论文部分内容阅读
著名数学家陈省身曾说：“我们欣赏数学，我们需要数学。”
新的历史阶段，学校数学教育逐渐转向培养学生的数学核心素养，更为注重培养学生关于数学的能力、思维与思想。而面对基础数学教育唯分数论的现状，如何让学生欣赏数学之美，认识到数学对于个人及社会的意义？如何让学生用数学的眼光去认识世界，用数学的思维去思考世界，用数学的语言去表达世界？一线数学教师肩负着挑战与希望。
数学之美与数学之理
于丹是大连经济技术开发区第八高级中学的一名数学教师，在东北师范大学数学系浸润了4年，执教数学学科20年，于她而言，数学之美多姿多彩、千姿百态，流露于生活的点滴中。从小时候背古诗词开始，她便在字里行间体会到属于数学的韵律之美。如耳熟能详的《山村咏怀》：“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”又如《臨水照花》中唱道：“一场缘，两心定三生，四年离散;五更天，六曲动七弦，八夜无眠;九连环，十里皆望穿，百年心寒;千般念，万般只无奈，醉眼冷看。”最妙的要数明代诗人伦文叙为苏轼的画《百鸟归巢》所题的诗：“天生一只又一只，三四五六七八只。凤凰何少鸟何多，啄尽人间千万石。”“‘一只又一只’加起来是2只，‘三四’相乘得12，‘五六’相乘得30，‘七八’相乘得56。把2、12、30、56加起来，总数恰好为100只，与画题相和。而2、12、30、56又是个二阶等差数列，可见诗人的数学功底，把数学的美体现得淋漓尽致。” 于丹不禁感慨道。
一位好的数学教师应是热爱数学、欣赏数学的，如此学生受教师激情的感染，或许能够被激发兴趣与情感，从而体会到数学的独特魅力。提及数学的美，于丹娓娓而谈。“数学的美体现在其优美的曲线与空间图形上，如正余弦函数图像，既有轴对称又有中心对称，还具备周期性;数学的美体现在公式、符号与严谨的论证上，从方法到理论无一不美。杨辉三角的形式之美、数列中的规律之美、微积分的无限之美，还有数学家笛卡尔和瑞典公主克里斯汀的爱情传说中那一著名方程所表示的‘心形线’;同时数学的美还体现在它是其他学科的基础，就如马克思所说——一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。”
让学生学会欣赏数学，除了展现数学之美，教师更要让学生认识数学之理。而理往往需要用生活的语言来阐释。在课堂的导入部分，于丹习惯设置一些生活中的情境，把抽象的数学知识讲得通俗易懂。例如：讲概率时，她会设置让学生通过抓阄决定谁先回答问题的情境，让学生积极参与进来，并提出问题“先抓后抓的概率是否一样”;讲圆锥曲线时，她让学生先看卫星运行的视频，观察卫星轨道的形状;讲排列组合时，她拿出一张只有五个相邻省份的地图和四种颜色的笔，让学生思考“如果相邻省份不能涂相同颜色，一共有多少种涂法”。“当学生的兴趣被激发后，教师要与学生一起探索数学知识的发生与发展过程，把数学知识最本质的东西教给学生，让学生知其所以然，才有利于培养学生的数学思维，进而弄懂数学的理。”
数学的“无用”与“有用”
PISA（国际学生评估项目）关于数学能力的测试中，最重视学生运用数学推理来解决问题的能力。其对数学素养的精确描述是：“一个具有数学素养的人，能认识和理解数学在现实世界中所起的作用，能利用数学作出有根据的判断和决策，是一个具有建设性、参与意识和反思能力的公民。”而现实中很多学生觉得除了考试，学数学似乎并没有什么用。诸如“去菜市场买菜难道还要用函数来求价格”等言论反映出大众对数学长期存在的刻板印象。在于丹看来，这种认识是极为狭隘的。
作为一门基础科学，数学是众多学科的根基，是了解世界和研究世界最主要的途径。“数学在现实生活中的作用涉及方方面面、各行各业，无论对于个人还是社会都意义非凡。”于丹经常向学生强调，学数学的目的就是为了在实际生活中更好地应用，因为数学问题都来源于生活。日常生活需要用到计数;数学的统筹规划能够让人们合理安排时间，节约成本;房屋贷款、股票、彩票、随处可见的问卷调查用到了数学的统计概率知识;计算机、金融、建筑设计、卫星轨道设计……都以数学知识为基础。
今年疫情期间，大连市开展全员核酸检测，于丹领着学生去当志愿者。学生发现，工作人员在检测中将5个人的样本放在一起进行检测，十分不解。于丹告诉学生，5人样本放在一起检测最快也最节约成本，这是用统计概率知识算出的结果。“当5人样本检测结果为阴性，那么5个人则都为阴性;如果5人样本检测结果为阳性，就把5人分成两部分，一部分2人，一部分3人，再继续检测……因为患病人数是个随机变量，我们通过数学方法分别计算6人、7人、8人等一组需要检测次数的平均值，最后得出5人一组的检测方法所用次数的期望值最小。”在生活中运用知识、在课堂上联系生活，这是于丹的教学习惯，也是她努力传递给学生的一种学习方向。
“我们需要数学，不仅因为数学在现实世界中所起的作用，也因为数学学习所培养出的数学思维会影响个体对许多问题的思考与判断，这种影响是深刻而长远的。”于丹总结道。
数学思想是数学的“灵魂”
从事数学教学20年，于丹遇到过许多被数学困扰的学生，他们拼命刷题却总是学不明白。随着作业帮、小猿搜题等App日渐成为学生的必备工具，学生刷题的效率越来越高，但再遇到同种类型的题目，他们依旧不会。“因为他们很少去想为什么，没有思考题与题之间的联系，有些孩子在家写作业时，甚至连题都没读完，就去搜答案。”
于丹认为，这些孩子是凭直觉和记忆在学习，即使记住了数学知识，仍无法建立数学思想方法。而数学思想方法是数学知识的精髓，是对数学的本质认识，是培养数学核心素养最重要的途径。中学数学教学大纲明确指出，数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想方法。
“在高中数学教学中，我们在课堂上教给学生数学知识，同时更要把数学思想渗透到教学中去。但目前重知识轻思想方法的现象普遍存在。”于丹强调，数学思想方法对提高学生思维能力、培养学生应用意识有着重要作用。 “数学思想方法”是“数学思想”与“数学方法”的笼统概括。于丹告诉记者，在教材以及平时教学中，常常使用“数学思想方法”一词。例如，在解二元一次方程组时，于丹要求学生掌握“消元”的思想方法，实际上，从认识论的角度来分析，这属于“转化”的思想;从具体操作的角度来看，这又属于“消元法”。“对于学生的认识水平而言，笼统使用‘思想方法’一词是合理的，但作为一线教师，必须厘清‘思想’和‘方法’，从而在教学与教研上更为精准。”
什么是数学思想？什么是数学方法？于丹尝试给出一种解释或界定。数学思想，是指人的大脑对空间形式和数量关系不断进行思维活动的结果，是对数学概念、定理、公式、法则、方法等的充分认识，并挖掘其本质和内涵，理性地认识数学规律，进而从更高的角度去认识数学知识和数学内容，是在认知的过程中提炼出的数学观点。它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义。数学思想是数学科学的“灵魂”，是发展和建立数学科学的重要因素。数学思想能够指导基本知识的运用，从而使知识向更高、更深的层次发展。数学方法，指的是人们在研究、探索、解决数学问题的过程中形成的手段，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程。
如何在数学教学中促进学生对数学思想方法的理解和掌握？于丹在数学概念、数学命题、数学解题三个方面的教学中进行深入实践。以数学解题的教学为例，于丹强调要在审题、探求解题思路及反思解题过程等各个环节渗透数学思想方法。学习数学的过程就是再创造的过程，需要学生自己去研究和发现，并有所创新。教师的首要任务是教会学生如何去分析和思考，从而实现再创造。在审题中，于丹要求学生反复审题，明确条件，找到解题思路，并判断用何种数学思想方法解决问题。在探求解题思路的过程中，于丹认为一定要给学生动脑的机会，让学生自己通过分析、观察、类比、归纳和联想，一步步探索出解决问题的各种方法，从而获取更深层次的数学知识。现实中，反思解题过程这一环节在课堂教学中往往会被忽略，一堂课通常没有课堂小结或即使有小结也很匆忙。而于丹鼓励学生自己做总结，她认为这一过程是培养学生数学思维的重要途径，能够让学生进一步理解所学知识，更好地把握知识的脉络，同时也锻炼了数学语言的表达能力和概括能力。“当学生可以用自己的语言把对数学问题的理解表达清楚，对常见的数学思想方法形成自己的认识与见解时，其数学思维才能真正得到升华。”
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，它的本质是用数学的眼光认识世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界。作为一名高中数学教师，于丹尝试让每一堂课都触及数学的本质。而这要求教师把学生当作知识的探索者和发现者，让学生自主发现数学的规律，总结数学方法，形成数学思想，在平凡的問题中不断思考，直至找到新的方向。
新的历史阶段，学校数学教育逐渐转向培养学生的数学核心素养，更为注重培养学生关于数学的能力、思维与思想。而面对基础数学教育唯分数论的现状，如何让学生欣赏数学之美，认识到数学对于个人及社会的意义？如何让学生用数学的眼光去认识世界，用数学的思维去思考世界，用数学的语言去表达世界？一线数学教师肩负着挑战与希望。
数学之美与数学之理
于丹是大连经济技术开发区第八高级中学的一名数学教师，在东北师范大学数学系浸润了4年，执教数学学科20年，于她而言，数学之美多姿多彩、千姿百态，流露于生活的点滴中。从小时候背古诗词开始，她便在字里行间体会到属于数学的韵律之美。如耳熟能详的《山村咏怀》：“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”又如《臨水照花》中唱道：“一场缘，两心定三生，四年离散;五更天，六曲动七弦，八夜无眠;九连环，十里皆望穿，百年心寒;千般念，万般只无奈，醉眼冷看。”最妙的要数明代诗人伦文叙为苏轼的画《百鸟归巢》所题的诗：“天生一只又一只，三四五六七八只。凤凰何少鸟何多，啄尽人间千万石。”“‘一只又一只’加起来是2只，‘三四’相乘得12，‘五六’相乘得30，‘七八’相乘得56。把2、12、30、56加起来，总数恰好为100只，与画题相和。而2、12、30、56又是个二阶等差数列，可见诗人的数学功底，把数学的美体现得淋漓尽致。” 于丹不禁感慨道。
一位好的数学教师应是热爱数学、欣赏数学的，如此学生受教师激情的感染，或许能够被激发兴趣与情感，从而体会到数学的独特魅力。提及数学的美，于丹娓娓而谈。“数学的美体现在其优美的曲线与空间图形上，如正余弦函数图像，既有轴对称又有中心对称，还具备周期性;数学的美体现在公式、符号与严谨的论证上，从方法到理论无一不美。杨辉三角的形式之美、数列中的规律之美、微积分的无限之美，还有数学家笛卡尔和瑞典公主克里斯汀的爱情传说中那一著名方程所表示的‘心形线’;同时数学的美还体现在它是其他学科的基础，就如马克思所说——一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。”
让学生学会欣赏数学，除了展现数学之美，教师更要让学生认识数学之理。而理往往需要用生活的语言来阐释。在课堂的导入部分，于丹习惯设置一些生活中的情境，把抽象的数学知识讲得通俗易懂。例如：讲概率时，她会设置让学生通过抓阄决定谁先回答问题的情境，让学生积极参与进来，并提出问题“先抓后抓的概率是否一样”;讲圆锥曲线时，她让学生先看卫星运行的视频，观察卫星轨道的形状;讲排列组合时，她拿出一张只有五个相邻省份的地图和四种颜色的笔，让学生思考“如果相邻省份不能涂相同颜色，一共有多少种涂法”。“当学生的兴趣被激发后，教师要与学生一起探索数学知识的发生与发展过程，把数学知识最本质的东西教给学生，让学生知其所以然，才有利于培养学生的数学思维，进而弄懂数学的理。”
数学的“无用”与“有用”
PISA（国际学生评估项目）关于数学能力的测试中，最重视学生运用数学推理来解决问题的能力。其对数学素养的精确描述是：“一个具有数学素养的人，能认识和理解数学在现实世界中所起的作用，能利用数学作出有根据的判断和决策，是一个具有建设性、参与意识和反思能力的公民。”而现实中很多学生觉得除了考试，学数学似乎并没有什么用。诸如“去菜市场买菜难道还要用函数来求价格”等言论反映出大众对数学长期存在的刻板印象。在于丹看来，这种认识是极为狭隘的。
作为一门基础科学，数学是众多学科的根基，是了解世界和研究世界最主要的途径。“数学在现实生活中的作用涉及方方面面、各行各业，无论对于个人还是社会都意义非凡。”于丹经常向学生强调，学数学的目的就是为了在实际生活中更好地应用，因为数学问题都来源于生活。日常生活需要用到计数;数学的统筹规划能够让人们合理安排时间，节约成本;房屋贷款、股票、彩票、随处可见的问卷调查用到了数学的统计概率知识;计算机、金融、建筑设计、卫星轨道设计……都以数学知识为基础。
今年疫情期间，大连市开展全员核酸检测，于丹领着学生去当志愿者。学生发现，工作人员在检测中将5个人的样本放在一起进行检测，十分不解。于丹告诉学生，5人样本放在一起检测最快也最节约成本，这是用统计概率知识算出的结果。“当5人样本检测结果为阴性，那么5个人则都为阴性;如果5人样本检测结果为阳性，就把5人分成两部分，一部分2人，一部分3人，再继续检测……因为患病人数是个随机变量，我们通过数学方法分别计算6人、7人、8人等一组需要检测次数的平均值，最后得出5人一组的检测方法所用次数的期望值最小。”在生活中运用知识、在课堂上联系生活，这是于丹的教学习惯，也是她努力传递给学生的一种学习方向。
“我们需要数学，不仅因为数学在现实世界中所起的作用，也因为数学学习所培养出的数学思维会影响个体对许多问题的思考与判断，这种影响是深刻而长远的。”于丹总结道。
数学思想是数学的“灵魂”
从事数学教学20年，于丹遇到过许多被数学困扰的学生，他们拼命刷题却总是学不明白。随着作业帮、小猿搜题等App日渐成为学生的必备工具，学生刷题的效率越来越高，但再遇到同种类型的题目，他们依旧不会。“因为他们很少去想为什么，没有思考题与题之间的联系，有些孩子在家写作业时，甚至连题都没读完，就去搜答案。”
于丹认为，这些孩子是凭直觉和记忆在学习，即使记住了数学知识，仍无法建立数学思想方法。而数学思想方法是数学知识的精髓，是对数学的本质认识，是培养数学核心素养最重要的途径。中学数学教学大纲明确指出，数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想方法。
“在高中数学教学中，我们在课堂上教给学生数学知识，同时更要把数学思想渗透到教学中去。但目前重知识轻思想方法的现象普遍存在。”于丹强调，数学思想方法对提高学生思维能力、培养学生应用意识有着重要作用。 “数学思想方法”是“数学思想”与“数学方法”的笼统概括。于丹告诉记者，在教材以及平时教学中，常常使用“数学思想方法”一词。例如，在解二元一次方程组时，于丹要求学生掌握“消元”的思想方法，实际上，从认识论的角度来分析，这属于“转化”的思想;从具体操作的角度来看，这又属于“消元法”。“对于学生的认识水平而言，笼统使用‘思想方法’一词是合理的，但作为一线教师，必须厘清‘思想’和‘方法’，从而在教学与教研上更为精准。”
什么是数学思想？什么是数学方法？于丹尝试给出一种解释或界定。数学思想，是指人的大脑对空间形式和数量关系不断进行思维活动的结果，是对数学概念、定理、公式、法则、方法等的充分认识，并挖掘其本质和内涵，理性地认识数学规律，进而从更高的角度去认识数学知识和数学内容，是在认知的过程中提炼出的数学观点。它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义。数学思想是数学科学的“灵魂”，是发展和建立数学科学的重要因素。数学思想能够指导基本知识的运用，从而使知识向更高、更深的层次发展。数学方法，指的是人们在研究、探索、解决数学问题的过程中形成的手段，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程。
如何在数学教学中促进学生对数学思想方法的理解和掌握？于丹在数学概念、数学命题、数学解题三个方面的教学中进行深入实践。以数学解题的教学为例，于丹强调要在审题、探求解题思路及反思解题过程等各个环节渗透数学思想方法。学习数学的过程就是再创造的过程，需要学生自己去研究和发现，并有所创新。教师的首要任务是教会学生如何去分析和思考，从而实现再创造。在审题中，于丹要求学生反复审题，明确条件，找到解题思路，并判断用何种数学思想方法解决问题。在探求解题思路的过程中，于丹认为一定要给学生动脑的机会，让学生自己通过分析、观察、类比、归纳和联想，一步步探索出解决问题的各种方法，从而获取更深层次的数学知识。现实中，反思解题过程这一环节在课堂教学中往往会被忽略，一堂课通常没有课堂小结或即使有小结也很匆忙。而于丹鼓励学生自己做总结，她认为这一过程是培养学生数学思维的重要途径，能够让学生进一步理解所学知识，更好地把握知识的脉络，同时也锻炼了数学语言的表达能力和概括能力。“当学生可以用自己的语言把对数学问题的理解表达清楚，对常见的数学思想方法形成自己的认识与见解时，其数学思维才能真正得到升华。”
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，它的本质是用数学的眼光认识世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界。作为一名高中数学教师，于丹尝试让每一堂课都触及数学的本质。而这要求教师把学生当作知识的探索者和发现者，让学生自主发现数学的规律，总结数学方法，形成数学思想，在平凡的問题中不断思考，直至找到新的方向。