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【摘 要】数学教育家弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确的方法是实现‘再创造’”。笔者以《圆的面积》的课堂教学的实践为例，让学生从操作验证走向推理验证经历数学的“再创造”从三方面阐述：建构基于经验，教师关注学生的活动经验；方法重于结论，要关注学生学习方法的形成；思维源于挑战，要激活学生的思维。
【关键词】小学数学 圆面积 操作验证 推理验证 数学的“再创造”
一、前言
《数学课程标准》指出：“学生学习应当是个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索与合作交流都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。在教学的实践中，我深深地体会到教学不仅仅是告诉，更需要经历。数学教育家弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确的方法是实现‘再创造’”。让学生经历数学的“再创造” ，顺应了儿童的思维发展规律，满足了儿童的心理需求。教育家苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是探索者、发现者、研究者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”数学学习的内容有利于学生体验、思考、探索和方法的获得，有利于学生实现知识的建构。笔者以《圆的面积》课堂教学实践为例，让学生从操作验证走向推理验证经历数学的“再创造”的实践活动，引发了自己对数学教学的思考。
二、教学实践
（一）创设问题情境
1. 谈话引入，提出问题
小羊在最大范围内走一圈，这一圈有多长？这一圈的长指什么？小羊能吃到草的最大范围有多大？小羊能吃到草的最大范围指什么？
2. 引发认知冲突，引出课题
教师通过“以旧引新”，从圆的周长引出圆的面积。出示课题，什么是圆的面积？通过涂一涂来感知圆的面积。
[思考]：在新课引入上，笔者通过创设小羊吃草的生活情境。以小羊在最大的范围内走一圈形成的圆，小羊走动一圈的长就是圆的周长，小羊能吃到草的范围就是圆的面积。通过两个问题的对比，勾起学生对已有的知识经验的回忆，又引发学生认知上的冲突。学生面对充满好奇的数学问题时，能激起学生思维的涟漪，调动学生已有的数学知识与活动经验和已有的思维策略，这样学生就容易更多地、自如地提出自己的想法，激发学生探究新知的欲望。
（二）活动操作，验证猜想
1. 猜想圆的面积与什么有关？
圆的周长与（）有关，它们有什么关系？那么圆的面积与（）有关，理由什么？
提供数学材料，引导学生思考从下面的图中你想到什么？
通过教师的引导和学生观察思考，让学生得到猜想：圆的面积是在它的半径的平方2倍至4倍之间。
2. 用数方格法进行实验验证，让学生感知圆面积是它半径平方的3倍多一点
（1）出示在方格纸上画出半径分别是3cm、4cm、5cm的三个圆，让学生用数方格法测出三个圆的面积。（每个方格1平方厘米）
（2）对学生实验验证在操作上进行指导，通过填一填明确操作步骤。（不满整格可以凑成整格）
半径=（）厘米 正方形的面积=（）平方厘米个圆的面积≈（）平方厘米圆的面积≈（）平方厘米。算一算：圆的面积大约是正方形面积的（ ）倍。
（3）把实验结果填入实验记录单（见样表），通过交流归纳揭示规律。
圆的半径 正方形的面积 圆的面积 圆的面积大约是正方形面积的几倍
从表格的实验结果你能发现什么？与学生进行反馈交流，从中发现什么规律吗？
[思考]：从问题引入到学生大胆猜想，告诉学生：“科学上的任何一项发明与创造往往从猜想开始”。教师做好学生探究的引路人，为学生提供可探究结构性数学材料。从学习的材料上展开思维，学生通过观察、比较、分析等思维活动。从数学材料进行猜想，提出的猜想是否正确需要验证，经过验证得出的正确结论，它才可以推广和应用。猜想的验证可从直观的操作验证开始，通过数方格知道方格中不同大小的圆实际面积，来感知圆面积的大小，丰富学生头脑中圆面积的表象，形成圆面积的空间观念。在学生探究的关键处与困惑处，教师要为学生搭建探究问题的“手脚架”，提供数学材料有助于学生展开思维和操作验证，通过实验得到数据要进行观察、比较、分析、归纳，让学生去发现规律。
3. 通过推理验证猜想，推导圆的面积计算公式
（1）通过实验验证了猜想。为了能清楚理解圆面积与半径的关系，还能用什么方法来进行验证猜想？
（2）在解决新问题时，我们常常把未知问题转化成已知问题进行探索。想一想我们学习的圆面积能否转化成前面学过的图形面积来进行探索？
（3）学生提出把圆的面积转化成已学过的长方形面积，来探究圆的面积与半径之间的关系。
先让学生从学具袋中拿出分成8等份和16等份同圆分别去拼成长方形，观察后你们能发现什么？
再请电脑老师进行演示实验，它将同圆依次分成32等份、64等份、128等份……用类似的方法拼，观察拼成的图形与前面的长方形有哪些变化？
又让学生展开想象，如果电脑老师把这个圆不断地等分下去，分成256等份、512等份……最后拼成的图形上下两条边会怎样？
（4）探索拼成的长方形与原来的圆有什么联系？然后归纳圆的面积计算公式。
（5）刚才我们把圆的面积转化成长方形的面积来推导出它的面积计算公式，同学们可以在课外拓展活动中去探究把圆分割去拼成三角形与梯形，从新的途径去推导圆面积计算方法。
[思考]：操作验证走向推理验证从现象深入本质。剪拼是手段，推理是关键。从剪拼的操作走向推理的验证，学生在操作中感知留下表象，让学生想象与思维加深学生“圆面积”的空间观念，让学生在经历“剪拼”的过程中体会了“转化”的数学思想。通过剪拼、电脑演示与学生想象。学生体会了“极限逼近”的数学思想，让学生利用长方形的面积推导出圆的面积公式，让学生既进行实践操作又进行思辨探究，符合小学生的认知水平，也兼顾了对学生思维能力的培养。教师教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。教师通过一种方法的引导，学生从中得到启迪，能积极地从多角度去剪拼图形来推理验证圆的面积与半径的关系，使学生思维更深入、表象更丰富、体验更深刻，有利于学生新知识的建构。
三、教学实践后的思考
数学家华罗庚说：“数学的难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来”。学生学习数学的本质是经历数学的“再创造”， 在这过程中，矛盾冲突的引入，激起思维的碰撞，闪现创新的火花，迸发出课堂的生命活力。课堂的生命活力来自于对问题的好奇，来自于大胆的猜想，来自于不同观点的碰撞、争辩、启迪、认同。经历这样的感悟、体验才能得到能力的锤炼、智慧的升华。从《圆的面积》的课堂教学实践中，让学生经历数学的“再创造”，给了自己三点思考：
（一）建构基于经验——在数学“再创造”中要关注学生的活动经验
学生在学习新知以前，总有他原先的知识结构和经验结构。在这种结构中存在着与新知识、新技能相似或相近的旧知与活动经验，这些旧知或活动经验是新知获得的“固着点”。围绕“固着点”进行一系列的思维操作——观察、比较、猜想、验证、推理、概括、具体化等，使新旧知识相互作用，经验上升为数学知识，最终形成新的认知结构，这样新知纳入了原有的知识经验系统或因原有系统的重构而获得新的意义。
学生在探究圆的面积活动前经历了圆的周长探究活动，学生经历了“观察、猜想、操作、验证、推理、概括”的探究过程：让学生在观察中提出猜想；在操作中验证猜想；在思考中发现规律；在交流中概括规律；在实践中应用规律。圆的周长的知识经验与活动经验的获得是学习圆面积新知识获得的“固着点”，在圆面积的探究活动中围绕这一“固着点”进行一系列的教学活动。
（二）方法重于结论——在数学“再创造”中要关注学生学习方法的形成
在教学实践中，让学生主动从事观察、比较、猜想、操作、验证、推理、归纳、概括等探索性与发现性的思维活动，在自主探索过程中掌握知识、技能、数学思想和方法，充分的数学活动，学生对方法的体验是深刻的。从操作验证走向推理验证是探究问题的一般方法，它从现象深入本质。揭示知识的规律性。数学家路莎·彼得说：“数学家往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，甚至把它转化为已经得到解决的问题”。通过学生剪拼操作、电脑的演示操作和学生想象等活动，让学生体会“极限逼近”“转化”“对应”的数学思想，使学生思维更深入、表象更丰富、体验更深刻，越有利于学生新知识的内化和建构。
（三）思维源于挑战——在数学“再创造”中要关注学生思维的激活
数学是思维的体操，要使数学教学成为思维活动的教学，就要为这种活动创造良好的条件。思维能力的培养主要是靠启迪，而不是靠传授。本节课教师没有将结论传授给学生，没有向学生直接解释清楚，而是让学生通过回忆已有知识和经验，对提出问题进行猜想；对学生的猜想不作评判，而要求学生思考用什么方法来验证猜想，当学生提出验证方法时，教师又作适当指导；最后启发学生用已掌握的数学知识做出推理，推出结论。在这一系列的活动中，学生的思维始终处于被激活、被挑战的状态。
在《数学课程标准》的引领下，让我体会到数学教学不仅关注的是知识的结果，更关注学生经历数学的“再创造”。也许我无法把学生送到知识的彼岸，但我可以送他们一叶小舟，让他们在知识的海洋中自由地遨游；也许我无法送学生到达知识的顶峰，但我可指给他们前行的方向，让他们在通往知识的道路上勇于攀登；也许我无法送给学生智慧，但我可以教给他们学习的方法，用手中的钥匙去开启智慧的大门……
【参考文献】
［1］小学数学教师：丛刊. 上海教育出版社，2010（7-8）.
［2］成尚荣. 学会数学地思维. 江苏教育出版社.
［3］义务教育数学课程标准. 北京师范大学出版社. 教育部制定，2011.
［4］周玉仁. 小学数学教学论. 中国人民大学出版社.
【关键词】小学数学 圆面积 操作验证 推理验证 数学的“再创造”
一、前言
《数学课程标准》指出：“学生学习应当是个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索与合作交流都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。在教学的实践中，我深深地体会到教学不仅仅是告诉，更需要经历。数学教育家弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确的方法是实现‘再创造’”。让学生经历数学的“再创造” ，顺应了儿童的思维发展规律，满足了儿童的心理需求。教育家苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是探索者、发现者、研究者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”数学学习的内容有利于学生体验、思考、探索和方法的获得，有利于学生实现知识的建构。笔者以《圆的面积》课堂教学实践为例，让学生从操作验证走向推理验证经历数学的“再创造”的实践活动，引发了自己对数学教学的思考。
二、教学实践
（一）创设问题情境
1. 谈话引入，提出问题
小羊在最大范围内走一圈，这一圈有多长？这一圈的长指什么？小羊能吃到草的最大范围有多大？小羊能吃到草的最大范围指什么？
2. 引发认知冲突，引出课题
教师通过“以旧引新”，从圆的周长引出圆的面积。出示课题，什么是圆的面积？通过涂一涂来感知圆的面积。
[思考]：在新课引入上，笔者通过创设小羊吃草的生活情境。以小羊在最大的范围内走一圈形成的圆，小羊走动一圈的长就是圆的周长，小羊能吃到草的范围就是圆的面积。通过两个问题的对比，勾起学生对已有的知识经验的回忆，又引发学生认知上的冲突。学生面对充满好奇的数学问题时，能激起学生思维的涟漪，调动学生已有的数学知识与活动经验和已有的思维策略，这样学生就容易更多地、自如地提出自己的想法，激发学生探究新知的欲望。
（二）活动操作，验证猜想
1. 猜想圆的面积与什么有关？
圆的周长与（）有关，它们有什么关系？那么圆的面积与（）有关，理由什么？
提供数学材料，引导学生思考从下面的图中你想到什么？
通过教师的引导和学生观察思考，让学生得到猜想：圆的面积是在它的半径的平方2倍至4倍之间。
2. 用数方格法进行实验验证，让学生感知圆面积是它半径平方的3倍多一点
（1）出示在方格纸上画出半径分别是3cm、4cm、5cm的三个圆，让学生用数方格法测出三个圆的面积。（每个方格1平方厘米）
（2）对学生实验验证在操作上进行指导，通过填一填明确操作步骤。（不满整格可以凑成整格）
半径=（）厘米 正方形的面积=（）平方厘米个圆的面积≈（）平方厘米圆的面积≈（）平方厘米。算一算：圆的面积大约是正方形面积的（ ）倍。
（3）把实验结果填入实验记录单（见样表），通过交流归纳揭示规律。
圆的半径 正方形的面积 圆的面积 圆的面积大约是正方形面积的几倍
从表格的实验结果你能发现什么？与学生进行反馈交流，从中发现什么规律吗？
[思考]：从问题引入到学生大胆猜想，告诉学生：“科学上的任何一项发明与创造往往从猜想开始”。教师做好学生探究的引路人，为学生提供可探究结构性数学材料。从学习的材料上展开思维，学生通过观察、比较、分析等思维活动。从数学材料进行猜想，提出的猜想是否正确需要验证，经过验证得出的正确结论，它才可以推广和应用。猜想的验证可从直观的操作验证开始，通过数方格知道方格中不同大小的圆实际面积，来感知圆面积的大小，丰富学生头脑中圆面积的表象，形成圆面积的空间观念。在学生探究的关键处与困惑处，教师要为学生搭建探究问题的“手脚架”，提供数学材料有助于学生展开思维和操作验证，通过实验得到数据要进行观察、比较、分析、归纳，让学生去发现规律。
3. 通过推理验证猜想，推导圆的面积计算公式
（1）通过实验验证了猜想。为了能清楚理解圆面积与半径的关系，还能用什么方法来进行验证猜想？
（2）在解决新问题时，我们常常把未知问题转化成已知问题进行探索。想一想我们学习的圆面积能否转化成前面学过的图形面积来进行探索？
（3）学生提出把圆的面积转化成已学过的长方形面积，来探究圆的面积与半径之间的关系。
先让学生从学具袋中拿出分成8等份和16等份同圆分别去拼成长方形，观察后你们能发现什么？
再请电脑老师进行演示实验，它将同圆依次分成32等份、64等份、128等份……用类似的方法拼，观察拼成的图形与前面的长方形有哪些变化？
又让学生展开想象，如果电脑老师把这个圆不断地等分下去，分成256等份、512等份……最后拼成的图形上下两条边会怎样？
（4）探索拼成的长方形与原来的圆有什么联系？然后归纳圆的面积计算公式。
（5）刚才我们把圆的面积转化成长方形的面积来推导出它的面积计算公式，同学们可以在课外拓展活动中去探究把圆分割去拼成三角形与梯形，从新的途径去推导圆面积计算方法。
[思考]：操作验证走向推理验证从现象深入本质。剪拼是手段，推理是关键。从剪拼的操作走向推理的验证，学生在操作中感知留下表象，让学生想象与思维加深学生“圆面积”的空间观念，让学生在经历“剪拼”的过程中体会了“转化”的数学思想。通过剪拼、电脑演示与学生想象。学生体会了“极限逼近”的数学思想，让学生利用长方形的面积推导出圆的面积公式，让学生既进行实践操作又进行思辨探究，符合小学生的认知水平，也兼顾了对学生思维能力的培养。教师教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。教师通过一种方法的引导，学生从中得到启迪，能积极地从多角度去剪拼图形来推理验证圆的面积与半径的关系，使学生思维更深入、表象更丰富、体验更深刻，有利于学生新知识的建构。
三、教学实践后的思考
数学家华罗庚说：“数学的难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来”。学生学习数学的本质是经历数学的“再创造”， 在这过程中，矛盾冲突的引入，激起思维的碰撞，闪现创新的火花，迸发出课堂的生命活力。课堂的生命活力来自于对问题的好奇，来自于大胆的猜想，来自于不同观点的碰撞、争辩、启迪、认同。经历这样的感悟、体验才能得到能力的锤炼、智慧的升华。从《圆的面积》的课堂教学实践中，让学生经历数学的“再创造”，给了自己三点思考：
（一）建构基于经验——在数学“再创造”中要关注学生的活动经验
学生在学习新知以前，总有他原先的知识结构和经验结构。在这种结构中存在着与新知识、新技能相似或相近的旧知与活动经验，这些旧知或活动经验是新知获得的“固着点”。围绕“固着点”进行一系列的思维操作——观察、比较、猜想、验证、推理、概括、具体化等，使新旧知识相互作用，经验上升为数学知识，最终形成新的认知结构，这样新知纳入了原有的知识经验系统或因原有系统的重构而获得新的意义。
学生在探究圆的面积活动前经历了圆的周长探究活动，学生经历了“观察、猜想、操作、验证、推理、概括”的探究过程：让学生在观察中提出猜想；在操作中验证猜想；在思考中发现规律；在交流中概括规律；在实践中应用规律。圆的周长的知识经验与活动经验的获得是学习圆面积新知识获得的“固着点”，在圆面积的探究活动中围绕这一“固着点”进行一系列的教学活动。
（二）方法重于结论——在数学“再创造”中要关注学生学习方法的形成
在教学实践中，让学生主动从事观察、比较、猜想、操作、验证、推理、归纳、概括等探索性与发现性的思维活动，在自主探索过程中掌握知识、技能、数学思想和方法，充分的数学活动，学生对方法的体验是深刻的。从操作验证走向推理验证是探究问题的一般方法，它从现象深入本质。揭示知识的规律性。数学家路莎·彼得说：“数学家往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，甚至把它转化为已经得到解决的问题”。通过学生剪拼操作、电脑的演示操作和学生想象等活动，让学生体会“极限逼近”“转化”“对应”的数学思想，使学生思维更深入、表象更丰富、体验更深刻，越有利于学生新知识的内化和建构。
（三）思维源于挑战——在数学“再创造”中要关注学生思维的激活
数学是思维的体操，要使数学教学成为思维活动的教学，就要为这种活动创造良好的条件。思维能力的培养主要是靠启迪，而不是靠传授。本节课教师没有将结论传授给学生，没有向学生直接解释清楚，而是让学生通过回忆已有知识和经验，对提出问题进行猜想；对学生的猜想不作评判，而要求学生思考用什么方法来验证猜想，当学生提出验证方法时，教师又作适当指导；最后启发学生用已掌握的数学知识做出推理，推出结论。在这一系列的活动中，学生的思维始终处于被激活、被挑战的状态。
在《数学课程标准》的引领下，让我体会到数学教学不仅关注的是知识的结果，更关注学生经历数学的“再创造”。也许我无法把学生送到知识的彼岸，但我可以送他们一叶小舟，让他们在知识的海洋中自由地遨游；也许我无法送学生到达知识的顶峰，但我可指给他们前行的方向，让他们在通往知识的道路上勇于攀登；也许我无法送给学生智慧，但我可以教给他们学习的方法，用手中的钥匙去开启智慧的大门……
【参考文献】
［1］小学数学教师：丛刊. 上海教育出版社，2010（7-8）.
［2］成尚荣. 学会数学地思维. 江苏教育出版社.
［3］义务教育数学课程标准. 北京师范大学出版社. 教育部制定，2011.
［4］周玉仁. 小学数学教学论. 中国人民大学出版社.