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摘 要：数量遗传学是遗传学领域难度较大的课程，掌握数量遗传学基本知识，并能将其应用到科研工作中，从事相关研究，需要学生拥有较为扎实的统计学基础。但是，目前国内的统计学和数量遗传学教学尚缺乏联系。该文以数量遗传学基本概念为主要内容，较为详细的推导了数量遗传学的基本原理和公式，为学生进一步理解该学科的的基本原理提供帮助，也为该学科的进一步研究提供基础。
关键词：教学改革；统计计算；数量遗传学；复杂性状
中图分类号 G642.0 文献标识码 A 文章编号 1007-7731（2017）20-0018-04
数量遗传学是遗传学的一个特殊分支，该学科的研究对象是个体之间性状“程度”的差异，而非“类型”的差异。这些个体间的差异被称为数量差异或数量性状[1]，数量性状被定义为在一个群体内的各个体间表现为连续变异的性状[2]。数量性状的表型受到基因和环境变异的共同影响，单个基因解释的表型方差的比例通常是很小。然而，无数微效基因的联合贡献对表型的变异有重要意义。控制数量性状变异的基因称为数量性状基因座（QTL）。在数量遗传学文献中，QTL代表单数形式，QTLs代表复数形式。但无论一个QTL有多小，它都像单个孟德尔位点一样分离[3]。目前，常规的研究手段仍然捕捉不到小效应的QTL的分离现象，依然需要借助统计学方法来推断基因间的分离现象。大多数应用于数量遗传学的统计方法需要定义特殊的遗传模型。
1 基因频率和基因型频率
动物育种领域只考虑二倍体生物。二倍体生物携带同源基因组的2个拷贝，一个来自父本亲本，另一个来自母本的亲本。基因组的每个拷贝称为单倍体。因此，基因组的每个基因座都含有两个等位基因，每个基因座均来自每个亲本[4]。虽然每个个体最多携带2个不同的等位基因，但是整个群体可能有许多不同的等位基因，称为复等位基因群体[5]。为了简单起见，我们只考虑一个包含2个不同等位基因的种群，称为二倍体群体。设特定群体[A]位点有2个等位基因[A1]和[A2]。在二倍体群体中，只可能有3种基因型，分别为[A1A1]、[A1A2]和[A2A2]。不同群体的结构和交配制度决定了其3种基因型比例的的不同，[P11=PrA1A1]，[P12=PrA1A2]和[P22=PrA2A2]分别为3种基因型的频率。基因型[A1A1]、[A1A2]分别包含1个或2个等位基因[A1]。因此，整个群体[A1]的频率为：
[p1=PrA1=P11+12P12]
[p2=PrA2=P22+12P12]
以上2个公式不考虑群体历史和结构。但是，基因型频率和基因频率之间的函数关系需要一些假设。在大的随机交配群体中，存在基因频率和基因型频率之间的独特关系，可以表示为[P11=p21]，[P12=2p1p2]和[P22=p22]。这可以解释为2个独立等位基因联合在一起形成基因型[6]。因为包含2个相同的基因型，所以杂合子的频率为[2p1p2]，即[A1A2]和[A2A1]代表2种不同来源的配子。这个特殊的关系可由以下2项式扩展表示：
[p1+p22=p21+2p1p2+p22] （1）
对应于如下基因（型）分离组合事件：
[A1+A22=A1A1+2A1A2+A2A2] （2）
如果一个群体没有选择、突变和迁移，基因频率和基因型频率将在代际传递中一直保持不变，这样的群体处于哈代-温伯格平衡状态[7]。如果一个大群体不处于哈代-温伯格平衡，只要经过一代的随机交配就足以使群体达到哈代-温伯格平衡。
对于一个等位基因频率[kk>2]群体的哈代-温伯格平衡可表示为[Pij=2pipj]，[i≠j]；[Pii=p2i]，[i=j]，此处[Pij=PrAiAj]和[pi=PrAi]，[i， j=1， …， k]。
基因频率和基因型频率是群体的基本特征。研究的基因通常与适合度有关，从而确定群体对环境变化的适应性和群体的进化。这些内容是群体遗传学的研究内容。在数量遗传学中，我们的研究对象是的决定数量性状表型的基因，所以首先要为基因型和等位基因指派赋值，这些值被称为遗传效应。
2 遗传效应和遗传差异
群体中每个个体的数量性状都有表型值。 假设我们可以观察到群体中所有个体的基因型。基因型[A1A1]的遗传效应被定义为群体中携带基因型[A1A1]个体的表型平均值，该基因型值定义为[G11]，[A1A2]和[A2A2]也可有类似定义。[G11]的效应等于平均表型效应，其原因如下。设[Y11]為携带基因型[A1A1]个体的表型值，则其可以表达为：
[Y11=G11+E11] （3）
此处，[E11]为随机环境偏差。即使群体中的每个个体都有相同的基因型值，其环境偏差也各不相同。当对群体中所有个体求平均值时，上式变为：
[Y11=G11+E11] （4）
[G11]个体数量足够多时，因正负偏差相互抵消，则[E11≈0]，[Y11=G11]。
可以定义3种参数为基因型值的函数：
[μ=12G11+G22]
[a=G11-12G11+G22]
[=G11-μ] （5）
[d=G12-12G11+G22]
[=G12-μ]
此处，[μ]称为中值，[a]为加性效应，[d]为显性效应。因此，3种基因型值可以表示为：
[G11=μ+a]
[G12=μ+d] （6）
[G22=μ-a]
我们也可以将基因型值表示为中值的偏差：
[φ11=G11-μ=a]
[φ12=G12-μ=d] （7） [φ22=G22-μ=-a]
在温代-哈伯格平衡下，基因型值的群体平均值可以表示为中值的偏差：
[μG=Eφ=P11φ11+P12φ12+P22φ22]
[=p21a+2p1p2d+p22-a]
[=p1-p2a+2p1p2d] （8）
基因型方差为：
[σ2G=varφ=Eφ2-E2φ] （9）
此处
[Eφ2=P11φ211+P12φ212+P22φ222]
[=p21a2+2p1p2d2+p22-a2]
[=p21+p22a2+2p1p2d2] （10）
经过一些代数运算，可得
[σ2G=2p1p2a+p2-p1d2+2p1p2d2] （11）
3 平均等位基因替代效应
个体的每个位点由2个等位基因组成，每个等位基因分别来自一个亲本。2个等位基因在繁殖过程中将进入不同的配子。亲本的配子将在子代重新组合，形成下一代的基因型。因此，基因型不能一代一代的遗传下去，而是它是等位基因（单倍型）从一个世代传递到下一个世代[8]。因此，需要定义等位基因效应。本文用下面2×2表格定义等位基因效应。
等位基因[A1]的效应定义为：
[α1=φ11-μGp21+φ12-μGp2p1p1=p2a+dp2-p1] （12）
等位基因[A2]的效应定义为：
[α2=φ12-μGp1p2+φ22-μGp22p2=-p1a+dp2-p1]
（13）
2个等位基因之间的差值称为平均等位基因替代效应，表示为[α]：
[α=α1-α2=a+p2-p1d] （14）
不同基因型中2个等位基因的效应和称为“育种值”，其含义为个体携带这种基因型的后代的期望基因型值。因此，基因型[A1A1]的育种值为[A11=2α1=2p2α]，另外2个基因型的育种值分别为[A12=α1+α2=p2-p1α]和[A22=2α2=-p1α]。真实基因型值和与育种值的差异称为显性偏差[9]。3种显性偏差分别为：
[δ11=φ11-μG-A11=-2p22d]
[δ12=φ12-μG-A12=2p1p2d] （15）
[δ22=φ22-μG-A22=-2p21d]
3种基因型的基因型值（G）、育种值（A）和显性偏差（D）列于表2。
4 遗传方差组分
育种值和显性偏差的期望为0，证明过程如下：
[EA=P11A11+P12A12+P22A22]
[=p212p2α+2p1p2p2-p1α+p22-2p1α=0] （16）
[ED=P11δ11+P12δ12+P22δ22]
[=p21-2p22d+2p1p22p1p2d+p22-2p21d=0] （17）
类似可以推导出：
[σ2A=EA2=p212p2α2+2p1p2p2-p1α2+p22-2p1α2=2p1p2α2]
（18）
[σ2D=ED2=p21-2p22d2+2p1p22p1p2d2+p22-2p1α2=2p1p2d2]
（19）
由遗传性知识和公式（11）可得，第一部分（18）为[σ2A]，第二部分（19）为[σ2D]，因此：
[σ2G=σ2A+σ2D] （20）
即总遗传方差可以被剖分为加性方差组分和显性方差组分。
5 遗传力
表型值[Y]可由如下线性模型表示：
[Y=G+E=A+D+E] （21）
上式中，[E]为环境误差，其平均值为0，方差为[σ2E]。表型方差[σ2P=varY]为
[σ2P=σ2G+σ2E=σ2A+σ2D+σ2E] （22）
总遗传方差和表型方差的比值称为广义遗传力（broad-sense heritability）[10]，表示为：
[H2=σ2A+σ2Dσ2A+σ2D+σ2E] （23）
广义遗传力经常被用在进化论研究中，而加性方差和表型方差的比值称为狭义遗传力（narrow-sense heritability）[11]，表示为：
[h2=σ2Aσ2A+σ2D+σ2E] （24）
狹义遗传力反映了性状可以被遗传下去的比例。因此，它在遗传方案制定和遗传改良工作中是非常重要的参数。
6 哈代-温伯格平衡条件下的[F2]家系
此处，我们只考虑哈代-温伯格平衡条件下，[A1A1]和[A2A2]纯合系杂交形成的[F2]家系。等位基因频率[p1=p2=12]时，相应基因型频率[P11=p21=14]，[P12=2p1p2=12]，[P22=p22=14]。平均等位基因替代效应为[α=a+p2-p1d=a]，因此，
[σ2G=2p1p2α2+2p1p2d2=12a2+14d2] （25）
以上结论还可从不同的角度获得。[F2]个体的基因型值可以表示为：
[G=μ+Za+Wd] （26）
此处
[Z=+1 A1A1， P11=140 A1A2， P12=12-1 A2A2， P22=14] （27）
[W=0 A1A1， P11=141 A1A2， P12=120 A2A2， P22=14] （28）
基因型方差可以被剖分为：
[σ2G=σ2Za2+σ2Wd2=12a2+14d2] （29） 此处
[σ2Z=EZ2-E2Z]
[=14+12+1202+14-12-14+1+120+14-12]
[=12-0=12] （30）
[σ2W=EW2-E2W]
[=1402+1212+1402-140+121+1402]
[=12-14=14] （31）
此处，假设[Z]和[W]的协方差为0；否则，基因型方差计算时需要增加[2covZ， Wad]项[12]。
以上，我们通过对数量遗传学6个方面的基本内容（基因频率和基因型频率、遗传效应和遗传差异、平均等位基因替代效应、遗传方差组分、遗传力和哈代-温伯格平衡条件下的[F2]家系）进行较为详细的公式推导，力求为学生理解并弥合统计学和数量遗传学理论的鸿沟奠定基础。
致谢：本研究感谢美国爱荷华州立大学动物科学系Rohan L.Fernando教授、Hao Chen博士和Jian Zeng博士的帮助。
参考文献
[1]Sherlock J.M.，B.P.Zietsch，J.M.Tybur，et al.The quantitative genetics of disgust sensitivity[J].Emotion，2016，16（1）：43-51.
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[7]Walsh B..Quantitative genetics in the age of genomics[J].Theoretical population biology，2001，59（3）：175-184.
[8]Walsh B..Quantitative genetics，version 3.0：where have we gone since 1987 and where are we headed？ [J].Genetica，2009，136（2）：213-223.
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[10]Schaffer H.E.L.E.Mettler.Teaching population fitness and adaptive surfaces in population and quantitative genetics[J].The Journal of heredity，1974，65（3）：189-192.
[11]Kreitman N..Developments in quantitative genetics in psychiatry.Le Journal medical libanais[J].The Lebanese medical journal，1972，25（4）：337-342.
[12]Comstock R.E..Theory of quantitative genetics：synthesis[J].Cold Spring Harbor symposia on quantitative biology，1955，20：93-102.
（責编：张宏民）
关键词：教学改革；统计计算；数量遗传学；复杂性状
中图分类号 G642.0 文献标识码 A 文章编号 1007-7731（2017）20-0018-04
数量遗传学是遗传学的一个特殊分支，该学科的研究对象是个体之间性状“程度”的差异，而非“类型”的差异。这些个体间的差异被称为数量差异或数量性状[1]，数量性状被定义为在一个群体内的各个体间表现为连续变异的性状[2]。数量性状的表型受到基因和环境变异的共同影响，单个基因解释的表型方差的比例通常是很小。然而，无数微效基因的联合贡献对表型的变异有重要意义。控制数量性状变异的基因称为数量性状基因座（QTL）。在数量遗传学文献中，QTL代表单数形式，QTLs代表复数形式。但无论一个QTL有多小，它都像单个孟德尔位点一样分离[3]。目前，常规的研究手段仍然捕捉不到小效应的QTL的分离现象，依然需要借助统计学方法来推断基因间的分离现象。大多数应用于数量遗传学的统计方法需要定义特殊的遗传模型。
1 基因频率和基因型频率
动物育种领域只考虑二倍体生物。二倍体生物携带同源基因组的2个拷贝，一个来自父本亲本，另一个来自母本的亲本。基因组的每个拷贝称为单倍体。因此，基因组的每个基因座都含有两个等位基因，每个基因座均来自每个亲本[4]。虽然每个个体最多携带2个不同的等位基因，但是整个群体可能有许多不同的等位基因，称为复等位基因群体[5]。为了简单起见，我们只考虑一个包含2个不同等位基因的种群，称为二倍体群体。设特定群体[A]位点有2个等位基因[A1]和[A2]。在二倍体群体中，只可能有3种基因型，分别为[A1A1]、[A1A2]和[A2A2]。不同群体的结构和交配制度决定了其3种基因型比例的的不同，[P11=PrA1A1]，[P12=PrA1A2]和[P22=PrA2A2]分别为3种基因型的频率。基因型[A1A1]、[A1A2]分别包含1个或2个等位基因[A1]。因此，整个群体[A1]的频率为：
[p1=PrA1=P11+12P12]
[p2=PrA2=P22+12P12]
以上2个公式不考虑群体历史和结构。但是，基因型频率和基因频率之间的函数关系需要一些假设。在大的随机交配群体中，存在基因频率和基因型频率之间的独特关系，可以表示为[P11=p21]，[P12=2p1p2]和[P22=p22]。这可以解释为2个独立等位基因联合在一起形成基因型[6]。因为包含2个相同的基因型，所以杂合子的频率为[2p1p2]，即[A1A2]和[A2A1]代表2种不同来源的配子。这个特殊的关系可由以下2项式扩展表示：
[p1+p22=p21+2p1p2+p22] （1）
对应于如下基因（型）分离组合事件：
[A1+A22=A1A1+2A1A2+A2A2] （2）
如果一个群体没有选择、突变和迁移，基因频率和基因型频率将在代际传递中一直保持不变，这样的群体处于哈代-温伯格平衡状态[7]。如果一个大群体不处于哈代-温伯格平衡，只要经过一代的随机交配就足以使群体达到哈代-温伯格平衡。
对于一个等位基因频率[kk>2]群体的哈代-温伯格平衡可表示为[Pij=2pipj]，[i≠j]；[Pii=p2i]，[i=j]，此处[Pij=PrAiAj]和[pi=PrAi]，[i， j=1， …， k]。
基因频率和基因型频率是群体的基本特征。研究的基因通常与适合度有关，从而确定群体对环境变化的适应性和群体的进化。这些内容是群体遗传学的研究内容。在数量遗传学中，我们的研究对象是的决定数量性状表型的基因，所以首先要为基因型和等位基因指派赋值，这些值被称为遗传效应。
2 遗传效应和遗传差异
群体中每个个体的数量性状都有表型值。 假设我们可以观察到群体中所有个体的基因型。基因型[A1A1]的遗传效应被定义为群体中携带基因型[A1A1]个体的表型平均值，该基因型值定义为[G11]，[A1A2]和[A2A2]也可有类似定义。[G11]的效应等于平均表型效应，其原因如下。设[Y11]為携带基因型[A1A1]个体的表型值，则其可以表达为：
[Y11=G11+E11] （3）
此处，[E11]为随机环境偏差。即使群体中的每个个体都有相同的基因型值，其环境偏差也各不相同。当对群体中所有个体求平均值时，上式变为：
[Y11=G11+E11] （4）
[G11]个体数量足够多时，因正负偏差相互抵消，则[E11≈0]，[Y11=G11]。
可以定义3种参数为基因型值的函数：
[μ=12G11+G22]
[a=G11-12G11+G22]
[=G11-μ] （5）
[d=G12-12G11+G22]
[=G12-μ]
此处，[μ]称为中值，[a]为加性效应，[d]为显性效应。因此，3种基因型值可以表示为：
[G11=μ+a]
[G12=μ+d] （6）
[G22=μ-a]
我们也可以将基因型值表示为中值的偏差：
[φ11=G11-μ=a]
[φ12=G12-μ=d] （7） [φ22=G22-μ=-a]
在温代-哈伯格平衡下，基因型值的群体平均值可以表示为中值的偏差：
[μG=Eφ=P11φ11+P12φ12+P22φ22]
[=p21a+2p1p2d+p22-a]
[=p1-p2a+2p1p2d] （8）
基因型方差为：
[σ2G=varφ=Eφ2-E2φ] （9）
此处
[Eφ2=P11φ211+P12φ212+P22φ222]
[=p21a2+2p1p2d2+p22-a2]
[=p21+p22a2+2p1p2d2] （10）
经过一些代数运算，可得
[σ2G=2p1p2a+p2-p1d2+2p1p2d2] （11）
3 平均等位基因替代效应
个体的每个位点由2个等位基因组成，每个等位基因分别来自一个亲本。2个等位基因在繁殖过程中将进入不同的配子。亲本的配子将在子代重新组合，形成下一代的基因型。因此，基因型不能一代一代的遗传下去，而是它是等位基因（单倍型）从一个世代传递到下一个世代[8]。因此，需要定义等位基因效应。本文用下面2×2表格定义等位基因效应。
等位基因[A1]的效应定义为：
[α1=φ11-μGp21+φ12-μGp2p1p1=p2a+dp2-p1] （12）
等位基因[A2]的效应定义为：
[α2=φ12-μGp1p2+φ22-μGp22p2=-p1a+dp2-p1]
（13）
2个等位基因之间的差值称为平均等位基因替代效应，表示为[α]：
[α=α1-α2=a+p2-p1d] （14）
不同基因型中2个等位基因的效应和称为“育种值”，其含义为个体携带这种基因型的后代的期望基因型值。因此，基因型[A1A1]的育种值为[A11=2α1=2p2α]，另外2个基因型的育种值分别为[A12=α1+α2=p2-p1α]和[A22=2α2=-p1α]。真实基因型值和与育种值的差异称为显性偏差[9]。3种显性偏差分别为：
[δ11=φ11-μG-A11=-2p22d]
[δ12=φ12-μG-A12=2p1p2d] （15）
[δ22=φ22-μG-A22=-2p21d]
3种基因型的基因型值（G）、育种值（A）和显性偏差（D）列于表2。
4 遗传方差组分
育种值和显性偏差的期望为0，证明过程如下：
[EA=P11A11+P12A12+P22A22]
[=p212p2α+2p1p2p2-p1α+p22-2p1α=0] （16）
[ED=P11δ11+P12δ12+P22δ22]
[=p21-2p22d+2p1p22p1p2d+p22-2p21d=0] （17）
类似可以推导出：
[σ2A=EA2=p212p2α2+2p1p2p2-p1α2+p22-2p1α2=2p1p2α2]
（18）
[σ2D=ED2=p21-2p22d2+2p1p22p1p2d2+p22-2p1α2=2p1p2d2]
（19）
由遗传性知识和公式（11）可得，第一部分（18）为[σ2A]，第二部分（19）为[σ2D]，因此：
[σ2G=σ2A+σ2D] （20）
即总遗传方差可以被剖分为加性方差组分和显性方差组分。
5 遗传力
表型值[Y]可由如下线性模型表示：
[Y=G+E=A+D+E] （21）
上式中，[E]为环境误差，其平均值为0，方差为[σ2E]。表型方差[σ2P=varY]为
[σ2P=σ2G+σ2E=σ2A+σ2D+σ2E] （22）
总遗传方差和表型方差的比值称为广义遗传力（broad-sense heritability）[10]，表示为：
[H2=σ2A+σ2Dσ2A+σ2D+σ2E] （23）
广义遗传力经常被用在进化论研究中，而加性方差和表型方差的比值称为狭义遗传力（narrow-sense heritability）[11]，表示为：
[h2=σ2Aσ2A+σ2D+σ2E] （24）
狹义遗传力反映了性状可以被遗传下去的比例。因此，它在遗传方案制定和遗传改良工作中是非常重要的参数。
6 哈代-温伯格平衡条件下的[F2]家系
此处，我们只考虑哈代-温伯格平衡条件下，[A1A1]和[A2A2]纯合系杂交形成的[F2]家系。等位基因频率[p1=p2=12]时，相应基因型频率[P11=p21=14]，[P12=2p1p2=12]，[P22=p22=14]。平均等位基因替代效应为[α=a+p2-p1d=a]，因此，
[σ2G=2p1p2α2+2p1p2d2=12a2+14d2] （25）
以上结论还可从不同的角度获得。[F2]个体的基因型值可以表示为：
[G=μ+Za+Wd] （26）
此处
[Z=+1 A1A1， P11=140 A1A2， P12=12-1 A2A2， P22=14] （27）
[W=0 A1A1， P11=141 A1A2， P12=120 A2A2， P22=14] （28）
基因型方差可以被剖分为：
[σ2G=σ2Za2+σ2Wd2=12a2+14d2] （29） 此处
[σ2Z=EZ2-E2Z]
[=14+12+1202+14-12-14+1+120+14-12]
[=12-0=12] （30）
[σ2W=EW2-E2W]
[=1402+1212+1402-140+121+1402]
[=12-14=14] （31）
此处，假设[Z]和[W]的协方差为0；否则，基因型方差计算时需要增加[2covZ， Wad]项[12]。
以上，我们通过对数量遗传学6个方面的基本内容（基因频率和基因型频率、遗传效应和遗传差异、平均等位基因替代效应、遗传方差组分、遗传力和哈代-温伯格平衡条件下的[F2]家系）进行较为详细的公式推导，力求为学生理解并弥合统计学和数量遗传学理论的鸿沟奠定基础。
致谢：本研究感谢美国爱荷华州立大学动物科学系Rohan L.Fernando教授、Hao Chen博士和Jian Zeng博士的帮助。
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（責编：张宏民）