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本章的重点内容“勾股定理”是反映自然界基本规律的一条重要结论,它有着悠久的历史,在数学发展中起着重要的作用.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,把数与形统一起来,在现实世界中有着广泛的应用.在运用勾股定理解题时,同学们如果能正确地把握数形结合的思想方法,就可思路开阔,方法简便快捷.
例1 如图1,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( ).
A. 3∶4 B. 5∶8
C. 9∶16 D. 1∶2
【分析】假设一个小正方形的面积为1,观察图形可知正方形ABCD的面积为16.其阴影部分也是正方形,其边长为其中一个直角三角形的斜边,设其为a,则a2=12 32,所以阴影部分的正方形面积为a2=10,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比为10∶16=5∶8,故应选B.
【点评】本题也可从另一个角度考虑,在求阴影部分面积时利用割补的办法,用一个大正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积,思路也很独特.
例2 如图2,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ).
A. CD,EF,GH B. AB,CD,GH
C. AB,EF,GH D. AB,CD,EF
【分析】假设一个小正方形的边长为1,由勾股定理可以算出AB2=8,CD2=20,EF2=5,GH2=13,从而有AB2 EF2=GH2,故应选C. 本题既有勾股定理的应用,又有逆定理的应用,体现了形和数的互相转化.
【点评】把网格中的最小正方形边长设为1,是我们解决许多网格线问题的常用手段.
例3 如图3,有一棵笔直的大树被大风刮断,断痕离地面5米,树梢拖到地面,离树根处12米,求这棵大树折断之前有多高.
【分析】大树从断痕处被分成两部分,并与地面构成直角三角形,利用勾股定理可求出断痕至树梢的长度,即直角三角形的斜边.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得AB2=AC2 BC2=52 122=169=132. 所以AB=13,所以树高是5 13=18(米).
例4 如图4是一种“羊头”形图案,其做法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,…,然后依次类推,若正方形①的边长为64 cm,则正方形⑦的边长为______cm.
【分析】观察图案可以知道,这是一类关于“勾股树”,国外叫做“毕达哥拉斯树”的探讨题. 由于正方形①的边长为64 cm,所以由勾股定理可以求得正方形②的面积为32×64,同理可以利用勾股定理分别求出正方形③、④…⑦的面积为16×64、8×64、4×64、2×64、64,所以正方形⑦的边长是8.
例5 如图5,一圆柱高8 cm,底面半径2 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ).
A. 20 cm B. 10 cm
C. 14 cm D. 无法确定
【分析】本题在观察图形之后首先要避免直接连接AB求最短路程的错误思路. 因为蚂蚁的爬行路线只可能在圆柱体的表面,是一段曲线,到目前为止我们还不会求曲线的长度,故可以考虑沿着过A的竖线(过A点的侧棱)把圆柱体的侧面展开,得到图6.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC的长度为圆柱上底面周长的一半,根据圆周长公式求得BC=6. 由勾股定理,得AB2=AC2 BC2=82 62=100=102. 所以AB=10,故答案选B.
例6 如图6,一块草坪的形状为四边形ABCD,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m. 求这块草坪的面积.
【分析】本题由于问题四边形ABCD是一个不规则四边形,所以不可能用常规的面积公式来求解. 求不规则图形的面积我们常考虑“割补法”,把图形“补全”或“分割”成一个规则的基本图形,所以本题中考虑添加辅助线. 如图8,连接AC,原来的四边形被分割成两个三角形,要求出△ABC和△ACD的面积之和,Rt△ABC的面积根据直角三角形面积公式很容易得出,而对△ACD特殊形状的判断就成为本题最后的难点.
解:连接AC,
在Rt△ABC中,∠B=90°,由勾股定理,得
AC2=AB2 BC2=32 42=25=52.
所以AC=5.
在△ACD中,
因为AD=13,CD=12,AC=5,
所以122 52=132,
即CD2 AC2=AD2.
由勾股定理逆定理可得:△ACD为直角三角形,∠ACD=90°,
所以S四边形ABCD=S△ABC S△ACD
=×3×4 ×5×12
=36.
答:这块草坪的面积是36 m2.
【点评】把不规则图形转化为规则图形,灵活地应用勾股定理及逆定理是解决本题的关键.
(作者单位:江苏省镇江市第四中学)
例1 如图1,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( ).
A. 3∶4 B. 5∶8
C. 9∶16 D. 1∶2
【分析】假设一个小正方形的面积为1,观察图形可知正方形ABCD的面积为16.其阴影部分也是正方形,其边长为其中一个直角三角形的斜边,设其为a,则a2=12 32,所以阴影部分的正方形面积为a2=10,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比为10∶16=5∶8,故应选B.
【点评】本题也可从另一个角度考虑,在求阴影部分面积时利用割补的办法,用一个大正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积,思路也很独特.
例2 如图2,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ).
A. CD,EF,GH B. AB,CD,GH
C. AB,EF,GH D. AB,CD,EF
【分析】假设一个小正方形的边长为1,由勾股定理可以算出AB2=8,CD2=20,EF2=5,GH2=13,从而有AB2 EF2=GH2,故应选C. 本题既有勾股定理的应用,又有逆定理的应用,体现了形和数的互相转化.
【点评】把网格中的最小正方形边长设为1,是我们解决许多网格线问题的常用手段.
例3 如图3,有一棵笔直的大树被大风刮断,断痕离地面5米,树梢拖到地面,离树根处12米,求这棵大树折断之前有多高.
【分析】大树从断痕处被分成两部分,并与地面构成直角三角形,利用勾股定理可求出断痕至树梢的长度,即直角三角形的斜边.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得AB2=AC2 BC2=52 122=169=132. 所以AB=13,所以树高是5 13=18(米).
例4 如图4是一种“羊头”形图案,其做法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,…,然后依次类推,若正方形①的边长为64 cm,则正方形⑦的边长为______cm.
【分析】观察图案可以知道,这是一类关于“勾股树”,国外叫做“毕达哥拉斯树”的探讨题. 由于正方形①的边长为64 cm,所以由勾股定理可以求得正方形②的面积为32×64,同理可以利用勾股定理分别求出正方形③、④…⑦的面积为16×64、8×64、4×64、2×64、64,所以正方形⑦的边长是8.
例5 如图5,一圆柱高8 cm,底面半径2 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ).
A. 20 cm B. 10 cm
C. 14 cm D. 无法确定
【分析】本题在观察图形之后首先要避免直接连接AB求最短路程的错误思路. 因为蚂蚁的爬行路线只可能在圆柱体的表面,是一段曲线,到目前为止我们还不会求曲线的长度,故可以考虑沿着过A的竖线(过A点的侧棱)把圆柱体的侧面展开,得到图6.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC的长度为圆柱上底面周长的一半,根据圆周长公式求得BC=6. 由勾股定理,得AB2=AC2 BC2=82 62=100=102. 所以AB=10,故答案选B.
例6 如图6,一块草坪的形状为四边形ABCD,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m. 求这块草坪的面积.
【分析】本题由于问题四边形ABCD是一个不规则四边形,所以不可能用常规的面积公式来求解. 求不规则图形的面积我们常考虑“割补法”,把图形“补全”或“分割”成一个规则的基本图形,所以本题中考虑添加辅助线. 如图8,连接AC,原来的四边形被分割成两个三角形,要求出△ABC和△ACD的面积之和,Rt△ABC的面积根据直角三角形面积公式很容易得出,而对△ACD特殊形状的判断就成为本题最后的难点.
解:连接AC,
在Rt△ABC中,∠B=90°,由勾股定理,得
AC2=AB2 BC2=32 42=25=52.
所以AC=5.
在△ACD中,
因为AD=13,CD=12,AC=5,
所以122 52=132,
即CD2 AC2=AD2.
由勾股定理逆定理可得:△ACD为直角三角形,∠ACD=90°,
所以S四边形ABCD=S△ABC S△ACD
=×3×4 ×5×12
=36.
答:这块草坪的面积是36 m2.
【点评】把不规则图形转化为规则图形,灵活地应用勾股定理及逆定理是解决本题的关键.
(作者单位:江苏省镇江市第四中学)