论文部分内容阅读
数学解题，应追求合理的解法，而合理的解法应当是自然简单的，或者说数学解题应该追求顺其自然，追求简洁，明快，抓住问题的本质，学生要从已有的认知能力角度去思考并解决问题，这才是数学学习的宗旨所在.尽管有的数学问题的解答,给人启迪,耐人寻味,引人入胜,颇有创意，但解答过程曲折迂回,过度繁琐,不够自然.当然,我们换一个角度看,也许是件好事,它能引起读者的思考,去研究更简单,更自然的解题方法,因为这是我们共同追求的目标.
下面就以一道一次函数与反比例函数相结合的题，就是这么一道简单题，有很多东西需要挖掘，带给我们的解答并不是很简单，看起来好似小题大作，有简单问题复杂化之嫌，其实并不然，倒是丰富了解题策略，创新了解法，能给人耳目一新之感.
图1题目：如图1所示，一次函数y=kx-2(k＞0)与双曲线y=kx在第一象限内的交点为R,与x轴、y轴的交点分别为P,Q，过点R作RM⊥x轴于M点，若△OPQ与△MPR的面积相等，则k的值等于多少?
一、从几何模型入手
1.挖掘题中的隐含条件
解析:要解决此问题,就得先求出R点的坐标，要求出R点坐标，很自然地要用到一次函数y=kx-2(k＞0)与双曲线y=kx 及△OPQ与△MPR面积相等的条件.在这里△OPQ与△MPR相似是无疑的，又△OPQ与△PRM的面积相等，在这里就需要用到一个重要的结论：“相似且面积相等的两个三角形全等”. 这个真命题很重要，在特定的数学情境中，它起着其他定理不可代替的作用.
由上面的结论可知，△OPQ≌△MPR，所以OQ=MR=2，OP=MP=2k，则OM=4k，R点的坐标为（4k，2），将（4k，2）代入双曲线y=kx中，得k=±22，因为k＞0，所以k=22.
点评:从这道题的简答来看，△OPQ≌△MPR这是题中的隐含条件，要善于挖掘，有了这个结论，使试题的解答难度大大降低.假若不利用△OPQ≌△MPR，凭借已知条件，也能求出k值，但比较麻烦.这种类型的题大多出现在一次函数与反比例函数的应用中，有一定的局限性，特殊问题特殊解法，今后遇到此类问题，可采用上面类似的方法解决.
2.从三角形相似出发，结合面积相等，进而求解
解析:显然△OPQ∽△MPR，
所以OPPM=OQRM,即OP•RM=PM•OQ ①
又S△OPQ=S△MPR，得 OP•OQ=PM•RM ②
①÷②式得RM2=OQ2，即RM=OQ.
由y=kx-2与y轴相交得：Q（0,2），即OQ=2，所以RM=OQ=2 ③
由①、③得OP=PM,即P为OM的中点.由y=kx-2与x轴相交得：P（2k,0），即OP=2k.
因为RM=2，又R点在y=kx上，所以R(k2，2)，则M(k2，0).
因为2OP=OM, 所以k2=8,k=±22.
又k＞0，所以k=22.
点评：与前种解法有共同之处，善于抓住题中三角形相似这一隐含条件，利用相似三角形对应边成比例及题设条件两三角形面积相等等有关知识推出P为OM的中点.从题目本质入手，根据函数上点的坐标意义与几何的有关知识的结合使问题得以解决.
二、从代数模型入手
1.联立解方程组，再利用面积相等求解
略解如下：联立一次函数和双曲线的解析式，求得R点的坐标为：（1+1+k2k，1+k2-1），由一次函数y=kx-2(k＞0)求得：Q（0，-2）,P(2k,0),所以OQ=2，OP=2k，RM=1+k2-1，PM=1+1+k2k-2k=1+k2-1k.根据△OPQ与△MPR的面积相等，得：2×2k=1+k2-1k×(1+k2-1)，令1+k2=a，则有a2-2a-3=0,解得a=3（负的已舍），所以1+k2=3，因此k=22.
点评:联立解方程组，加之又用换元法解无理方程是有些麻烦，有些知识和方法学生可能没有接触过，不易掌握，但解法都不失一般性，有创新的成分.
2.设参数
解析:本题的着眼点在R点坐标，通过△OPQ与△MPR的面积相等这个已知条件建立方程求解，其本质是通过函数思想、形数转换把问题转化为求方程或方程组的解.因为R在直线y=kx-2(k＞0)，设R（a,ak-2）(ak-2﹥0,R在第一象限)，由一次函数y=kx-2(k＞0)求得：Q（0，-2）,P(2k,0),则OQ=2，OP=2k，OM=a,RM=ak-2，PM=a-2k，由△OPQ与△MPR的面积相等，得12×2×2k=12× （a-2k）×(ak-2)，整理得：（ak-2）2=4，化简得ak=4 ① 又R（a,ak-2）在双曲线y=kx上，所以a(ak-2)=k ②， 由①②得;2a=k,k2=8,所以k=22 (负值舍去).
点评:在函数与几何综合题中，数形结合是很重要的数学思想方法，是解题的关键，从题目本质入手，根据函数上点的坐标意义与几何的有关知识，抽象成代数模型，转化为方程或方程组，然后再求解方程，这是常规思路，是通法.
一个简单的小问题，却引出了大智慧，看似小题大作，倒是解法创新，丰富了解题策略，便于资源共享，扩大信息交流，一题多解，各具风格.
下面就以一道一次函数与反比例函数相结合的题，就是这么一道简单题，有很多东西需要挖掘，带给我们的解答并不是很简单，看起来好似小题大作，有简单问题复杂化之嫌，其实并不然，倒是丰富了解题策略，创新了解法，能给人耳目一新之感.
图1题目：如图1所示，一次函数y=kx-2(k＞0)与双曲线y=kx在第一象限内的交点为R,与x轴、y轴的交点分别为P,Q，过点R作RM⊥x轴于M点，若△OPQ与△MPR的面积相等，则k的值等于多少?
一、从几何模型入手
1.挖掘题中的隐含条件
解析:要解决此问题,就得先求出R点的坐标，要求出R点坐标，很自然地要用到一次函数y=kx-2(k＞0)与双曲线y=kx 及△OPQ与△MPR面积相等的条件.在这里△OPQ与△MPR相似是无疑的，又△OPQ与△PRM的面积相等，在这里就需要用到一个重要的结论：“相似且面积相等的两个三角形全等”. 这个真命题很重要，在特定的数学情境中，它起着其他定理不可代替的作用.
由上面的结论可知，△OPQ≌△MPR，所以OQ=MR=2，OP=MP=2k，则OM=4k，R点的坐标为（4k，2），将（4k，2）代入双曲线y=kx中，得k=±22，因为k＞0，所以k=22.
点评:从这道题的简答来看，△OPQ≌△MPR这是题中的隐含条件，要善于挖掘，有了这个结论，使试题的解答难度大大降低.假若不利用△OPQ≌△MPR，凭借已知条件，也能求出k值，但比较麻烦.这种类型的题大多出现在一次函数与反比例函数的应用中，有一定的局限性，特殊问题特殊解法，今后遇到此类问题，可采用上面类似的方法解决.
2.从三角形相似出发，结合面积相等，进而求解
解析:显然△OPQ∽△MPR，
所以OPPM=OQRM,即OP•RM=PM•OQ ①
又S△OPQ=S△MPR，得 OP•OQ=PM•RM ②
①÷②式得RM2=OQ2，即RM=OQ.
由y=kx-2与y轴相交得：Q（0,2），即OQ=2，所以RM=OQ=2 ③
由①、③得OP=PM,即P为OM的中点.由y=kx-2与x轴相交得：P（2k,0），即OP=2k.
因为RM=2，又R点在y=kx上，所以R(k2，2)，则M(k2，0).
因为2OP=OM, 所以k2=8,k=±22.
又k＞0，所以k=22.
点评：与前种解法有共同之处，善于抓住题中三角形相似这一隐含条件，利用相似三角形对应边成比例及题设条件两三角形面积相等等有关知识推出P为OM的中点.从题目本质入手，根据函数上点的坐标意义与几何的有关知识的结合使问题得以解决.
二、从代数模型入手
1.联立解方程组，再利用面积相等求解
略解如下：联立一次函数和双曲线的解析式，求得R点的坐标为：（1+1+k2k，1+k2-1），由一次函数y=kx-2(k＞0)求得：Q（0，-2）,P(2k,0),所以OQ=2，OP=2k，RM=1+k2-1，PM=1+1+k2k-2k=1+k2-1k.根据△OPQ与△MPR的面积相等，得：2×2k=1+k2-1k×(1+k2-1)，令1+k2=a，则有a2-2a-3=0,解得a=3（负的已舍），所以1+k2=3，因此k=22.
点评:联立解方程组，加之又用换元法解无理方程是有些麻烦，有些知识和方法学生可能没有接触过，不易掌握，但解法都不失一般性，有创新的成分.
2.设参数
解析:本题的着眼点在R点坐标，通过△OPQ与△MPR的面积相等这个已知条件建立方程求解，其本质是通过函数思想、形数转换把问题转化为求方程或方程组的解.因为R在直线y=kx-2(k＞0)，设R（a,ak-2）(ak-2﹥0,R在第一象限)，由一次函数y=kx-2(k＞0)求得：Q（0，-2）,P(2k,0),则OQ=2，OP=2k，OM=a,RM=ak-2，PM=a-2k，由△OPQ与△MPR的面积相等，得12×2×2k=12× （a-2k）×(ak-2)，整理得：（ak-2）2=4，化简得ak=4 ① 又R（a,ak-2）在双曲线y=kx上，所以a(ak-2)=k ②， 由①②得;2a=k,k2=8,所以k=22 (负值舍去).
点评:在函数与几何综合题中，数形结合是很重要的数学思想方法，是解题的关键，从题目本质入手，根据函数上点的坐标意义与几何的有关知识，抽象成代数模型，转化为方程或方程组，然后再求解方程，这是常规思路，是通法.
一个简单的小问题，却引出了大智慧，看似小题大作，倒是解法创新，丰富了解题策略，便于资源共享，扩大信息交流，一题多解，各具风格.