论文部分内容阅读
在时下的数学课堂中，尤其在赛课、观摩课中，经常有教师在课中或课尾运用一些数学史材料。一方面是因为现行的《数学》教材中安排了一些数学史材料、背景材料、知识应用等内容（如人教版、苏教版《数学》教材中的“你知道吗？”专栏）；另一方面，是执教者有意识的主动追求，用以激发学生学习兴趣，增加数学课堂的文化品位。事实上，数学教学除了要让学生掌握知识、技能外，还承载着育人的任务。无疑，数学史对于数学教育有着巨大的教育价值。所以，我们不要把数学史的运用仅仅作为一种点缀、装饰，而是要在数学与人文之间建造起一座桥梁，去塑造学生的人格品质，去提升学生的数学素养。高邮市数学名师工作室打磨了一节“用字母表示数”，在此方面作了一些有益探索。
【片段1】与史同步，经历知识建构过程
（课件依次出示：用小棒围成的1个、2个、3个三角形。）
师：用小棒围成不连续的1个、2个、3个三角形，各需要多少根小棒？
师：像这样围4个、5个、6个三角形，分别需要多少根小棒？怎样列式表示所需小棒的根数？
（学生说，教师板书算式。）
师：你們能继续摆下去吗？你想摆多少个三角形？需要多少根小棒？
（教师指多名学生回答。）
师：你知道三角形的个数和用的小棒根数有什么关系吗？
……
师：大家想摆的三角形个数各不相同，你们能用一个式子表示我们已经摆好的三角形所用小棒根数，又能表示我们心中想摆出的三角形所用小棒根数吗？
（教师行间巡视，选择学生有代表性的作业投影展示，并组织学生讨论。）
师（展示作业1：4×3=12根）：这道式子表示什么？
生：表示摆4个三角形用12根小棒。
师（展示作业2：所用小棒根数=三角形个数×3）：你们认为哪个式子好？
生：作业2的式子好，它能表示所有情况。
师（展示作业3：所用小棒根数=a×3）：你们认为哪个式子好？
生：作业3的式子好，它不仅能代表所有的摆法，而且更简洁。
师：这里a表示什么？a×3表示什么？
生：a表示摆成的三角形个数，a×3表示所需小棒的根数。
生：a×3还能表示a的3倍。
师：小棒根数也就是数量，也就是说a×3能够表示数量；a×3还能表示a的3倍，说明a×3还能表示数量关系。（板书：数量，数量关系。）
师：a能表示1个三角形吗？能表示2个三角形吗？能表示3个、4个三角形吗？a能表示你心中想摆的三角形吗？
生：能。
生：a表示变化的数。
师：a能取小数吗？a能表示分数吗？
生：不能，这里a只能表示自然数。
师：原来a表示的变化的自然数是有范围的。（板书：变化，范围。）
师：这里的3为什么不用字母表示？
生：3是我们已经知道的，是固定不变的数，所以不需要用字母表示，我们用字母表示变化的数，一道式子就可以表示所有的答案。
师：通过摆三角形我们知道：变化的数量可以用字母表示，同一个字母可以表示很多的数，已经知道的固定不变的数不需要用字母表示。
【赏析】代数发展经历了文辞代数、缩写代数、符号代数三个历史阶段。教师有目的、有顺序地展示学生的作业，其目的在于让学生经历用字母表示数的过程，让儿童心理发生、发展顺序同代数知识发生、发展顺序、逻辑顺序相一致。这里学生用字母表示已知数，用一道式子表示所有的答案，初步感受到含有字母的式子的概括性特征。教师追问“3为什么不用字母表示”，进一步让学生感受到这里字母表示的是变量，常数是不需要用字母表示的。教学中，教师巧妙借鉴代数发展史，却不露痕迹，它对数学教师的教学功底提出了更高的要求。
【片段2】了解规则由来，掌握代数式简写方法
1.教学a×4的简写
师：如果用S表示长方形的面积，长方形的长是a，宽是4，这个长方形的面积怎么表示？
生：S=a×4。
师：如果长方形的长是x，宽是4，面积该怎么表示呢？
生：x×4。
师：德国数学家莱布尼茨发现乘号和字母“x”很像，就提出如下建议：
课件出示：
[你知道吗？
德国数学家莱布尼茨认为“×”容易与字母“x”相混淆，建议用“·”表示乘号；如果有数，数要写在字母的前面。这样，用“·”标志乘号得到了广泛的承认。如今，欧洲大陆派（德、法等国）规定以“·”作乘号。其他国家则以“×”作乘号，“·”为小数点。而我国则规定以“×”或“·”作乘号都可，一般用于字母或括号前的乘号可略去。
]
（教师请学生根据上述规定重新说说a×4、x×4可以怎么简写，并根据学生回答相机板书a×4=4·a=4a。x×4=4x。）
师：a×4可以看成表示4个a，你觉得哪种写法看起来更简洁？
生：4a和a×4都表示4个a，但是4a看起来更简洁。
2.介绍a×1的简写
师：a×1该怎样简写呢？
生：a×1=a。
师：为什么等于a？
生：任何数乘1得原数。
师：开始我们写的a×3该怎么简写呢？
（教师请学生在作业纸上写一写。）
3.教学字母乘字母的简写
（1）教学a×a的简写。
师：如果正方形的边长是a，那么它的面积是多少？
生：a×a。
师：后来又有数学家把几个相同字母连乘时，进行简写。比如a×a写成a2，表示两个a连乘，读作a的平方。 （学生读a2，并说说书写时要注意些什么。）
师：a2表示什么？b×b怎么简寫？c2等于什么呢？
学生先在作业纸上写一写，再在全班交流，教师相机引导学生比较a2与2a的区别。
（2）教学a×b的简写。
师：如果长方形的长和宽分别是a和b，它的面积怎么表示？
生：S=a×b=ab。
……
【赏析】教学代数史的简写时，教师通常让学生自学课本或者教师直接讲授。本教学片段中教师通过复习梳理学过的平面图形面积公式，引出并串联起含有字母的乘法式子的简写。采用链接式的方式直接出示相关的数学史料，让学生明白数学规定的由来，不仅知道怎么简写，而且知道为什么这样简写，知道数学规定也是有趣的、讲道理的，并非不讲理的强制性规定。对于a×1的简写和加号、减号、除号的不可省略，则是为了启发学生自己悟出其中的道理。
【片段3】以史为鉴，渗透代数思想
师（课件出示5本字典）：如果用a表示字典的（ ），那么5a表示（ ）。
生1：如果a表示一本字典的价钱，5a就表示5本字典的总价。
生2：如果a表示一本字典的厚度，那么5a就表示5本字典的总厚度。
生3：如果a表示一本字典的总量，那么5a就表示5本字典的总量。
生4：如果a表示一本字典的页数，那么5a就表示5本字典的总页数。
生5：如果a表示一本字典的字数，那么5a就表示5本字典的总字数。
师：刚才我们围绕这本字典说了a和5a表示的意义。我们还能用a和5a表示其他事物的意义吗？我们还能继续像这样说下去吗？
生：如果a表示一个工作日工作的时间，那么5a表示5个工作日工作的总时间。
……
师：a与5a多神奇啊！
【赏析】从古希腊丢番图所代表的缩写代数时代，发展到韦达所代表的符号代数时代，经历了1 200多年。丢番图用字母解方程，往往一题一种解法，无共性规律可循。韦达被称为现代代数学之父，是因为韦达用字母表示数，目的是揭示“类”题的规律，具有高度的概括性，解题方法具有一般性。本教学片段的教学目的就是渗透数学发展史所呈现的代数思想，让学生回顾用字母表示运算律和公式，主要是让学生体悟字母不仅可以运算而且可以推理，字母表达式子具有概括性、间接性，所得到的结论更具一般性。
启发学生对“a”和“5a”这两个符号进行多种现实意义的解读，使得a和5a能表示不同类的量具有多种意义，使得现实情境符号化的过程更加简洁和概括，这样有利于增强学生的数学表达和数学思维的迁移性、变通性和灵活性。
数学课堂不仅要传授知识和技能，还要育人，提升人的学科素养，其重要的途径就是渗透数学思想。本课所渗透的代数思想，无疑是从代数发展史而来。重点让学生体会：数只能表示一种情况，而字母能代表一类情况；字母不仅能表示未知数，而且能表示不确定的已知数（变量）。用字母表示不确定的数，是因为字母表达式具有高度的概括性，更有利于我们去发现规律、表示规律，从而完成从“确定”到“不确定”、从“个”到“类”、从“术”到“道”、从“算术”思维到“代数”的跨越。
【片段1】与史同步，经历知识建构过程
（课件依次出示：用小棒围成的1个、2个、3个三角形。）
师：用小棒围成不连续的1个、2个、3个三角形，各需要多少根小棒？
师：像这样围4个、5个、6个三角形，分别需要多少根小棒？怎样列式表示所需小棒的根数？
（学生说，教师板书算式。）
师：你們能继续摆下去吗？你想摆多少个三角形？需要多少根小棒？
（教师指多名学生回答。）
师：你知道三角形的个数和用的小棒根数有什么关系吗？
……
师：大家想摆的三角形个数各不相同，你们能用一个式子表示我们已经摆好的三角形所用小棒根数，又能表示我们心中想摆出的三角形所用小棒根数吗？
（教师行间巡视，选择学生有代表性的作业投影展示，并组织学生讨论。）
师（展示作业1：4×3=12根）：这道式子表示什么？
生：表示摆4个三角形用12根小棒。
师（展示作业2：所用小棒根数=三角形个数×3）：你们认为哪个式子好？
生：作业2的式子好，它能表示所有情况。
师（展示作业3：所用小棒根数=a×3）：你们认为哪个式子好？
生：作业3的式子好，它不仅能代表所有的摆法，而且更简洁。
师：这里a表示什么？a×3表示什么？
生：a表示摆成的三角形个数，a×3表示所需小棒的根数。
生：a×3还能表示a的3倍。
师：小棒根数也就是数量，也就是说a×3能够表示数量；a×3还能表示a的3倍，说明a×3还能表示数量关系。（板书：数量，数量关系。）
师：a能表示1个三角形吗？能表示2个三角形吗？能表示3个、4个三角形吗？a能表示你心中想摆的三角形吗？
生：能。
生：a表示变化的数。
师：a能取小数吗？a能表示分数吗？
生：不能，这里a只能表示自然数。
师：原来a表示的变化的自然数是有范围的。（板书：变化，范围。）
师：这里的3为什么不用字母表示？
生：3是我们已经知道的，是固定不变的数，所以不需要用字母表示，我们用字母表示变化的数，一道式子就可以表示所有的答案。
师：通过摆三角形我们知道：变化的数量可以用字母表示，同一个字母可以表示很多的数，已经知道的固定不变的数不需要用字母表示。
【赏析】代数发展经历了文辞代数、缩写代数、符号代数三个历史阶段。教师有目的、有顺序地展示学生的作业，其目的在于让学生经历用字母表示数的过程，让儿童心理发生、发展顺序同代数知识发生、发展顺序、逻辑顺序相一致。这里学生用字母表示已知数，用一道式子表示所有的答案，初步感受到含有字母的式子的概括性特征。教师追问“3为什么不用字母表示”，进一步让学生感受到这里字母表示的是变量，常数是不需要用字母表示的。教学中，教师巧妙借鉴代数发展史，却不露痕迹，它对数学教师的教学功底提出了更高的要求。
【片段2】了解规则由来，掌握代数式简写方法
1.教学a×4的简写
师：如果用S表示长方形的面积，长方形的长是a，宽是4，这个长方形的面积怎么表示？
生：S=a×4。
师：如果长方形的长是x，宽是4，面积该怎么表示呢？
生：x×4。
师：德国数学家莱布尼茨发现乘号和字母“x”很像，就提出如下建议：
课件出示：
[你知道吗？
德国数学家莱布尼茨认为“×”容易与字母“x”相混淆，建议用“·”表示乘号；如果有数，数要写在字母的前面。这样，用“·”标志乘号得到了广泛的承认。如今，欧洲大陆派（德、法等国）规定以“·”作乘号。其他国家则以“×”作乘号，“·”为小数点。而我国则规定以“×”或“·”作乘号都可，一般用于字母或括号前的乘号可略去。
]
（教师请学生根据上述规定重新说说a×4、x×4可以怎么简写，并根据学生回答相机板书a×4=4·a=4a。x×4=4x。）
师：a×4可以看成表示4个a，你觉得哪种写法看起来更简洁？
生：4a和a×4都表示4个a，但是4a看起来更简洁。
2.介绍a×1的简写
师：a×1该怎样简写呢？
生：a×1=a。
师：为什么等于a？
生：任何数乘1得原数。
师：开始我们写的a×3该怎么简写呢？
（教师请学生在作业纸上写一写。）
3.教学字母乘字母的简写
（1）教学a×a的简写。
师：如果正方形的边长是a，那么它的面积是多少？
生：a×a。
师：后来又有数学家把几个相同字母连乘时，进行简写。比如a×a写成a2，表示两个a连乘，读作a的平方。 （学生读a2，并说说书写时要注意些什么。）
师：a2表示什么？b×b怎么简寫？c2等于什么呢？
学生先在作业纸上写一写，再在全班交流，教师相机引导学生比较a2与2a的区别。
（2）教学a×b的简写。
师：如果长方形的长和宽分别是a和b，它的面积怎么表示？
生：S=a×b=ab。
……
【赏析】教学代数史的简写时，教师通常让学生自学课本或者教师直接讲授。本教学片段中教师通过复习梳理学过的平面图形面积公式，引出并串联起含有字母的乘法式子的简写。采用链接式的方式直接出示相关的数学史料，让学生明白数学规定的由来，不仅知道怎么简写，而且知道为什么这样简写，知道数学规定也是有趣的、讲道理的，并非不讲理的强制性规定。对于a×1的简写和加号、减号、除号的不可省略，则是为了启发学生自己悟出其中的道理。
【片段3】以史为鉴，渗透代数思想
师（课件出示5本字典）：如果用a表示字典的（ ），那么5a表示（ ）。
生1：如果a表示一本字典的价钱，5a就表示5本字典的总价。
生2：如果a表示一本字典的厚度，那么5a就表示5本字典的总厚度。
生3：如果a表示一本字典的总量，那么5a就表示5本字典的总量。
生4：如果a表示一本字典的页数，那么5a就表示5本字典的总页数。
生5：如果a表示一本字典的字数，那么5a就表示5本字典的总字数。
师：刚才我们围绕这本字典说了a和5a表示的意义。我们还能用a和5a表示其他事物的意义吗？我们还能继续像这样说下去吗？
生：如果a表示一个工作日工作的时间，那么5a表示5个工作日工作的总时间。
……
师：a与5a多神奇啊！
【赏析】从古希腊丢番图所代表的缩写代数时代，发展到韦达所代表的符号代数时代，经历了1 200多年。丢番图用字母解方程，往往一题一种解法，无共性规律可循。韦达被称为现代代数学之父，是因为韦达用字母表示数，目的是揭示“类”题的规律，具有高度的概括性，解题方法具有一般性。本教学片段的教学目的就是渗透数学发展史所呈现的代数思想，让学生回顾用字母表示运算律和公式，主要是让学生体悟字母不仅可以运算而且可以推理，字母表达式子具有概括性、间接性，所得到的结论更具一般性。
启发学生对“a”和“5a”这两个符号进行多种现实意义的解读，使得a和5a能表示不同类的量具有多种意义，使得现实情境符号化的过程更加简洁和概括，这样有利于增强学生的数学表达和数学思维的迁移性、变通性和灵活性。
数学课堂不仅要传授知识和技能，还要育人，提升人的学科素养，其重要的途径就是渗透数学思想。本课所渗透的代数思想，无疑是从代数发展史而来。重点让学生体会：数只能表示一种情况，而字母能代表一类情况；字母不仅能表示未知数，而且能表示不确定的已知数（变量）。用字母表示不确定的数，是因为字母表达式具有高度的概括性，更有利于我们去发现规律、表示规律，从而完成从“确定”到“不确定”、从“个”到“类”、从“术”到“道”、从“算术”思维到“代数”的跨越。