其没有对该模型进行更加深入的数学探究。Cole运用Logistic旅游模型分析了Aruba和Barbados旅游发展的状况[18]。但其研究着重于用Logistic方程对离散旅游数据的拟合，并没有探讨到旅游地生命周期模型各阶段的数学划分。Butler通过对Logistic方程微分推导，认为其可能是对旅游目的地发展过程较为满意的近似[5]。Cooper和Jackson则通过男人岛的案例实证发现，其生命周期阶段之间的转折点往往在事后才能确定[3]。
至于在研究TALC模型时用到的测量指标和时间维度，目前的研究者几乎多采用以年度为单位的游客量和旅游收入。笔者认为，大部分研究者采用年度数据的原因主要有两方面：（1）旅游业极具季节性和波动性，采用年度数据进行统计分析可以一定程度消除旅游数据的波动性；（2）研究某个旅游地的生命周期往往要收集较长年份的旅游时序数据，对于一些旅游地能够收集到历年的年度数据已经很不容易，更小时间单位的游客数据在旅游发展早期甚至没有人进行过统计。 以往的研究并没有给出TALC模型各阶段的定量划分，那么是否可以用其他数量模型对其进行拟合并对其进行各阶段的划分，进而将TALC模型在定量应用上推进一小步？本文首先从介绍Logistic模型的产生和数学性质开始，逐步探讨把其与TALC模型结合使用的适用性。同时，本文采取微观单元的视角，试图把Logistic模型的数学性质应用到TALC模型中，对TALC模型的各阶段进行数学划分，确立TALC模型的3个时间节点：（[a-1.317r]，[K4.732]）、（[ar]，[K2]）、（[a+1.317r]，[K1.268]），从而使该模型在旅游预测和旅游规划中具有实际操作性。并以美国十大国家公园为实证案例，通过回归分析，归纳其旅游生命周期的模式，总结出国家公园的3种旅游生命周期模式：Ⅰ型—标准型、Ⅱ型—断崖型、Ⅲ型—跳跃型。
1 Logistic模型
1.1 Logistic模型的产生
在Logistic模型产生之前，英国统计学家马尔萨斯在研究人口数量时，提出两条公理“第一，食物为人类生存所必需；第二，两性间的情欲是必然的，且几乎会保持现状”，基于这两条公理，得出人口会按几何比例增加[19]，可以概括为如下模型：
[Nt=N0?ert] （1）
其中，N为人口数量（关于时间t的函数）；[N0]是初始人口数量，是一个常数；r是一个常数。
在上述马尔萨斯提出的模型中，人口数量以[er]为公比，随时间按几何级数增加。据此模型，人口将无限制增加。他没有考虑到环境的因素，这个模型略显粗糙。比利时数学家Verhulst在马尔萨斯模型的基础上，考虑到种内竞争，种群的增长（包括人口数量的增长）不可能一直持续下去，提出环境容纳量的概念，当种群大小接近环境容纳量（K）时，增长率将趋近于0，因此产生了Logistic模型[20]。
[Nt=K1+ea-rt] （2）
[Nt=11/K+b*e-rt，b=ea/K] （3）
其中，a、r、b均大于0，N为人口数量（关于时间t的函数）；K为理论极限值；r为增长速度因子，a、b为常数。
Logistic模型明确了事物发展（种群增长、耐用消费品拥有量、新能源产量）的非线性规律，在市场预测中运用非线性增长方法，能提高规划的可操作性，并且能减少投资等失败的概率。Logistic模型是在环境容纳量一定的基础上提出的，为事物增长、发展提供了科学依据[21]。
1.2 Logistic模型数学性质
为了更加深入地理解Logistic模型的数学特点，尤其是其阶段转折点的求解，即为3个时间节点的求解做出逻辑解释，也为说明其与TALC模型可以结合使用，这里首先需要分析Logistic模型的数学性质。
运用微分知识对Logistic模型[Nt=K1+ea-rt]进行一阶、二阶、三阶求导，得出该模型的4个数学特点，如图2：
特点1： [limt→0+K1+ea-rt=K1+ea]，[limt→+∞K1+ea-rt=K，]由此，该模型曲线有两条渐近线，分别为：[N=K1+ea]（该渐近线在实际应用中没有太大意义），N=K。通过特点1可以知道该模型存在渐近线（asymptote）N=K。
特点2：[dNdt=rN1-NK>0]，而且[dNdt=-rK][N-K2N-K2+rK4]，可知[dNdt]即N的增长速率在N=[K2]处取得最大值，在N=[K2]之前，增长速率逐渐增大，在N=[K2]之后，增长速率逐渐减小；最大值[dNdt（max）=rK4]。
特点3：[d2Ndt2=r2N1-NK（1-2NK）]；当N<[K2]，[d2Ndt2>0]，此时曲线函数为凹函数；当N>[K2]时，[d2Ndt2<0]，此时曲线函数为凸函数，则求得（[ar，K2]）为曲线[Nt=K1+ea-rt]的唯一拐点。通过特点3与上述特点2，求解出Logistic模型的一个时间节点（[ar，K2]）。
特点4：[d3Ndt3=r3N1-NK（1-6NK+6N2K2）]，令[d3Ndt3=0]，可以得出N=[K3±3]，即[K1+ea-rt=K3±3]，则可以求出一阶导数[dNdt=rN1-NK]的两个拐点，[t1=a-1.317r，t2=a+1.317r]，函数N（t）在（0，[t1]）属于渐增期，（[t1]，[t2]）属于加速增长期，（[t2]，+∞）属于饱和增长期。由特点4，解出另外两个时间节点（[a-1.317r，][K4.732]）、（[a+1.317r，][K1.268]）。
根据以上Logistic模型的性质，只要求得K、r、a这3个参数的实际值，不仅可以确定函数的方程以及函数的曲线，而且可以确定3个时间节点：（[a-1.317r，][K4.732]）、（[ar，][K2]）、（[a+1.317r，][K1.268]）。
2 TALC模型与Logistic模型的比較
2.1 Logistic模型的适用性
本研究将Logistic模型用于TALC模型探讨具有适用性。国内外已经有学者在旅游地的相关研究中涉及Logistic模型。查爱苹运用微分方程的知识对旅游地的需求模型进行数学推导，其研究已经出现Logistic模型的痕迹[17]。张良勇和徐中民等将Logistic模型用于清明上河园和龙门石窟环境承载力的探讨，已经讨论过唯一拐点的问题，但其研究着重于环境承载力而不是阶段划分[22]。Butler通过对Logistic方程微分推导，认为其可能是对旅游目的地发展过程的近似[5]。Cole运用Logistic旅游模型分析了Aruba和Barbados旅游发展的情况，研究着重于用Logistic方程对离散旅游数据的拟合，也没有探讨旅游地生命周期模型各阶段的数学划分[18]。因此，将两个模型结合起来探讨既是对前人研究的补充，也是本研究的意旨所在。 TALC模型被多数学者认为是一种关于旅游地演化的定性描述工具，该模型指出旅游地演化的一般模式大致会经历探查、参与、发展、巩固、停滞、衰退或复苏6个阶段，而且在形态上呈现出“S”形。由于受到旅游地承载力的影响和作用，一处旅游地的游客不会无限制的增加，会在一个生命周期内出现一个最大值。这个模型最显著的特征是还描述了衰退或者复苏阶段的5种可能情况[2]。这个模型的一个缺点就是只可以描述旅游地的演化规律，却不能对每个阶段进行定量划分，也不能方便地对未来做出很好的预测。
与TALC模型相比，如表1所示，Logistic模型具有更多的数学性质，因而具有更强的可操作性。Logistic模型最初描述的生物种群的生长情况，之后也被用来描述一种产品在市场当中的生命周期，由于受到生物环境和市场环境的制约，一个种群或一个产品不可能无限扩张和增长，因而与TALC模型有着异曲同工之妙，而且在形态上也呈现相似的“S”形。
2.2 TALC模型的定量划分
根据Logistic模型的数学性质可以找到3个时间节点，因而可将该模型的曲线分为4个阶段，可以很好地对应TALC模型的前5个阶段，如图2所示。
第一阶段，从一个旅游地开始发展到时间[t1=a-1.317r]，包含了Butler所說的探查、参与两个阶段，该阶段曲线变化缓慢，而在数学意义上未能严格地分为两段；第二阶段，从时间[t1=a-1.317r]到时间[ar]，是发展阶段，该阶段曲线增长越来越快，到时间[ar]增长速率达到最大值；第三阶段，从[时间ar]到[时间t2]=[a+1.317r]，是巩固阶段，该阶段曲线还是在快速的增长的，但是增长速率逐渐变慢；第四阶段，从[时间t2]到以后较长一段时间（数学上为无限远期，当然实际生活中不会无限远期），是停滞阶段，该阶段曲线增长的极为缓慢，逐渐趋于稳定。由于Logistic模型没有衰退和复苏阶段，因此本文只探讨前几个阶段的对应情况。而衰退或者复苏可以在Logistic模型后追加其他函数来拟合，下文的实证数据中有对其他函数的拟合，这里不做过多讨论。而且根据收集到的景区或景点的实证数据，求出K、r、a这3个参数，就可以确定3个节点：（[a-1.317r]，[K4.732]）、（[ar]，[K2]）、（[a+1.317r]，[K1.268]），从而实现TALC模型的定量划分。
3 实证应用
3.1 数据来源
本研究收集了美国十大国家公园的游客量数据，而且每个国家公园收集了将近百年的年度时序数据，如表2。10个美国国家公园的数据均来自美国国家公园网站[23]，可以确保数据的准确性、完整性。本研究实证案例中游客量的单位是万人次，时间单位是年，因为图表空间有限，所以图表中不再特别标注。
3.2 数据处理
本文主要采用SPSS19.0软件对数据进行处理，数据处理步骤为“分析-回归-曲线估计”。在对Logistic模型中参数K进行估计时，章元明和盖钧 镒总结了7种线性估计方法，分别为：三点法、两步法、取[Nn]估K法、尝试法、一阶差分法、差分法、三步法[24]，由于尝试法可以实现较精确的参数估计，因而本文采用尝试法[25]，尝试法可以在SPSS软件中通过曲线估计实现[26]。虽然每组数据都会出现游客数量波动较大的年份，去除掉这些数据会使拟合的结果更加良好，但是本研究分析的是百年数据的整体拟合情况和实际拟合结果，因此不对个别年份做异常值处理。数据处理结果如表3，曲线估计的结果均在p=0.05的水平下显著，其中，T为实际年份，t=T-数据起始年份。
3.3 结果分析
根据数据处理的结果可以将这10个国家公园的旅游生命周期模式分为3种类型：Ⅰ型—标准型，包括大峡谷国家公园和锡安山国家公园；Ⅱ型—断崖型，包括阿卡迪亚国家公园、大提顿国家公园、大雾山国家公园、洛基山国家公园和优胜美地国家公园；Ⅲ型—跳跃型，包括死谷国家公园、奥林匹克国家公园和黄石国家公园。本文分别从每种旅游生命周期模式中挑选一个国家公园进行详细阐释，分别是：大峡谷国家公园、阿卡迪亚国家公园和死谷国家公园。本文选取大峡谷国家公园、阿卡迪亚国家公园和死谷国家公园为代表对美国国家公园生命周期模式进行阐述，其余国家公园的阶段划分详见表3。
Ⅰ型—标准型：从该类型的国家公园游客量的时间变化来看，可以用Logistic模型进行很好的 拟合，形态上呈现S形，完美契合了Butler提出的TALC模型的前5个阶段。本文以大峡谷国家公 园为例阐述该模式的国家公园的特点，如图3所示。用Logistic模型对观测值进行拟合得到N=1/（0.24*e（-0.08*t）+1/595），t=T-1918（1919≤T≤2014，R2=0.95）。根据Logistic模型的性质可以找到大峡谷国家公园的发展的3个时间节点，分别为（1960，18.13）、（1978，255.06）、（1996，403.27），因而可以将其划分为4个阶段：1960年之前为探查-参与阶段；1961—1978年为发展阶段；1979—1996年为巩固阶段；1997至今为停滞阶段。每个阶段的游客量虽然有不同程度的波动性，但就整体而言每个阶段的特点基本符合TALC模型。大峡谷国家公园目前正处在停滞阶段，在其他条件不变的情况下将长期处于该阶段。
Ⅱ型—断崖型：本文以阿卡迪亚国家公园为例阐述该类型的国家公园的特点，如图4所示。从该模式的国家公园游客量的时间变化来看，可以分为两个部分，第一部分可以用Logistic模型进行很好的拟合，从形态上来看为不完整的S形，较为完美契合了TALC模型的前4个阶段。用Logistic模型对观测值进行拟合得到N=1/（0.24*e（-0.08*t）+1/595），t=T-1918（1919≤T≤1990，R2=0.81）。根据Logistic模型的性质可以找到阿卡迪亚国家公园的发展的3个时间节点，分别为（1962，126.47）、（1978，300.71）、（1994，472.77），因而可以将其划分为4个阶段：1962年之前为探查-参与阶段；1963—1978年为发展阶段；1979—1989年为巩固阶段；由于1990年发生断崖式衰落，因此并未出现之后的停滞阶段。断崖衰落阶段可以用游客量N关于时间t的3次函数来拟合，得到N=-29750.00+1085.73*t-13.02*t2+0.05*t3，t=T-1918（1990≤T≤2014，R2=0.72）。阿卡迪亚国家公园目前已经发展到断崖型衰落阶段，在其他条件不变的情况下将继续处于该阶段。 Ⅲ型—跳跃型：本文以死谷国家公园为例阐述该类型的国家公园的特点，如图5所示。从该类型的国家公园游客量的时间变化来看，可以分为两个部分，第一部分可以用Logistic模型进行很好的拟合，从形态上来看为较完整的S形，可以契合TALC模型的前5个阶段。用Logistic模型对观测值进行拟合得到N=1/（0.34*e（-0.10*t）+1/76），t=T-1932（1933≤T≤1992，R2=0.97）。根据Logistic模型的性质可以找到死谷国家公园的发展的3个时间节点，分别为（1952，16.64）、（1965，38.36）、（1978，5），因而可以将其划分为4个阶段：1952年之前为探查-参与阶段；1953—1965年为发展阶段；1966—1978年为巩固阶段；1979—1992年为停滞阶段。1993年以后死谷国家公园游客量跳跃性增长，跳跃发展阶段可以用游客量N关于时间t的三次函数来拟合，得到N=-17373.56+752.84*t-10.74*t2+0.05*t3，t=T-1932（1993≤T≤2014，R2=0.73）。死谷国家公园目前已经发展到跳跃发展阶段，在其他条件不变的情况下将继续处于該阶段。
5 结论与意义
5.1 研究结论
（1）TALC模型可以划分出3个时间节点。通过Logistic模型和TALC模型多种性质的比较，本研究发现Logistic模型可以非常完美的拟合TALC模型。而且通过对Logistic模型的性质数学推导与分析，可以得出Logistic模型曲线的3个时间节点，分别是（[a-1.317r]，[K4.732]）、（[ar]，[K2]）、（[a+1.317r]，[K1.268]），只要求出参数K、a、r，则可求得这3个时间节点的实际值。从而可以划分出4个阶段，分别为：探查—参与阶段（[a-1.317r]年份之前）；发展阶段（[a-1.317r]年份至[ar]年份）；巩固阶段（[ar]年份至[a+1.317r]年份）和停滞阶段（[a+1.317r]年份以后）。并且根据Logistic模型可以求出未来年份的函数值，一般为游客量。本文从而实现了对TALC模型的前5个阶段进行定量划分的功能，弥补了TALC模型只能进行定性描述的缺憾。
（2）国家公园的发展符合3种旅游生命周期模式。从微观单元上看，以美国十大国家公园为例，根据其后期游客量的变化，归纳出3种旅游生命周期模式：Ⅰ型—标准型、Ⅱ型—断崖型、Ⅲ型—跳跃型。3种模式的国家公园在发展的很长一段时间内都可以用Logistic模型进行良好的拟合，从而支持了结论一。而这3种旅游生命周期模式的归纳，也为我国国家公园和一些类似的微观景区景点的发展提供理论参考。
5.2 研究意义
本研究的意义可以从理论和实践两个方面来概述：（1）TALC模型各阶段的划分和确认一直是一个难以克服的问题[9-10]，本研究首次对该模型的各阶段进行了定量的划分，并得出了3个时间节点，从某种意义上补充了以Butler的旅游地假设演化模型[2]为代表的旅游地生命周期理论，推进了该理论的完善。尽管本研究还存在一些不足，但依然是对旅游原生理论进行的一次深入探讨和尝试。（2）旅游预测关系着我国旅游事业的宏观发展和旅游从业者的经营策略，本研究定量划分TALC模型的目的之一就是可以使该模型在实践中具有操作性，旅游研究人员和从业者可以运用已经掌握的数据对未来的旅游实践进行指导和预测，从而使旅游景区朝着健康的方向发展。
5.3 研究局限与展望
（1）Butler提出的TALC模型中共有6个阶段[2]，而Logistic模型只可以划分出4个阶段。其中，发展阶段、巩固阶段、停滞阶段可以得到很好的对应。原因在于：第一，对于探查阶段和参与阶段，这两个阶段都属于旅游发展早期，进入的游客和旅游企业的数量变化甚微，Butler也只是进行了定性的描述，并没有给出明显的界限，因而在Logistic模型将其合并到一个阶段中。其次，对于复苏阶段或者衰落阶段，由Logistic模型的性质可知，该函数是单调递增的，而且有渐近线N=K（K与a、r都是模型参数），因此Logistic模型既不会表现出复苏阶段，也没有衰落阶段。因此，不能对衰落和复苏阶段进行对应是本研究的局限之一。本文提出用其他函数，例如用时间t的二次函数或者三次函数拟合这个阶段的发展状况，可以得到很好的结果，可以作为对这一局限的弥补。
（2）利用Logistic模型划分的生命周期阶段和时间转折点是否和实际一致。笔者认为这是本研究的一个缺憾，如果本文分析的结果从广大的旅游学者、旅游企业和旅游管理部门那里得到验证，本研究将会更加具有说服力。本研究的初衷是给TALC模型的定量分析提供一个视角和方法，讨论这10个美国的国家公园的发展阶段是否与本文分析的一致以及每个转折点产生的原因将是一个非常庞大和艰巨的任务。此外，对于美国国家公园出现“标准型、断崖型、跳跃型”3种模式的原因也缺乏探讨，就笔者掌握的资料来看，还不足以说明这些现象背后的原因，可能会造成“知其然，而不知其所以然”的后果，这也许可以成为未来研究的学术问题。对此，笔者会在以后的研究中进一步调研和补充论证材料，以期获得更加完整和可信的结论。
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[关键词]Logistic模型；TALC模型；美国国家公园；旅游生命周期模式
[中图分类号]F59
[文献标识码]A
[文章编号]1002-5006（2017）06-0086-10
Doi： 10.3969/j.issn.1002-5006.2017.06.013
引言
旅游地生命周期理论是旅游地理学中非常重要的理论，也是被国内外旅游研究者讨论最多的理论之一。从20世纪70年代开始出现了一系列讨论度假地发展的文章，如度假地周期（resort cycle）[1]、旅游地演化周期（tourist area cycle of evolution）[2]、目的地生命周期（destination life cycle）[3]、旅游地生命周期（tourism area life cycle）[4]等。其实早先Godkin、Webster和Hobbs就对美国滨水度假地的演化过程、阶段和模式进行了研究[5]。Christaller在研究欧洲旅游的发展时发现，旅游地的演进要经过发现（discovery）、成长（growth）、衰落（decline）3个过程[6]。目前被旅游研究者公认的旅游地生命周期（tourism area life cycle）模型是由Butler于1980年提出的（图1）。Butler发现，旅游地的发展一般会经历探查、参与、发展、巩固、停滞、衰落或复苏6个阶段，并分析了每个阶段游客、居民和旅游设施的变化，而且TALC模型在形态上呈S形[2]。
自Butler提出旅游地生命周期模型之后，国内外旅游研究者一度对该模型进行过激烈而且充分的讨论。余书炜总结了周期理论包含的5个内容：（1）基础命题——旅游地会经历一个由起步经盛而衰的演进过程，即生命周期过程；（2）对周期的释因；（3）对生命周期各階段划分与描述；（4）对生命周期各阶段的特征描述；（5）对周期理论用途的阐述[7]。李军和陈志钢就旅游学术界对该模型的争论概括为3个方面：（1）质疑还是支持Butler提出的旅游地生命周期模型；（2）什么因素决定了旅游地生命周期的演进；（3）TALC模型的解释是应该从需求的角度，还是从生产的角度[8]。然而，关于该模型各阶段的定量划分却少有文献探讨，因而很难应用到旅游预测和旅游规划中。Haywood指出，只有考虑到分析的空间单元、TALC演化模式及其阶段划分、合适的测量指标、合适的时间维度等重要问题时，才能使得周期理论具有实际操作性[9]。Cooper发现，旅游地生命周期阶段转折点的确认、所处阶段的确认、各阶段长度的确认也存在很多争议[10]。
尽管如此，仍有许多研究将该模型用于实证分析。笔者通过对文献的考证，发现部分学者将TALC模型应用于微观单元的研究和讨论。国外学者Cooper和Jackson对英国男人岛的研究[3]、Getz对美国与加拿大交界处的尼亚加拉瀑布的研究[11]、Benedetto和Bojanic对美国赛普里斯花园的研究[4]，这些研究都是将某一处景区作为微观单元进行分析。国内在旅游地生命周期应用于微观单元上也有相应的研究，保继刚将TALC模型应用于北京颐和园[12]、喀斯特洞穴的研究[13]。陆林对黄山、九华山的旅游地生命周期进行的实证研究[14]。徐红罡认为当旅游地的旅游产品和形象较为单一时，旅游生命周期就可以等同于旅游产品生命周期[15]。
至于对TALC模型各阶段的划分，由于Butler提出的TALC模型是一个定性描述模型，因此对于TALC模型各阶段的划分目前更多停留在定性探讨上，对TALC模型各阶段的定量分析的研究较少。保继刚、陆林等人的研究，多是先对游客量随时间变化进行统计，然后针对图形的变化进行定性的原因探讨。李睿等对浙江瑶琳洞的生命周期进行了统计分析和回归分析，发现游客量对时间的三次函数拟合良好[16]。查爱苹运用微分方程的知识对旅游地的需求模型进行数学推导，发现推导出的函数与TALC模型不谋而合[17]。笔者发现，查爱苹所推导出的旅游地需求模型已经出现Logistic模型的痕迹，但其没有对该模型进行更加深入的数学探究。Cole运用Logistic旅游模型分析了Aruba和Barbados旅游发展的状况[18]。但其研究着重于用Logistic方程对离散旅游数据的拟合，并没有探讨到旅游地生命周期模型各阶段的数学划分。Butler通过对Logistic方程微分推导，认为其可能是对旅游目的地发展过程较为满意的近似[5]。Cooper和Jackson则通过男人岛的案例实证发现，其生命周期阶段之间的转折点往往在事后才能确定[3]。
至于在研究TALC模型时用到的测量指标和时间维度，目前的研究者几乎多采用以年度为单位的游客量和旅游收入。笔者认为，大部分研究者采用年度数据的原因主要有两方面：（1）旅游业极具季节性和波动性，采用年度数据进行统计分析可以一定程度消除旅游数据的波动性；（2）研究某个旅游地的生命周期往往要收集较长年份的旅游时序数据，对于一些旅游地能够收集到历年的年度数据已经很不容易，更小时间单位的游客数据在旅游发展早期甚至没有人进行过统计。 以往的研究并没有给出TALC模型各阶段的定量划分，那么是否可以用其他数量模型对其进行拟合并对其进行各阶段的划分，进而将TALC模型在定量应用上推进一小步？本文首先从介绍Logistic模型的产生和数学性质开始，逐步探讨把其与TALC模型结合使用的适用性。同时，本文采取微观单元的视角，试图把Logistic模型的数学性质应用到TALC模型中，对TALC模型的各阶段进行数学划分，确立TALC模型的3个时间节点：（[a-1.317r]，[K4.732]）、（[ar]，[K2]）、（[a+1.317r]，[K1.268]），从而使该模型在旅游预测和旅游规划中具有实际操作性。并以美国十大国家公园为实证案例，通过回归分析，归纳其旅游生命周期的模式，总结出国家公园的3种旅游生命周期模式：Ⅰ型—标准型、Ⅱ型—断崖型、Ⅲ型—跳跃型。
1 Logistic模型
1.1 Logistic模型的产生
在Logistic模型产生之前，英国统计学家马尔萨斯在研究人口数量时，提出两条公理“第一，食物为人类生存所必需；第二，两性间的情欲是必然的，且几乎会保持现状”，基于这两条公理，得出人口会按几何比例增加[19]，可以概括为如下模型：
[Nt=N0?ert] （1）
其中，N为人口数量（关于时间t的函数）；[N0]是初始人口数量，是一个常数；r是一个常数。
在上述马尔萨斯提出的模型中，人口数量以[er]为公比，随时间按几何级数增加。据此模型，人口将无限制增加。他没有考虑到环境的因素，这个模型略显粗糙。比利时数学家Verhulst在马尔萨斯模型的基础上，考虑到种内竞争，种群的增长（包括人口数量的增长）不可能一直持续下去，提出环境容纳量的概念，当种群大小接近环境容纳量（K）时，增长率将趋近于0，因此产生了Logistic模型[20]。
[Nt=K1+ea-rt] （2）
[Nt=11/K+b*e-rt，b=ea/K] （3）
其中，a、r、b均大于0，N为人口数量（关于时间t的函数）；K为理论极限值；r为增长速度因子，a、b为常数。
Logistic模型明确了事物发展（种群增长、耐用消费品拥有量、新能源产量）的非线性规律，在市场预测中运用非线性增长方法，能提高规划的可操作性，并且能减少投资等失败的概率。Logistic模型是在环境容纳量一定的基础上提出的，为事物增长、发展提供了科学依据[21]。
1.2 Logistic模型数学性质
为了更加深入地理解Logistic模型的数学特点，尤其是其阶段转折点的求解，即为3个时间节点的求解做出逻辑解释，也为说明其与TALC模型可以结合使用，这里首先需要分析Logistic模型的数学性质。
运用微分知识对Logistic模型[Nt=K1+ea-rt]进行一阶、二阶、三阶求导，得出该模型的4个数学特点，如图2：
特点1： [limt→0+K1+ea-rt=K1+ea]，[limt→+∞K1+ea-rt=K，]由此，该模型曲线有两条渐近线，分别为：[N=K1+ea]（该渐近线在实际应用中没有太大意义），N=K。通过特点1可以知道该模型存在渐近线（asymptote）N=K。
特点2：[dNdt=rN1-NK>0]，而且[dNdt=-rK][N-K2N-K2+rK4]，可知[dNdt]即N的增长速率在N=[K2]处取得最大值，在N=[K2]之前，增长速率逐渐增大，在N=[K2]之后，增长速率逐渐减小；最大值[dNdt（max）=rK4]。
特点3：[d2Ndt2=r2N1-NK（1-2NK）]；当N<[K2]，[d2Ndt2>0]，此时曲线函数为凹函数；当N>[K2]时，[d2Ndt2<0]，此时曲线函数为凸函数，则求得（[ar，K2]）为曲线[Nt=K1+ea-rt]的唯一拐点。通过特点3与上述特点2，求解出Logistic模型的一个时间节点（[ar，K2]）。
特点4：[d3Ndt3=r3N1-NK（1-6NK+6N2K2）]，令[d3Ndt3=0]，可以得出N=[K3±3]，即[K1+ea-rt=K3±3]，则可以求出一阶导数[dNdt=rN1-NK]的两个拐点，[t1=a-1.317r，t2=a+1.317r]，函数N（t）在（0，[t1]）属于渐增期，（[t1]，[t2]）属于加速增长期，（[t2]，+∞）属于饱和增长期。由特点4，解出另外两个时间节点（[a-1.317r，][K4.732]）、（[a+1.317r，][K1.268]）。
根据以上Logistic模型的性质，只要求得K、r、a这3个参数的实际值，不仅可以确定函数的方程以及函数的曲线，而且可以确定3个时间节点：（[a-1.317r，][K4.732]）、（[ar，][K2]）、（[a+1.317r，][K1.268]）。
2 TALC模型与Logistic模型的比較
2.1 Logistic模型的适用性
本研究将Logistic模型用于TALC模型探讨具有适用性。国内外已经有学者在旅游地的相关研究中涉及Logistic模型。查爱苹运用微分方程的知识对旅游地的需求模型进行数学推导，其研究已经出现Logistic模型的痕迹[17]。张良勇和徐中民等将Logistic模型用于清明上河园和龙门石窟环境承载力的探讨，已经讨论过唯一拐点的问题，但其研究着重于环境承载力而不是阶段划分[22]。Butler通过对Logistic方程微分推导，认为其可能是对旅游目的地发展过程的近似[5]。Cole运用Logistic旅游模型分析了Aruba和Barbados旅游发展的情况，研究着重于用Logistic方程对离散旅游数据的拟合，也没有探讨旅游地生命周期模型各阶段的数学划分[18]。因此，将两个模型结合起来探讨既是对前人研究的补充，也是本研究的意旨所在。 TALC模型被多数学者认为是一种关于旅游地演化的定性描述工具，该模型指出旅游地演化的一般模式大致会经历探查、参与、发展、巩固、停滞、衰退或复苏6个阶段，而且在形态上呈现出“S”形。由于受到旅游地承载力的影响和作用，一处旅游地的游客不会无限制的增加，会在一个生命周期内出现一个最大值。这个模型最显著的特征是还描述了衰退或者复苏阶段的5种可能情况[2]。这个模型的一个缺点就是只可以描述旅游地的演化规律，却不能对每个阶段进行定量划分，也不能方便地对未来做出很好的预测。
与TALC模型相比，如表1所示，Logistic模型具有更多的数学性质，因而具有更强的可操作性。Logistic模型最初描述的生物种群的生长情况，之后也被用来描述一种产品在市场当中的生命周期，由于受到生物环境和市场环境的制约，一个种群或一个产品不可能无限扩张和增长，因而与TALC模型有着异曲同工之妙，而且在形态上也呈现相似的“S”形。
2.2 TALC模型的定量划分
根据Logistic模型的数学性质可以找到3个时间节点，因而可将该模型的曲线分为4个阶段，可以很好地对应TALC模型的前5个阶段，如图2所示。
第一阶段，从一个旅游地开始发展到时间[t1=a-1.317r]，包含了Butler所說的探查、参与两个阶段，该阶段曲线变化缓慢，而在数学意义上未能严格地分为两段；第二阶段，从时间[t1=a-1.317r]到时间[ar]，是发展阶段，该阶段曲线增长越来越快，到时间[ar]增长速率达到最大值；第三阶段，从[时间ar]到[时间t2]=[a+1.317r]，是巩固阶段，该阶段曲线还是在快速的增长的，但是增长速率逐渐变慢；第四阶段，从[时间t2]到以后较长一段时间（数学上为无限远期，当然实际生活中不会无限远期），是停滞阶段，该阶段曲线增长的极为缓慢，逐渐趋于稳定。由于Logistic模型没有衰退和复苏阶段，因此本文只探讨前几个阶段的对应情况。而衰退或者复苏可以在Logistic模型后追加其他函数来拟合，下文的实证数据中有对其他函数的拟合，这里不做过多讨论。而且根据收集到的景区或景点的实证数据，求出K、r、a这3个参数，就可以确定3个节点：（[a-1.317r]，[K4.732]）、（[ar]，[K2]）、（[a+1.317r]，[K1.268]），从而实现TALC模型的定量划分。
3 实证应用
3.1 数据来源
本研究收集了美国十大国家公园的游客量数据，而且每个国家公园收集了将近百年的年度时序数据，如表2。10个美国国家公园的数据均来自美国国家公园网站[23]，可以确保数据的准确性、完整性。本研究实证案例中游客量的单位是万人次，时间单位是年，因为图表空间有限，所以图表中不再特别标注。
3.2 数据处理
本文主要采用SPSS19.0软件对数据进行处理，数据处理步骤为“分析-回归-曲线估计”。在对Logistic模型中参数K进行估计时，章元明和盖钧 镒总结了7种线性估计方法，分别为：三点法、两步法、取[Nn]估K法、尝试法、一阶差分法、差分法、三步法[24]，由于尝试法可以实现较精确的参数估计，因而本文采用尝试法[25]，尝试法可以在SPSS软件中通过曲线估计实现[26]。虽然每组数据都会出现游客数量波动较大的年份，去除掉这些数据会使拟合的结果更加良好，但是本研究分析的是百年数据的整体拟合情况和实际拟合结果，因此不对个别年份做异常值处理。数据处理结果如表3，曲线估计的结果均在p=0.05的水平下显著，其中，T为实际年份，t=T-数据起始年份。
3.3 结果分析
根据数据处理的结果可以将这10个国家公园的旅游生命周期模式分为3种类型：Ⅰ型—标准型，包括大峡谷国家公园和锡安山国家公园；Ⅱ型—断崖型，包括阿卡迪亚国家公园、大提顿国家公园、大雾山国家公园、洛基山国家公园和优胜美地国家公园；Ⅲ型—跳跃型，包括死谷国家公园、奥林匹克国家公园和黄石国家公园。本文分别从每种旅游生命周期模式中挑选一个国家公园进行详细阐释，分别是：大峡谷国家公园、阿卡迪亚国家公园和死谷国家公园。本文选取大峡谷国家公园、阿卡迪亚国家公园和死谷国家公园为代表对美国国家公园生命周期模式进行阐述，其余国家公园的阶段划分详见表3。
Ⅰ型—标准型：从该类型的国家公园游客量的时间变化来看，可以用Logistic模型进行很好的 拟合，形态上呈现S形，完美契合了Butler提出的TALC模型的前5个阶段。本文以大峡谷国家公 园为例阐述该模式的国家公园的特点，如图3所示。用Logistic模型对观测值进行拟合得到N=1/（0.24*e（-0.08*t）+1/595），t=T-1918（1919≤T≤2014，R2=0.95）。根据Logistic模型的性质可以找到大峡谷国家公园的发展的3个时间节点，分别为（1960，18.13）、（1978，255.06）、（1996，403.27），因而可以将其划分为4个阶段：1960年之前为探查-参与阶段；1961—1978年为发展阶段；1979—1996年为巩固阶段；1997至今为停滞阶段。每个阶段的游客量虽然有不同程度的波动性，但就整体而言每个阶段的特点基本符合TALC模型。大峡谷国家公园目前正处在停滞阶段，在其他条件不变的情况下将长期处于该阶段。
Ⅱ型—断崖型：本文以阿卡迪亚国家公园为例阐述该类型的国家公园的特点，如图4所示。从该模式的国家公园游客量的时间变化来看，可以分为两个部分，第一部分可以用Logistic模型进行很好的拟合，从形态上来看为不完整的S形，较为完美契合了TALC模型的前4个阶段。用Logistic模型对观测值进行拟合得到N=1/（0.24*e（-0.08*t）+1/595），t=T-1918（1919≤T≤1990，R2=0.81）。根据Logistic模型的性质可以找到阿卡迪亚国家公园的发展的3个时间节点，分别为（1962，126.47）、（1978，300.71）、（1994，472.77），因而可以将其划分为4个阶段：1962年之前为探查-参与阶段；1963—1978年为发展阶段；1979—1989年为巩固阶段；由于1990年发生断崖式衰落，因此并未出现之后的停滞阶段。断崖衰落阶段可以用游客量N关于时间t的3次函数来拟合，得到N=-29750.00+1085.73*t-13.02*t2+0.05*t3，t=T-1918（1990≤T≤2014，R2=0.72）。阿卡迪亚国家公园目前已经发展到断崖型衰落阶段，在其他条件不变的情况下将继续处于该阶段。 Ⅲ型—跳跃型：本文以死谷国家公园为例阐述该类型的国家公园的特点，如图5所示。从该类型的国家公园游客量的时间变化来看，可以分为两个部分，第一部分可以用Logistic模型进行很好的拟合，从形态上来看为较完整的S形，可以契合TALC模型的前5个阶段。用Logistic模型对观测值进行拟合得到N=1/（0.34*e（-0.10*t）+1/76），t=T-1932（1933≤T≤1992，R2=0.97）。根据Logistic模型的性质可以找到死谷国家公园的发展的3个时间节点，分别为（1952，16.64）、（1965，38.36）、（1978，5），因而可以将其划分为4个阶段：1952年之前为探查-参与阶段；1953—1965年为发展阶段；1966—1978年为巩固阶段；1979—1992年为停滞阶段。1993年以后死谷国家公园游客量跳跃性增长，跳跃发展阶段可以用游客量N关于时间t的三次函数来拟合，得到N=-17373.56+752.84*t-10.74*t2+0.05*t3，t=T-1932（1993≤T≤2014，R2=0.73）。死谷国家公园目前已经发展到跳跃发展阶段，在其他条件不变的情况下将继续处于該阶段。
5 结论与意义
5.1 研究结论
（1）TALC模型可以划分出3个时间节点。通过Logistic模型和TALC模型多种性质的比较，本研究发现Logistic模型可以非常完美的拟合TALC模型。而且通过对Logistic模型的性质数学推导与分析，可以得出Logistic模型曲线的3个时间节点，分别是（[a-1.317r]，[K4.732]）、（[ar]，[K2]）、（[a+1.317r]，[K1.268]），只要求出参数K、a、r，则可求得这3个时间节点的实际值。从而可以划分出4个阶段，分别为：探查—参与阶段（[a-1.317r]年份之前）；发展阶段（[a-1.317r]年份至[ar]年份）；巩固阶段（[ar]年份至[a+1.317r]年份）和停滞阶段（[a+1.317r]年份以后）。并且根据Logistic模型可以求出未来年份的函数值，一般为游客量。本文从而实现了对TALC模型的前5个阶段进行定量划分的功能，弥补了TALC模型只能进行定性描述的缺憾。
（2）国家公园的发展符合3种旅游生命周期模式。从微观单元上看，以美国十大国家公园为例，根据其后期游客量的变化，归纳出3种旅游生命周期模式：Ⅰ型—标准型、Ⅱ型—断崖型、Ⅲ型—跳跃型。3种模式的国家公园在发展的很长一段时间内都可以用Logistic模型进行良好的拟合，从而支持了结论一。而这3种旅游生命周期模式的归纳，也为我国国家公园和一些类似的微观景区景点的发展提供理论参考。
5.2 研究意义
本研究的意义可以从理论和实践两个方面来概述：（1）TALC模型各阶段的划分和确认一直是一个难以克服的问题[9-10]，本研究首次对该模型的各阶段进行了定量的划分，并得出了3个时间节点，从某种意义上补充了以Butler的旅游地假设演化模型[2]为代表的旅游地生命周期理论，推进了该理论的完善。尽管本研究还存在一些不足，但依然是对旅游原生理论进行的一次深入探讨和尝试。（2）旅游预测关系着我国旅游事业的宏观发展和旅游从业者的经营策略，本研究定量划分TALC模型的目的之一就是可以使该模型在实践中具有操作性，旅游研究人员和从业者可以运用已经掌握的数据对未来的旅游实践进行指导和预测，从而使旅游景区朝着健康的方向发展。
5.3 研究局限与展望
（1）Butler提出的TALC模型中共有6个阶段[2]，而Logistic模型只可以划分出4个阶段。其中，发展阶段、巩固阶段、停滞阶段可以得到很好的对应。原因在于：第一，对于探查阶段和参与阶段，这两个阶段都属于旅游发展早期，进入的游客和旅游企业的数量变化甚微，Butler也只是进行了定性的描述，并没有给出明显的界限，因而在Logistic模型将其合并到一个阶段中。其次，对于复苏阶段或者衰落阶段，由Logistic模型的性质可知，该函数是单调递增的，而且有渐近线N=K（K与a、r都是模型参数），因此Logistic模型既不会表现出复苏阶段，也没有衰落阶段。因此，不能对衰落和复苏阶段进行对应是本研究的局限之一。本文提出用其他函数，例如用时间t的二次函数或者三次函数拟合这个阶段的发展状况，可以得到很好的结果，可以作为对这一局限的弥补。
（2）利用Logistic模型划分的生命周期阶段和时间转折点是否和实际一致。笔者认为这是本研究的一个缺憾，如果本文分析的结果从广大的旅游学者、旅游企业和旅游管理部门那里得到验证，本研究将会更加具有说服力。本研究的初衷是给TALC模型的定量分析提供一个视角和方法，讨论这10个美国的国家公园的发展阶段是否与本文分析的一致以及每个转折点产生的原因将是一个非常庞大和艰巨的任务。此外，对于美国国家公园出现“标准型、断崖型、跳跃型”3种模式的原因也缺乏探讨，就笔者掌握的资料来看，还不足以说明这些现象背后的原因，可能会造成“知其然，而不知其所以然”的后果，这也许可以成为未来研究的学术问题。对此，笔者会在以后的研究中进一步调研和补充论证材料，以期获得更加完整和可信的结论。
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