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摘 要：粒子群算法是数学建模中的重要方法之一，本文总结结合实际分析其在数学建模中的作用，为在数学建模过程中正确选择建模方案提供参考。
关键词：粒子群算法;数学模型;应用;分析
0 前言
粒子群算法是一种典型的寻优算法，其基本思想是通过模拟自然界生物捕食的策略，群体迭代，使得粒子在解空间向最优的粒子靠拢，其是智能算法的一种。粒子群算法模型中，粒子运动时都能记忆自身在运动中的最优位置和群体在运动中的最优位置，他们相互共享所得到的信息，因此整个群体都能通过分析得到的信息群体最佳位置运动。它是一个全面的寻优方法，有效的避免了遗传算法等复杂的操作过程，只通过简单的位置变换来达到群体最优解。本文以讨论普通消费者确定成为自动驾驶汽车车主的临界购车成本为例，对粒子群算法在数学建模中的应用进行分析。
1 粒子群算法简介
1.1 算法基本概念
在PSO算法中，微粒群在n维空间中搜索，其中每个粒子的位置Xi表示问题的一个解，粒子通过不断更新自己的位置进行解的搜索。
第i个粒子t时刻的位置用表示;
第1个粒子t时刻的速度用表示;
第1个粒子每一个时刻都能记住自己t时刻前搜索到的最佳位置，记作Pt，整个微粒群搜索到的最佳位置，记作Pg。
每个粒子t时刻的速度Vit由自身最佳位置和群体最佳位置影响，并按照以下公式更新各微粒的速度和位置。
其中，ω称为权惯因子，c1，c2为正的加速常数，r1，r2为0到1之间均匀分布的随机数。
1.2 算法基本原理
粒子群算法从模型中得到启示并用将其运用于解决问题。在粒子群算法中，解决问题最佳方案都是粒子。粒子们均有一个自身最佳值，这个值是由执行过优化的函数决定的。每个粒子向前的移动都是由一定的速度（具有方向性、相对性、瞬时性）决定的。粒子们跟随着最优粒子在空间中移动至最优方位。粒子群初始的集群是一群随机产生的粒子，他们通过不断的迭代找到最终目标。在每一次迭代的过程中，粒子们通过跟踪自身的个体极值和种群的全局极值来更新自己的位置;个体极值是粒子自己找到的最佳位置;全局极值是整个种群找到的最优解[4]。我们也可以只取其中一部分粒子作为样本群体而不是采用整个粒子群解决问题，而取值的这部分粒子群的极值被称为这部分粒子群的局部极值。
1.3 算法特点
在粒子群刚开始进行優化算法时，其产生的第一代粒子群具有很大的随机性，而每代所有粒子用过信息的共享和各个粒子的自身寻求最优解的能力的逐步提高使得粒子群随着种群进化代数的增加而变得具有更大的随机性。而遗传算法需要采用二进制编码或者是采用针对实数的遗传操作，所以粒子群算法相对于遗传算法的主要优势就是采用了实数编码的机制;并且通过粒子群优化算法的信息共享机制和遗传算法相比是具有相当大的差异的：在遗传算法中，染色体相互之间都能实现信息的传递，因此整个种群会相互联结向着最佳的方向均匀移动;而在粒子群算法解决相同的问题的过程中，粒子间的信息流动是单向的，只有最优解粒子能够将信息传达给其他的粒子，所以整个优化解决问题的过程中粒子都是跟随最优粒子的速度移动。例如对于F=x12+x22+x32的问题求解，粒子可以直接编码为（x1，x2，x3），而其适应度函数就是f（x）。并且粒子是有记忆特性的，它们通过自我和借鉴式的学习，让其后续粒子有方向性的向着最优的方位移动，所以粒子群算法能在相对短的时间内得出问题的最优解。
2 粒子群算法在具体问题中的应用举例
2.1 讨论自动驾驶汽车的充电时间缩短，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本
假设自动驾驶汽车的充电时间缩短，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本。然后利用Matlab软件，采用粒子群算法可以得到如下所示结果。
由此可以确定当超过5.2w时，可能会造成一定的损失。
2.2 讨论如果自动驾驶汽车的续航里程增加，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本
利用Matlab软件编制程序，进行优化分析，通过优化确定出自动驾驶汽车的续航里程增加时的消费者确定成为车主的临界购车成本。对模型参数进行设定，可以确定此种情况下的临界曲线如下所示。
如果自动驾驶汽车的续航里程增加，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本为81 w。
3 结语
粒子群算法是数学建模中的重要工具之一。其实际应用从初期的函数优化、神经网络训练发展到求解随机优化问题、求解最优控制问题和工程领域应用，涵盖系统设计，多目标优化，高精度分类，模式识别，快速调度，信号处理，辅助快速决策等多个方面，对工程实践有着十分重要的意义。
参考文献：
[1]王曙燕.计算智能与组合软件测试优化[M].科学出版社，2013.
[2]卓金武，周英.量化投资：数据挖掘技术与实践[M]. 电子工业出版社，2015.
[3]范瑜.进化计算理论及其在阵列天线方向图综合中的应用[D].上海交通大学，2005.
[4]罗德相.粒子群算法改进方法研究[D].广西民族大学，2009.
[5]邱明伦.求解非线性方程组的方法研究[D].西南石油大学， 2012.
关键词：粒子群算法;数学模型;应用;分析
0 前言
粒子群算法是一种典型的寻优算法，其基本思想是通过模拟自然界生物捕食的策略，群体迭代，使得粒子在解空间向最优的粒子靠拢，其是智能算法的一种。粒子群算法模型中，粒子运动时都能记忆自身在运动中的最优位置和群体在运动中的最优位置，他们相互共享所得到的信息，因此整个群体都能通过分析得到的信息群体最佳位置运动。它是一个全面的寻优方法，有效的避免了遗传算法等复杂的操作过程，只通过简单的位置变换来达到群体最优解。本文以讨论普通消费者确定成为自动驾驶汽车车主的临界购车成本为例，对粒子群算法在数学建模中的应用进行分析。
1 粒子群算法简介
1.1 算法基本概念
在PSO算法中，微粒群在n维空间中搜索，其中每个粒子的位置Xi表示问题的一个解，粒子通过不断更新自己的位置进行解的搜索。
第i个粒子t时刻的位置用表示;
第1个粒子t时刻的速度用表示;
第1个粒子每一个时刻都能记住自己t时刻前搜索到的最佳位置，记作Pt，整个微粒群搜索到的最佳位置，记作Pg。
每个粒子t时刻的速度Vit由自身最佳位置和群体最佳位置影响，并按照以下公式更新各微粒的速度和位置。
其中，ω称为权惯因子，c1，c2为正的加速常数，r1，r2为0到1之间均匀分布的随机数。
1.2 算法基本原理
粒子群算法从模型中得到启示并用将其运用于解决问题。在粒子群算法中，解决问题最佳方案都是粒子。粒子们均有一个自身最佳值，这个值是由执行过优化的函数决定的。每个粒子向前的移动都是由一定的速度（具有方向性、相对性、瞬时性）决定的。粒子们跟随着最优粒子在空间中移动至最优方位。粒子群初始的集群是一群随机产生的粒子，他们通过不断的迭代找到最终目标。在每一次迭代的过程中，粒子们通过跟踪自身的个体极值和种群的全局极值来更新自己的位置;个体极值是粒子自己找到的最佳位置;全局极值是整个种群找到的最优解[4]。我们也可以只取其中一部分粒子作为样本群体而不是采用整个粒子群解决问题，而取值的这部分粒子群的极值被称为这部分粒子群的局部极值。
1.3 算法特点
在粒子群刚开始进行優化算法时，其产生的第一代粒子群具有很大的随机性，而每代所有粒子用过信息的共享和各个粒子的自身寻求最优解的能力的逐步提高使得粒子群随着种群进化代数的增加而变得具有更大的随机性。而遗传算法需要采用二进制编码或者是采用针对实数的遗传操作，所以粒子群算法相对于遗传算法的主要优势就是采用了实数编码的机制;并且通过粒子群优化算法的信息共享机制和遗传算法相比是具有相当大的差异的：在遗传算法中，染色体相互之间都能实现信息的传递，因此整个种群会相互联结向着最佳的方向均匀移动;而在粒子群算法解决相同的问题的过程中，粒子间的信息流动是单向的，只有最优解粒子能够将信息传达给其他的粒子，所以整个优化解决问题的过程中粒子都是跟随最优粒子的速度移动。例如对于F=x12+x22+x32的问题求解，粒子可以直接编码为（x1，x2，x3），而其适应度函数就是f（x）。并且粒子是有记忆特性的，它们通过自我和借鉴式的学习，让其后续粒子有方向性的向着最优的方位移动，所以粒子群算法能在相对短的时间内得出问题的最优解。
2 粒子群算法在具体问题中的应用举例
2.1 讨论自动驾驶汽车的充电时间缩短，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本
假设自动驾驶汽车的充电时间缩短，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本。然后利用Matlab软件，采用粒子群算法可以得到如下所示结果。
由此可以确定当超过5.2w时，可能会造成一定的损失。
2.2 讨论如果自动驾驶汽车的续航里程增加，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本
利用Matlab软件编制程序，进行优化分析，通过优化确定出自动驾驶汽车的续航里程增加时的消费者确定成为车主的临界购车成本。对模型参数进行设定，可以确定此种情况下的临界曲线如下所示。
如果自动驾驶汽车的续航里程增加，帮助普通消费者确定成为车主的临界购车成本为81 w。
3 结语
粒子群算法是数学建模中的重要工具之一。其实际应用从初期的函数优化、神经网络训练发展到求解随机优化问题、求解最优控制问题和工程领域应用，涵盖系统设计，多目标优化，高精度分类，模式识别，快速调度，信号处理，辅助快速决策等多个方面，对工程实践有着十分重要的意义。
参考文献：
[1]王曙燕.计算智能与组合软件测试优化[M].科学出版社，2013.
[2]卓金武，周英.量化投资：数据挖掘技术与实践[M]. 电子工业出版社，2015.
[3]范瑜.进化计算理论及其在阵列天线方向图综合中的应用[D].上海交通大学，2005.
[4]罗德相.粒子群算法改进方法研究[D].广西民族大学，2009.
[5]邱明伦.求解非线性方程组的方法研究[D].西南石油大学， 2012.