论文部分内容阅读
据观察，不少教师在教学“三角形边的关系”时只侧重于知识的传授，没有让学生通过操作探索三角形边的关系，忽视了学生对三角形边的关系的整体建构。特级教师吴汝萍在教学“三角形边的关系”时，通过操作引发学生的认知冲突、扩展学生的认识、深化學生的理解，让学生亲身经历知识的形成过程，优化了学生的认知结构，增强了学生的创新意识，体现了注重发展学生数学思考的理念。
【片段一】实验探究，引发冲突
师：同学们，在三年级我们已经认识了三角形，什么叫三角形呢？
生：由3条线段围成的图形叫三角形。
师：“围成”是什么意思？
生：3条线段首尾相连。
师：给你3根小棒，你能围成一个三角形吗?
生：能。
师：我们现在分男生和女生两组，每组推荐两名同学到台上围三角形，看哪个组围得快。
（出示小棒:3根20厘米、3根10厘米）
师：你们先用石头、剪刀、布来确定谁先选材料。
（学生用石头、剪刀、布分输赢）
生（男生）：耶！我们赢了，我们选3根20厘米的小棒。
师：女生用3根10厘米的小棒，现在开始围三角形。
（学生围三角形）
生：我们围好了。
师：真了不起！你们差不多是同时围好的，不分胜负。现在请你们交换其中的一根小棒再围一次，看哪一组围得快。
（男生用两根20厘米和1根10厘米的小棒，女生用两根10厘米和1根20厘米的小棒。）
师：现在开始围三角形。
生（男生）：耶！围好了。
师：女生围好了吗？
生：这3根小棒不好围。
师（故作惊讶）：是吗？谁能帮她们一下？
生（有点不服气）：我来围。
（该生也没有围成）
师：这样围符合要求吗？
生：不符合要求。
师：为什么呢？
生：因为三角形是3条线段首尾相连围成的图形，这3根小棒没有首尾相连，所以不符合要求。
师：这3根小棒能围成三角形吗？
生（齐）：不能。
（教师电脑演示）
师：看来女生不是输在技术上，而是输在材料上。你看到这个实例有什么疑问吗?
生：这3根小棒为什么不能围成三角形呢？
师：你真棒！只有提出问题，才能解决问题。大科学家牛顿曾经提出“苹果为什么会落地”这个异想天开的问题，吸引他不断地观察、思考和探索，最终发现了万有引力定律。我们也要像牛顿那样善于提出问题，学会用科学的思维方式解决问题。现在请同学们拿出信封里的小棒分组围三角形，并做好实验记录。
（学生分组合作围三角形）
师：哪些小棒能围成三角形呢？
生（按从小到大的顺序汇报）：6厘米、6厘米、6厘米；10厘米、12厘米、18厘米；6厘米、10厘米、12厘米；6厘米、6厘米、10厘米。
师：这几组是不是都能围成三角形呢？
（教师电脑演示验证）
师：哪些小棒不能围成三角形呢？
生（按从小到大的顺序汇报）：6厘米、10厘米、18厘米；6厘米、 6厘米、18厘米；6厘米、12厘米、18厘米；6厘米、6厘米、12厘米。
师：这几组是不是都不能围成三角形呢？
（教师电脑演示验证）
师：观察上面的实验数据，小组讨论发现了什么。
生1：在不能围成三角形的3条线段中，两条线段的和小于或等于第三条线段。
生2：在能围成三角形的3条边中，两条边的和大于第三边。
师：你们还有什么疑问吗？
生：我认为他们说得不准确，因为在不能围成三角形的3条线段中，也能找到两条线段的和大于第三条线段。例如，虽然6厘米＋10厘米＜18厘米，但是10厘米 +18厘米＞6厘米。
师：你还能举例说明，真棒！
生：在三角形中，两条较小边的和大于第三边。
师：为什么呢?
生1：因为在3条边中，如果两个较小边的和都比第三边大，那么其他两条边的和就一定大于第三边。
生2：在三角形中，任意两边之和大于第三边。
【赏析】在探究三角形边的关系时，吴老师通过让学生摆小棒，引发了学生的认知冲突。引发认知冲突是发展数学思考的重要策略。学生在第一次用小棒围三角形时，觉得很容易，便错误地认为任意三根小棒都能围成一个三角形。当两组交换一根小棒后，再次让学生围三角形时，有的能围成，有的不能围成，引发了学生认知上的矛盾，激发了学生的探索热情，自然地把学生引入到实验探究的活动中。教师还通过“苹果为什么会落地”的故事，启发学生要爱动脑筋，善于提出问题，有利于学生形成良好的思维习惯。在学生通过操作、探究得出两边之和大于第三边才能围成三角形时，吴老师让学生观察并发现“在不能围成三角形的数据中，也能找到两边之和大于第三边”，再次引发了学生认知上的矛盾，激发学生提出问题并思考：“什么样的3条线段才能围成三角形呢？”这样，学生对三角形边的关系的理解就不再是简单的、表面的。在这一过程中，吴老师没有把学生的学习停留在具体的操作活动上，而是让学生通过操作活动，探究数学规律，丰富了学生的数学思考，提升了学生的数学素养。
【片段二】操作验证，扩展认识
师：我们已经发现三角形的任意两边之和大于第三边，你们还有什么疑问吗？
生：是不是所有的三角形的任意两边之和都大于第三边呢？
师：我们还要进行验证，验证是我们学习和研究数学常用的方法。谁来量一量黑板上的三角形的3条边的长度各是多少，看一看3条边之间有什么关系？
生1：a＝20厘米，b＝30厘米，c＝40厘米。
生2：因为a＋b>c、c+b>a、a+c>b，所以这个三角形任意两边之和大于第三边。
生3：因此，我们可以得出所有三角形的任意两边之和大于第三边。
师：一个数学结论，验证的次数越多，这个结论就越可靠。只有经过多次验证或证明，才能被人们所公认，成为公理或定理。因此，请大家自己画一个三角形，验证上面的结论，并在小组里交流。
（学生画图验证）
生：我们画的三角形的任意两边之和都大于第三边。
【赏析】在学生通过实验探究得出三角形边的关系后，吴老师启发学生：“任意一个三角形3条边都有这样的关系吗？”她先让学生集体验证黑板上的三角形，再引导他们通过动手画一画、量一量、算一算等实践操作，对发现的“三角形的任意两边之和大于第三边”的结论进行多人次验证，让其把所得到结论从特殊推广到一般，从具体推广到抽象，扩展了学生的认识。
【片段三】拓展延伸，深化理解
（出示题目：在下面几组线段中，哪几组能围成三角形？为什么？出示：① 3、4、5，②3、3、3，③2、2、6 ，④3、3、5）
师：在这几组线段中，哪几组能围成三角形？为什么？
生：①②④组能围成三角形，因为这三组的任意两边之和大于第三边。
师：在这些三角形中，你最喜欢哪一个？
生：我最喜欢第二组的三角形。
师：为什么？
生：因为这个三角形的3条边都相等。
师：3条相等的线段一定能围成三角形吗？
生：如果3条线段的长都是n，那么n+n必大于n，所以3条相等的线段一定能围成三角形。
师：哇！你真棒！
生：我喜欢第四组的三角形，因为它有两条边相等。
师：你们知道老师最喜欢哪个三角形吗？
生1：第二组。
生2：第四组。
师：老师最喜欢第一组的三角形。
生（齐）：（惊讶）啊，不会吧?
师：这是什么三角形？猜一猜？
生（齐）：不知道。
（教师演示）
生：哇！直角三角形。
师：你们有什么疑问吗？
生：什么样的3条线段才能围成直角三角形呢？
师：这是中学将要学习的内容，请同学们课后查找资料，解开你心中的疑惑。第三组为什么不能围成三角形？
生：因为2+2<6，所以不能围成三角形。
师：你能改变第一条线段的长度，使这3条线段能围成一个三角形吗？
生1：这条边可以改为7厘米。
生2：这条边可以改为6厘米。
生3：这条边可以改为5厘米。
（教师根据学生的上述回答通过电脑一一演示）
师：这条边能改为8厘米吗？9厘米呢？
生：不能是8厘米，因为2厘米＋6厘米=8厘米；也不能是9厘米，因为2厘米＋6厘米＜9厘米。
（教师电脑演示）
师：这条边最大是多少厘米呢？
生1：7.9厘米。
生2：7.99厘米。
生3：小于8厘米。
师：这条线段可以是4厘米吗？3厘米呢？
生：这条边不能是4厘米，因为2厘米＋4厘米=6厘米；这条边也不能是3厘米，因为2厘米＋3厘米＜ 6厘米。
（教师电脑演示）
师：这条边最小是多少厘米呢？
生1：4.1厘米。
生2：4.01厘米。
生3：大于4厘米。
师：这条边的长度可以在什么范围内呢？
生：4厘米 师：它与另外两条边的关系是什么？
生：6-2 师：哇！你真棒！大家表扬他。
【赏析】吴老师精心设计了具有基础性、对比性、开放性与拓展性的习题，让学生在观察、讨论、验证、交流的过程中，进一步深化了对三角形边的关系的理解。深化理解是放飞学生思维的有效途径，能使学生的数学思考在一个个具体的、引人入胜的数学活动中得到富有成效的落实。通过“你最喜欢哪一组三角形？”引导学生思考：“3条相等的线段一定能组成三角形吗？为什么？”当学生发现老师最喜欢的三角形是直角三角形后，学生在困惑中产生了进一步探索的心理需求，同时也将课内学习自觉延伸到了课外探究。吴老师还通过“你能改变第一条线段的长度，使这3条线段能围成一个三角形吗”这一问题，让学生饶有兴趣地深入探索三角形边的关系，得出两边之差小于第三边的结论，这样既丰富了三角形边的关系的数学内涵，又有效地深化了学生的数学思考。（作者单位：江苏省金湖县育才小学）■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
【片段一】实验探究，引发冲突
师：同学们，在三年级我们已经认识了三角形，什么叫三角形呢？
生：由3条线段围成的图形叫三角形。
师：“围成”是什么意思？
生：3条线段首尾相连。
师：给你3根小棒，你能围成一个三角形吗?
生：能。
师：我们现在分男生和女生两组，每组推荐两名同学到台上围三角形，看哪个组围得快。
（出示小棒:3根20厘米、3根10厘米）
师：你们先用石头、剪刀、布来确定谁先选材料。
（学生用石头、剪刀、布分输赢）
生（男生）：耶！我们赢了，我们选3根20厘米的小棒。
师：女生用3根10厘米的小棒，现在开始围三角形。
（学生围三角形）
生：我们围好了。
师：真了不起！你们差不多是同时围好的，不分胜负。现在请你们交换其中的一根小棒再围一次，看哪一组围得快。
（男生用两根20厘米和1根10厘米的小棒，女生用两根10厘米和1根20厘米的小棒。）
师：现在开始围三角形。
生（男生）：耶！围好了。
师：女生围好了吗？
生：这3根小棒不好围。
师（故作惊讶）：是吗？谁能帮她们一下？
生（有点不服气）：我来围。
（该生也没有围成）
师：这样围符合要求吗？
生：不符合要求。
师：为什么呢？
生：因为三角形是3条线段首尾相连围成的图形，这3根小棒没有首尾相连，所以不符合要求。
师：这3根小棒能围成三角形吗？
生（齐）：不能。
（教师电脑演示）
师：看来女生不是输在技术上，而是输在材料上。你看到这个实例有什么疑问吗?
生：这3根小棒为什么不能围成三角形呢？
师：你真棒！只有提出问题，才能解决问题。大科学家牛顿曾经提出“苹果为什么会落地”这个异想天开的问题，吸引他不断地观察、思考和探索，最终发现了万有引力定律。我们也要像牛顿那样善于提出问题，学会用科学的思维方式解决问题。现在请同学们拿出信封里的小棒分组围三角形，并做好实验记录。
（学生分组合作围三角形）
师：哪些小棒能围成三角形呢？
生（按从小到大的顺序汇报）：6厘米、6厘米、6厘米；10厘米、12厘米、18厘米；6厘米、10厘米、12厘米；6厘米、6厘米、10厘米。
师：这几组是不是都能围成三角形呢？
（教师电脑演示验证）
师：哪些小棒不能围成三角形呢？
生（按从小到大的顺序汇报）：6厘米、10厘米、18厘米；6厘米、 6厘米、18厘米；6厘米、12厘米、18厘米；6厘米、6厘米、12厘米。
师：这几组是不是都不能围成三角形呢？
（教师电脑演示验证）
师：观察上面的实验数据，小组讨论发现了什么。
生1：在不能围成三角形的3条线段中，两条线段的和小于或等于第三条线段。
生2：在能围成三角形的3条边中，两条边的和大于第三边。
师：你们还有什么疑问吗？
生：我认为他们说得不准确，因为在不能围成三角形的3条线段中，也能找到两条线段的和大于第三条线段。例如，虽然6厘米＋10厘米＜18厘米，但是10厘米 +18厘米＞6厘米。
师：你还能举例说明，真棒！
生：在三角形中，两条较小边的和大于第三边。
师：为什么呢?
生1：因为在3条边中，如果两个较小边的和都比第三边大，那么其他两条边的和就一定大于第三边。
生2：在三角形中，任意两边之和大于第三边。
【赏析】在探究三角形边的关系时，吴老师通过让学生摆小棒，引发了学生的认知冲突。引发认知冲突是发展数学思考的重要策略。学生在第一次用小棒围三角形时，觉得很容易，便错误地认为任意三根小棒都能围成一个三角形。当两组交换一根小棒后，再次让学生围三角形时，有的能围成，有的不能围成，引发了学生认知上的矛盾，激发了学生的探索热情，自然地把学生引入到实验探究的活动中。教师还通过“苹果为什么会落地”的故事，启发学生要爱动脑筋，善于提出问题，有利于学生形成良好的思维习惯。在学生通过操作、探究得出两边之和大于第三边才能围成三角形时，吴老师让学生观察并发现“在不能围成三角形的数据中，也能找到两边之和大于第三边”，再次引发了学生认知上的矛盾，激发学生提出问题并思考：“什么样的3条线段才能围成三角形呢？”这样，学生对三角形边的关系的理解就不再是简单的、表面的。在这一过程中，吴老师没有把学生的学习停留在具体的操作活动上，而是让学生通过操作活动，探究数学规律，丰富了学生的数学思考，提升了学生的数学素养。
【片段二】操作验证，扩展认识
师：我们已经发现三角形的任意两边之和大于第三边，你们还有什么疑问吗？
生：是不是所有的三角形的任意两边之和都大于第三边呢？
师：我们还要进行验证，验证是我们学习和研究数学常用的方法。谁来量一量黑板上的三角形的3条边的长度各是多少，看一看3条边之间有什么关系？
生1：a＝20厘米，b＝30厘米，c＝40厘米。
生2：因为a＋b>c、c+b>a、a+c>b，所以这个三角形任意两边之和大于第三边。
生3：因此，我们可以得出所有三角形的任意两边之和大于第三边。
师：一个数学结论，验证的次数越多，这个结论就越可靠。只有经过多次验证或证明，才能被人们所公认，成为公理或定理。因此，请大家自己画一个三角形，验证上面的结论，并在小组里交流。
（学生画图验证）
生：我们画的三角形的任意两边之和都大于第三边。
【赏析】在学生通过实验探究得出三角形边的关系后，吴老师启发学生：“任意一个三角形3条边都有这样的关系吗？”她先让学生集体验证黑板上的三角形，再引导他们通过动手画一画、量一量、算一算等实践操作，对发现的“三角形的任意两边之和大于第三边”的结论进行多人次验证，让其把所得到结论从特殊推广到一般，从具体推广到抽象，扩展了学生的认识。
【片段三】拓展延伸，深化理解
（出示题目：在下面几组线段中，哪几组能围成三角形？为什么？出示：① 3、4、5，②3、3、3，③2、2、6 ，④3、3、5）
师：在这几组线段中，哪几组能围成三角形？为什么？
生：①②④组能围成三角形，因为这三组的任意两边之和大于第三边。
师：在这些三角形中，你最喜欢哪一个？
生：我最喜欢第二组的三角形。
师：为什么？
生：因为这个三角形的3条边都相等。
师：3条相等的线段一定能围成三角形吗？
生：如果3条线段的长都是n，那么n+n必大于n，所以3条相等的线段一定能围成三角形。
师：哇！你真棒！
生：我喜欢第四组的三角形，因为它有两条边相等。
师：你们知道老师最喜欢哪个三角形吗？
生1：第二组。
生2：第四组。
师：老师最喜欢第一组的三角形。
生（齐）：（惊讶）啊，不会吧?
师：这是什么三角形？猜一猜？
生（齐）：不知道。
（教师演示）
生：哇！直角三角形。
师：你们有什么疑问吗？
生：什么样的3条线段才能围成直角三角形呢？
师：这是中学将要学习的内容，请同学们课后查找资料，解开你心中的疑惑。第三组为什么不能围成三角形？
生：因为2+2<6，所以不能围成三角形。
师：你能改变第一条线段的长度，使这3条线段能围成一个三角形吗？
生1：这条边可以改为7厘米。
生2：这条边可以改为6厘米。
生3：这条边可以改为5厘米。
（教师根据学生的上述回答通过电脑一一演示）
师：这条边能改为8厘米吗？9厘米呢？
生：不能是8厘米，因为2厘米＋6厘米=8厘米；也不能是9厘米，因为2厘米＋6厘米＜9厘米。
（教师电脑演示）
师：这条边最大是多少厘米呢？
生1：7.9厘米。
生2：7.99厘米。
生3：小于8厘米。
师：这条线段可以是4厘米吗？3厘米呢？
生：这条边不能是4厘米，因为2厘米＋4厘米=6厘米；这条边也不能是3厘米，因为2厘米＋3厘米＜ 6厘米。
（教师电脑演示）
师：这条边最小是多少厘米呢？
生1：4.1厘米。
生2：4.01厘米。
生3：大于4厘米。
师：这条边的长度可以在什么范围内呢？
生：4厘米
生：6-2
【赏析】吴老师精心设计了具有基础性、对比性、开放性与拓展性的习题，让学生在观察、讨论、验证、交流的过程中，进一步深化了对三角形边的关系的理解。深化理解是放飞学生思维的有效途径，能使学生的数学思考在一个个具体的、引人入胜的数学活动中得到富有成效的落实。通过“你最喜欢哪一组三角形？”引导学生思考：“3条相等的线段一定能组成三角形吗？为什么？”当学生发现老师最喜欢的三角形是直角三角形后，学生在困惑中产生了进一步探索的心理需求，同时也将课内学习自觉延伸到了课外探究。吴老师还通过“你能改变第一条线段的长度，使这3条线段能围成一个三角形吗”这一问题，让学生饶有兴趣地深入探索三角形边的关系，得出两边之差小于第三边的结论，这样既丰富了三角形边的关系的数学内涵，又有效地深化了学生的数学思考。（作者单位：江苏省金湖县育才小学）■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com