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摘 要：数学课堂正在进入智慧课堂时代，智慧课堂具有强大的资源整合与共享功能，具有信息流动的扁平化以及学习的个性化等特征。为了让学生的思维参与到数学课堂中，必须思考智慧课堂教与学的理论基础。认知学习理论、建构主义认识论应该成为智慧课堂教与学的理论基础。遵循这些理论基础，精心设计，启发引导，促使学生的思维主动参与到数学智慧课堂之中。
关键词：数学智慧课堂；思维；参与
随着教育信息技术的高速发展，课堂已经逐渐步入智慧课堂时代。尽管当前智慧课堂还没有一个统一的定义，但其新技术特征却十分明显，高速处理器、云技术、大数据、高速数据传输、手持终端都进入了课堂，可以快速实现人机互联、实时传输。有这些技术支撑，再加上教育教学的理论作指导，智慧课堂在不少地区、不少学校落地开花。高中数学教学与智慧课堂的融合也就成为一种趋势。
一、高中数学智慧课堂的发展现状
前些年信息技术与数学课程的整合主要体现在互联网、大屏投影、互动电子白板等技术手段进入数学课堂，但这些难以满足数学对技术的需求，所以有的教师觉得有没有信息技术，效果都差不多，但智慧课堂的到来无疑将改变这一看法。
1. 强大的资源整合与共享功能
智慧课堂的软件系统整合了教学设计、试题资源、微课等资源于一体，共享给教师与学生。以前信息技术与数学课程的整合，虽说也可以使用众多的网络资源，但从未如智慧课堂这样把如此众多的资源整合在一个平台之中。教师浏览、选取、编辑、保存、使用均可在同一个平台完成，学生也可以在这个平台上自主获得试题、微课等资源，学习资源的获得变得特别容易。
2. 信息流动的“扁平化”
在以往的课堂中，师生之间交流主要借助言语、板书或书写投影（即写在纸上再投影），智慧课堂不仅保留了这些方式，更得益于手持终端（PAD）的快速化、轻便化，多名学生的书写可以同时呈现于大屏幕，较之以前的答题板、抢答器等，师生、生生之间的信息通道十分“扁平”，随意切换，大大提高了交流的效率。
3. 更加关注个体的个性化学习
以前信息技术与数学课程的整合，教学方式仍然以集中讲授为主，难以照顾到学习者的层次差异，而智慧课堂在信息流通扁平化的基础上，系统或教师可以对学生的学习表现作出判断，精准推送适合学生的学习内容，实现差异化教学，在课堂范围内实现因材施教。
4. 课堂日益智能化
以往在数学课堂上，教师专注于知识的传授过程，难以兼顾到学生开小差、打瞌睡等状况。新型的智慧课堂，可以借助人脸识别等人工智能技术，对学生的学习状况进行监测、记录，并报告给教师，使教师对具体某个学生的情况都有所掌握，并采取相应的措施，从这一点上来说，智慧课堂的智能化实现了教师脑力劳动的延伸。
信息技术与课程的融合，发展到智慧课堂阶段，无疑给当前的课堂注入了新的活力，必将对教学的全过程产生重要的影响。
二、夯实高中数学智慧课堂的理论基础
任何一堂数学课的教学设计，都会考虑把知识如何教给学生，学生如何学会知识。对授课者来说，必有其内在的理论假设。
比如有的数学课堂注重例题讲授，题型的分类全面，并配以大量习题，强调刷题并及时反馈。在智慧课堂平台上，由于信息传输的扁平化，教学过程非常快捷，教学节奏感强，教学反馈也非常及时，学生在学习中犯的错误投影到大屏幕上，可以及时得到纠正，然后系统再推送类似的题目，直到过关为止。细究这类教学模式，可以窥见其背后的行为主义的影子，强调训练，强调重复，强调结果，忽视了学生的思维活动的复杂性，众多学生的思维过程或多或少地成为一个黑箱。
数学是一门特别重视思维的学科，在某种程度上来说，数学就是“思维的体操”，认知科学无疑应该成为数学智慧课堂的理论基础之一。按照美国心理学家布鲁纳的观点，学生的心智发展主要是独自遵循他自己特有的认识程序的，教学是要帮助或形成学生智慧或认知的生长。为此，他提倡发现学习法，强调学习的过程，“教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情境，而不是提供现成的知识”。发现学习法强调内在动机，比如同学间的竞争、好的成绩都是外部动机，要重视学生的内部动机或者把外部动机转换成为内部动机。布鲁纳把好奇心称为“内部动机的原型”。
遵循这一认知规律，数学智慧课堂可以设计成探究式的教学模式，让学生自主探究、形成概念或者“发现”数学中的某些规律。
但是发现学习法费时、费力，如果每堂课都让学生去发现知识，这显然是不现实的。另一位心理学家奥苏贝尔又提出，发现学习与接受学习（讲授学习）不是截然对立的，只要学生表现出一种意义学习的心向，即表现出一种在新学的内容与自己已有的知识之间建立联系的倾向；学习内容对学生具有潜在意义，即能够与学生已有的知识结构联系起来，这种学习就不是机械学习，而是有意义的学习。总之，接受学习也可以是有意义的学习。为使新知识与已有认知结构联系起来，他提出了“先行組织者策略”，即利用适当相关的和包容性较强的、最清晰和最稳定的引导性材料，使新旧认知结构快速建立联系。奥苏贝尔的有意义接受学习，恰为我们的智慧课堂启发式教学模式提供了有力的理论支撑，并指明了具体的策略。
奥苏贝尔认为，当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来，有意义的学习便发生了。这与个人建构主义的主要观点“知识是认知个体的主动建构，而不是被动的接受或者吸收”相一致，这主要是就学习个体而言的。当个人建构主义发展到了社会建构主义，主张学习不应被看成一种纯粹的个体行为，必然“有一个与不同个体之间进行表述、交流、协商以及不断改进的过程”，个体认知活动应该被看成是一种社会行为。
在数学智慧课堂中，学生的学习不能只视为学生独自的个体活动。学生带着不同的先前经验，进入所处的社会情境（班级）之中，学生要清晰表达自己的概念与假设，也要倾听他人的观点，互动交流、互相启发、互相补充，在增进对知识的理解的同时，发展批判性思维。学生原生的性格与能力，与在社会环境中磨砺过的性格和能力相比，后者的数学能力大大加强。所以，建构主义的认识论也可以作为数学智慧课堂的理论基础之一。 三、高中数学智慧课堂要关注学生思维的参与
在高中数学智慧课堂中，资源的获取非常便捷，资源的选择面也非常多。如果直接把现成的教学设计拿来使用，课堂也可以十分流畅，学生讨论、“比武”也显得十分热烈，但是不是总觉得少了点什么呢？有教师做过研究，流于形式地使用智慧课堂，学生成绩还有可能下滑。教学是一门思维的学科，学生若仅是迫于环境的要求而被动参与到课堂中的话，缺少了思維的参与，学生有可能就成了知识的容器，数学的能力也得不到提升。
按照有意义接受学习的观点，对于一些概念的教学，也可以设计成讲授式的，但这种讲授应该是带启发性的问题串，以引发学生的思考甚至是思维冲突。如在高一讲授函数的概念时，以人教A版为例，教材开始以三个例子作为引导材料，第一个是以解析法表示的二次函数，第二个是以图像法表示的臭氧层空洞与年份的函数，第三个是恩格尔系数与年份的函数关系（以表格表示）。这三则材料就符合先行组织者的特征：与学生已有的认知结构相关，学生在初中已经学习过函数的“变量说”定义，这三则材料均出现了变量、对应等“变量说”的基本内容，也涵盖了函数的三种表示法；同时，又以集合的形式分别指出了自变量、因变量的取值集合，符合函数定义的“集合对应说”的本质，包容性很强。
在教学中，摸清学生已有认知结构中具有“变量说”的“底”之后，以一系列问题串——“初中是如何定义函数的”“如果把自变量因变量的取值分别看作两个集合的话，函数又可以如何定义”，等等，引导学生认识到函数定义“变量说”与“集合对应说”在本质上是一致的。继续追问：“函数是否一定可以用解析式表示？”学生容易明白材料二、材料三就是反例。接着提问：“某运动员射击三次，序号分别是1、2、3，成绩都是9环，环数是序号的函数吗？”“如果第三次脱靶了呢？”
基于智慧课堂平台的教学环境，从内容呈现、讨论环境的搭建都十分平滑，但教学设计却要慎之又慎，主要目的就是调动学生的思维参与到学习过程中。问题引发思考，思考引发冲突，冲突的解决，实质上是在重构学生的认知结构，让数学智慧课堂具有了思维的内核，避免程序化、僵化，让数学课堂真正活起来。
为了让学生的思维参与到数学学习中，有时还要适时地借助数学专用软件对思维进行延伸，如几何画板、Matlab、Z Z智能教育平台、GGB（Geogebra的简称）等。以GGB为例，这是一个开源的跨平台教学软件，集代数、几何、概率统计等多个模块于一身，并支持繁多的命令序列，熟练掌握它的应用，可以在数学学习中进行逻辑推理、探究结论、验证假设，把学生的思维引向深入。数学智慧课堂，如果没有数学软件的辅助，其智慧程度是不够的。
关键词：数学智慧课堂；思维；参与
随着教育信息技术的高速发展，课堂已经逐渐步入智慧课堂时代。尽管当前智慧课堂还没有一个统一的定义，但其新技术特征却十分明显，高速处理器、云技术、大数据、高速数据传输、手持终端都进入了课堂，可以快速实现人机互联、实时传输。有这些技术支撑，再加上教育教学的理论作指导，智慧课堂在不少地区、不少学校落地开花。高中数学教学与智慧课堂的融合也就成为一种趋势。
一、高中数学智慧课堂的发展现状
前些年信息技术与数学课程的整合主要体现在互联网、大屏投影、互动电子白板等技术手段进入数学课堂，但这些难以满足数学对技术的需求，所以有的教师觉得有没有信息技术，效果都差不多，但智慧课堂的到来无疑将改变这一看法。
1. 强大的资源整合与共享功能
智慧课堂的软件系统整合了教学设计、试题资源、微课等资源于一体，共享给教师与学生。以前信息技术与数学课程的整合，虽说也可以使用众多的网络资源，但从未如智慧课堂这样把如此众多的资源整合在一个平台之中。教师浏览、选取、编辑、保存、使用均可在同一个平台完成，学生也可以在这个平台上自主获得试题、微课等资源，学习资源的获得变得特别容易。
2. 信息流动的“扁平化”
在以往的课堂中，师生之间交流主要借助言语、板书或书写投影（即写在纸上再投影），智慧课堂不仅保留了这些方式，更得益于手持终端（PAD）的快速化、轻便化，多名学生的书写可以同时呈现于大屏幕，较之以前的答题板、抢答器等，师生、生生之间的信息通道十分“扁平”，随意切换，大大提高了交流的效率。
3. 更加关注个体的个性化学习
以前信息技术与数学课程的整合，教学方式仍然以集中讲授为主，难以照顾到学习者的层次差异，而智慧课堂在信息流通扁平化的基础上，系统或教师可以对学生的学习表现作出判断，精准推送适合学生的学习内容，实现差异化教学，在课堂范围内实现因材施教。
4. 课堂日益智能化
以往在数学课堂上，教师专注于知识的传授过程，难以兼顾到学生开小差、打瞌睡等状况。新型的智慧课堂，可以借助人脸识别等人工智能技术，对学生的学习状况进行监测、记录，并报告给教师，使教师对具体某个学生的情况都有所掌握，并采取相应的措施，从这一点上来说，智慧课堂的智能化实现了教师脑力劳动的延伸。
信息技术与课程的融合，发展到智慧课堂阶段，无疑给当前的课堂注入了新的活力，必将对教学的全过程产生重要的影响。
二、夯实高中数学智慧课堂的理论基础
任何一堂数学课的教学设计，都会考虑把知识如何教给学生，学生如何学会知识。对授课者来说，必有其内在的理论假设。
比如有的数学课堂注重例题讲授，题型的分类全面，并配以大量习题，强调刷题并及时反馈。在智慧课堂平台上，由于信息传输的扁平化，教学过程非常快捷，教学节奏感强，教学反馈也非常及时，学生在学习中犯的错误投影到大屏幕上，可以及时得到纠正，然后系统再推送类似的题目，直到过关为止。细究这类教学模式，可以窥见其背后的行为主义的影子，强调训练，强调重复，强调结果，忽视了学生的思维活动的复杂性，众多学生的思维过程或多或少地成为一个黑箱。
数学是一门特别重视思维的学科，在某种程度上来说，数学就是“思维的体操”，认知科学无疑应该成为数学智慧课堂的理论基础之一。按照美国心理学家布鲁纳的观点，学生的心智发展主要是独自遵循他自己特有的认识程序的，教学是要帮助或形成学生智慧或认知的生长。为此，他提倡发现学习法，强调学习的过程，“教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情境，而不是提供现成的知识”。发现学习法强调内在动机，比如同学间的竞争、好的成绩都是外部动机，要重视学生的内部动机或者把外部动机转换成为内部动机。布鲁纳把好奇心称为“内部动机的原型”。
遵循这一认知规律，数学智慧课堂可以设计成探究式的教学模式，让学生自主探究、形成概念或者“发现”数学中的某些规律。
但是发现学习法费时、费力，如果每堂课都让学生去发现知识，这显然是不现实的。另一位心理学家奥苏贝尔又提出，发现学习与接受学习（讲授学习）不是截然对立的，只要学生表现出一种意义学习的心向，即表现出一种在新学的内容与自己已有的知识之间建立联系的倾向；学习内容对学生具有潜在意义，即能够与学生已有的知识结构联系起来，这种学习就不是机械学习，而是有意义的学习。总之，接受学习也可以是有意义的学习。为使新知识与已有认知结构联系起来，他提出了“先行組织者策略”，即利用适当相关的和包容性较强的、最清晰和最稳定的引导性材料，使新旧认知结构快速建立联系。奥苏贝尔的有意义接受学习，恰为我们的智慧课堂启发式教学模式提供了有力的理论支撑，并指明了具体的策略。
奥苏贝尔认为，当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来，有意义的学习便发生了。这与个人建构主义的主要观点“知识是认知个体的主动建构，而不是被动的接受或者吸收”相一致，这主要是就学习个体而言的。当个人建构主义发展到了社会建构主义，主张学习不应被看成一种纯粹的个体行为，必然“有一个与不同个体之间进行表述、交流、协商以及不断改进的过程”，个体认知活动应该被看成是一种社会行为。
在数学智慧课堂中，学生的学习不能只视为学生独自的个体活动。学生带着不同的先前经验，进入所处的社会情境（班级）之中，学生要清晰表达自己的概念与假设，也要倾听他人的观点，互动交流、互相启发、互相补充，在增进对知识的理解的同时，发展批判性思维。学生原生的性格与能力，与在社会环境中磨砺过的性格和能力相比，后者的数学能力大大加强。所以，建构主义的认识论也可以作为数学智慧课堂的理论基础之一。 三、高中数学智慧课堂要关注学生思维的参与
在高中数学智慧课堂中，资源的获取非常便捷，资源的选择面也非常多。如果直接把现成的教学设计拿来使用，课堂也可以十分流畅，学生讨论、“比武”也显得十分热烈，但是不是总觉得少了点什么呢？有教师做过研究，流于形式地使用智慧课堂，学生成绩还有可能下滑。教学是一门思维的学科，学生若仅是迫于环境的要求而被动参与到课堂中的话，缺少了思維的参与，学生有可能就成了知识的容器，数学的能力也得不到提升。
按照有意义接受学习的观点，对于一些概念的教学，也可以设计成讲授式的，但这种讲授应该是带启发性的问题串，以引发学生的思考甚至是思维冲突。如在高一讲授函数的概念时，以人教A版为例，教材开始以三个例子作为引导材料，第一个是以解析法表示的二次函数，第二个是以图像法表示的臭氧层空洞与年份的函数，第三个是恩格尔系数与年份的函数关系（以表格表示）。这三则材料就符合先行组织者的特征：与学生已有的认知结构相关，学生在初中已经学习过函数的“变量说”定义，这三则材料均出现了变量、对应等“变量说”的基本内容，也涵盖了函数的三种表示法；同时，又以集合的形式分别指出了自变量、因变量的取值集合，符合函数定义的“集合对应说”的本质，包容性很强。
在教学中，摸清学生已有认知结构中具有“变量说”的“底”之后，以一系列问题串——“初中是如何定义函数的”“如果把自变量因变量的取值分别看作两个集合的话，函数又可以如何定义”，等等，引导学生认识到函数定义“变量说”与“集合对应说”在本质上是一致的。继续追问：“函数是否一定可以用解析式表示？”学生容易明白材料二、材料三就是反例。接着提问：“某运动员射击三次，序号分别是1、2、3，成绩都是9环，环数是序号的函数吗？”“如果第三次脱靶了呢？”
基于智慧课堂平台的教学环境，从内容呈现、讨论环境的搭建都十分平滑，但教学设计却要慎之又慎，主要目的就是调动学生的思维参与到学习过程中。问题引发思考，思考引发冲突，冲突的解决，实质上是在重构学生的认知结构，让数学智慧课堂具有了思维的内核，避免程序化、僵化，让数学课堂真正活起来。
为了让学生的思维参与到数学学习中，有时还要适时地借助数学专用软件对思维进行延伸，如几何画板、Matlab、Z Z智能教育平台、GGB（Geogebra的简称）等。以GGB为例，这是一个开源的跨平台教学软件，集代数、几何、概率统计等多个模块于一身，并支持繁多的命令序列，熟练掌握它的应用，可以在数学学习中进行逻辑推理、探究结论、验证假设，把学生的思维引向深入。数学智慧课堂，如果没有数学软件的辅助，其智慧程度是不够的。