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本章的重点内容“勾股定理”是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用.在运用勾股定理解题时，同学们如果能正确地把握数形结合的思想方法，就可思路开阔，方法简便快捷.
例1 如图1，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）.
A. 3∶4 B. 5∶8
C. 9∶16 D. 1∶2
【分析】假设一个小正方形的面积为1，观察图形可知正方形ABCD的面积为16.其阴影部分也是正方形，其边长为其中一个直角三角形的斜边，设其为a，则a2=12 32，所以阴影部分的正方形面积为a2=10，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比为10∶16=5∶8，故应选B.
【点评】本题也可从另一个角度考虑，在求阴影部分面积时利用割补的办法，用一个大正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积，思路也很独特.
例2 如图2，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）.
A. CD，EF，GH B. AB，CD，GH
C. AB，EF，GH D. AB，CD，EF
【分析】假设一个小正方形的边长为1，由勾股定理可以算出AB2=8，CD2=20，EF2=5，GH2=13，从而有AB2 EF2=GH2，故应选C. 本题既有勾股定理的应用，又有逆定理的应用，体现了形和数的互相转化.
【点评】把网格中的最小正方形边长设为1，是我们解决许多网格线问题的常用手段.
例3 如图3，有一棵笔直的大树被大风刮断，断痕离地面5米，树梢拖到地面，离树根处12米，求这棵大树折断之前有多高.
【分析】大树从断痕处被分成两部分，并与地面构成直角三角形，利用勾股定理可求出断痕至树梢的长度，即直角三角形的斜边.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得AB2=AC2 BC2=52 122=169=132. 所以AB=13，所以树高是5 13=18（米）.
例4 如图4是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形①的边长为64 cm，则正方形⑦的边长为______cm.
【分析】观察图案可以知道，这是一类关于“勾股树”，国外叫做“毕达哥拉斯树”的探讨题. 由于正方形①的边长为64 cm，所以由勾股定理可以求得正方形②的面积为32×64，同理可以利用勾股定理分别求出正方形③、④…⑦的面积为16×64、8×64、4×64、2×64、64，所以正方形⑦的边长是8.
例5 如图5，一圆柱高8 cm，底面半径2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）.
A. 20 cm B. 10 cm
C. 14 cm D. 无法确定
【分析】本题在观察图形之后首先要避免直接连接AB求最短路程的错误思路. 因为蚂蚁的爬行路线只可能在圆柱体的表面，是一段曲线，到目前为止我们还不会求曲线的长度，故可以考虑沿着过A的竖线（过A点的侧棱）把圆柱体的侧面展开，得到图6.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC的长度为圆柱上底面周长的一半，根据圆周长公式求得BC=6. 由勾股定理，得AB2=AC2 BC2=82 62=100=102. 所以AB=10，故答案选B.
例6 如图6，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3 m，BC=4 m，CD=12 m，AD=13 m. 求这块草坪的面积.
【分析】本题由于问题四边形ABCD是一个不规则四边形，所以不可能用常规的面积公式来求解. 求不规则图形的面积我们常考虑“割补法”，把图形“补全”或“分割”成一个规则的基本图形，所以本题中考虑添加辅助线. 如图8，连接AC，原来的四边形被分割成两个三角形，要求出△ABC和△ACD的面积之和，Rt△ABC的面积根据直角三角形面积公式很容易得出，而对△ACD特殊形状的判断就成为本题最后的难点.
解：连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理，得
AC2=AB2 BC2=32 42=25=52.
所以AC=5.
在△ACD中，
因为AD=13，CD=12，AC=5，
所以122 52=132，
即CD2 AC2=AD2.
由勾股定理逆定理可得：△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
所以S四边形ABCD=S△ABC S△ACD
=×3×4 ×5×12
=36.
答：这块草坪的面积是36 m2.
【点评】把不规则图形转化为规则图形，灵活地应用勾股定理及逆定理是解决本题的关键.
（作者单位：江苏省镇江市第四中学）
例1 如图1，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）.
A. 3∶4 B. 5∶8
C. 9∶16 D. 1∶2
【分析】假设一个小正方形的面积为1，观察图形可知正方形ABCD的面积为16.其阴影部分也是正方形，其边长为其中一个直角三角形的斜边，设其为a，则a2=12 32，所以阴影部分的正方形面积为a2=10，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比为10∶16=5∶8，故应选B.
【点评】本题也可从另一个角度考虑，在求阴影部分面积时利用割补的办法，用一个大正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积，思路也很独特.
例2 如图2，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）.
A. CD，EF，GH B. AB，CD，GH
C. AB，EF，GH D. AB，CD，EF
【分析】假设一个小正方形的边长为1，由勾股定理可以算出AB2=8，CD2=20，EF2=5，GH2=13，从而有AB2 EF2=GH2，故应选C. 本题既有勾股定理的应用，又有逆定理的应用，体现了形和数的互相转化.
【点评】把网格中的最小正方形边长设为1，是我们解决许多网格线问题的常用手段.
例3 如图3，有一棵笔直的大树被大风刮断，断痕离地面5米，树梢拖到地面，离树根处12米，求这棵大树折断之前有多高.
【分析】大树从断痕处被分成两部分，并与地面构成直角三角形，利用勾股定理可求出断痕至树梢的长度，即直角三角形的斜边.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得AB2=AC2 BC2=52 122=169=132. 所以AB=13，所以树高是5 13=18（米）.
例4 如图4是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形①的边长为64 cm，则正方形⑦的边长为______cm.
【分析】观察图案可以知道，这是一类关于“勾股树”，国外叫做“毕达哥拉斯树”的探讨题. 由于正方形①的边长为64 cm，所以由勾股定理可以求得正方形②的面积为32×64，同理可以利用勾股定理分别求出正方形③、④…⑦的面积为16×64、8×64、4×64、2×64、64，所以正方形⑦的边长是8.
例5 如图5，一圆柱高8 cm，底面半径2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）.
A. 20 cm B. 10 cm
C. 14 cm D. 无法确定
【分析】本题在观察图形之后首先要避免直接连接AB求最短路程的错误思路. 因为蚂蚁的爬行路线只可能在圆柱体的表面，是一段曲线，到目前为止我们还不会求曲线的长度，故可以考虑沿着过A的竖线（过A点的侧棱）把圆柱体的侧面展开，得到图6.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC的长度为圆柱上底面周长的一半，根据圆周长公式求得BC=6. 由勾股定理，得AB2=AC2 BC2=82 62=100=102. 所以AB=10，故答案选B.
例6 如图6，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3 m，BC=4 m，CD=12 m，AD=13 m. 求这块草坪的面积.
【分析】本题由于问题四边形ABCD是一个不规则四边形，所以不可能用常规的面积公式来求解. 求不规则图形的面积我们常考虑“割补法”，把图形“补全”或“分割”成一个规则的基本图形，所以本题中考虑添加辅助线. 如图8，连接AC，原来的四边形被分割成两个三角形，要求出△ABC和△ACD的面积之和，Rt△ABC的面积根据直角三角形面积公式很容易得出，而对△ACD特殊形状的判断就成为本题最后的难点.
解：连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理，得
AC2=AB2 BC2=32 42=25=52.
所以AC=5.
在△ACD中，
因为AD=13，CD=12，AC=5，
所以122 52=132，
即CD2 AC2=AD2.
由勾股定理逆定理可得：△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
所以S四边形ABCD=S△ABC S△ACD
=×3×4 ×5×12
=36.
答：这块草坪的面积是36 m2.
【点评】把不规则图形转化为规则图形，灵活地应用勾股定理及逆定理是解决本题的关键.
（作者单位：江苏省镇江市第四中学）