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一、培养学生发散思维的必要性
思维是人脑对客观事物一般特性和规律的一种概括性的、间接的反映过程。思维活动是使我们在学习中能继承人类的知识，并能运用知识来解决学习中的各种问题。离开了思维活动，感性认识就无法实施上升到理性认识，理性认识也无法指导实践活动。
在数学教学中，必须加强思维训练。一个人只要思考问题，就离不开运用一定的思维方法。如果我们教会学生掌握一定的思维方法，让学生有意识地训练自己的思维，对于知识的掌握和运用，往往能起到很大的促进作用。古人云：“授人以鱼，只供一饭之需，授人以渔，则终身受用无穷。”要让学生吃到更多的鱼，最好的方法莫过于教学生学会打鱼。
发散性思维即产生式思维，是整个创造性思维的基础和核心。它追求思维的广阔性，大跨度地进行联想，其量和质直接决定集中性思维取得的结果和要达到的目的。运用发散性思维产生观念、问题、行动、方法、规则、图画、概念、文字。发散性思维能力的培养是新时期素质教育内容的重要一环。
思维发散过程需要张扬知识和想象力，它不拘泥于一点或一条线索，而是从仅有的信息中尽可能扩散开去，不受已经确定的方式、方法、规则或范围等约束，并从这种扩散或者辐射式的思考中，求得多种不同的解决办法，衍生出不同的结果。发散思维包括联想、想象、侧向思维等非逻辑思维形式，思路宽阔，善于分解组合和引申推广，一般认为“发散思维的过程并不是在定好的轨道中产生，而是依据所获得的最低限度的信息，因此是具有创造性的。”发散思维具有三个特征：流畅性、变通性和独创性。加强对学生发散思维的培养，对造就一代开拓创新型人才具有十分重要的意义。在教学过程中强调以学生的发展为宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，变以教师为中心为以学生为中心，突出学生的主体地位，发挥学生的主体能动性，在教学过程中鼓励学生大胆想象，积极思考，主动探索。使学生巩固与深化所学知识，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性和变通性，达到创新能力形成的目的。
二、培养学生发散思维的途径
1.一题多解，鼓励学生求异创新，实现和提高发散思维的流畅性
数学题是无穷的，千变万化，而且同一道数学题的解法也是多种多样的，但也并不是杂乱无序与无规可循的，一道题与一种解法都存在一定的规律，教师就要善于揭示解题规律，在教学中经常性地不失时机地引导学生一题多解，以培养学生的发散思维，提高学生思维的灵活性。
这里解法1与解法2最终都落在求原点到直线x + 2y =1的距离，但思维的角度不同，所用的知识也不同。从而有利于开阔学生的思路，也有利于学生创造性思维的培养。
通过一题多解的训练，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题、习题之间的联系，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。使不同的知识得以综合运用，并能从多种解法的对比中优选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的发散性和创新性增强。
2.一题多变，培养学生灵活应变，实现和提高发散思维的变通性
思维的应变性主要表现为具有超脱出习惯性方法界限的能力，即能根据情况变化及时调整和改变所有的思维过程和方向，不过多地受定势思维的消极影响，它反映了思维的灵活程度，具有思维的灵活性是创造性思维的必要条件，所以必须要培养思维的应变性，实现提高发散思维的变通性
例：由圆x2+y2=4上任意一点向轴作垂线。求垂线夹在圆周和轴间的线段中点的轨迹方程。
分析：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。
上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。
再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+(y－b)2=4上的点到椭圆x2+(2y－b)2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。
对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般。
这样，把习题通过变换条件，变换结论，变换命题等，使之变为更有价值，更有新意的新问题，从而应用更多的知识来解决问题，获得“一题多练”“一题多得”的效果。使学生的思维能力随问题的不断变换，不断解决而得到不断提高，有效地增强思维的敏捷性和应变性，使创新能力得到培养和发展。
3.一题多思，激发学生求知欲望，实现和提高发散思维的独创性
要创造，必须有创造的欲望。心理学的研究表明，创造欲望与创造效果成正比。因此，在数学教学中，要不失时机地激发学生创造的欲望。但欲望起源于需要，需要产生动机，动机激发欲望，欲望导致创造发明。
例如，求关于x的函数y=+的值域。
在教学中引导学生，通过观察，大胆联想，有助于培养学生的想象力。我们在教学中应引导学生从观察已知条件中，产生一系列联想，并从联想的结果中得出由条件推出的结论，再从多个结论中，选择出有用的部分，这样循环往复就会找出一条由条件到结论的通道，然后加以综合整理使问题得到解决。
可见，发散思维的培养和训练，不仅可以使学生解题思路开阔，妙法横生，而且对培养学生的勇于探索新方法，发现新知识，发展创新能力都具有重要意义，是培养创新能力的中心环节。
当然，学生在平时的数学学习中，要勤思善问，注意总结知识规律，增强应用数学的意识，逐步学会用已有的数学知识去探索新的数学问题。要有严谨、一丝不苟的学习态度，遇到学习上困难能不畏惧困难，能从各个角度去知其所以然，通过创设探究情境，促进智力探索，形成创新理念和创造氛围，主动去探求数学真理，培养学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力，从而真正增强创新意识，提高创新能力。让学生在创新中学习，在发现中获取，在成功中升华。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
思维是人脑对客观事物一般特性和规律的一种概括性的、间接的反映过程。思维活动是使我们在学习中能继承人类的知识，并能运用知识来解决学习中的各种问题。离开了思维活动，感性认识就无法实施上升到理性认识，理性认识也无法指导实践活动。
在数学教学中，必须加强思维训练。一个人只要思考问题，就离不开运用一定的思维方法。如果我们教会学生掌握一定的思维方法，让学生有意识地训练自己的思维，对于知识的掌握和运用，往往能起到很大的促进作用。古人云：“授人以鱼，只供一饭之需，授人以渔，则终身受用无穷。”要让学生吃到更多的鱼，最好的方法莫过于教学生学会打鱼。
发散性思维即产生式思维，是整个创造性思维的基础和核心。它追求思维的广阔性，大跨度地进行联想，其量和质直接决定集中性思维取得的结果和要达到的目的。运用发散性思维产生观念、问题、行动、方法、规则、图画、概念、文字。发散性思维能力的培养是新时期素质教育内容的重要一环。
思维发散过程需要张扬知识和想象力，它不拘泥于一点或一条线索，而是从仅有的信息中尽可能扩散开去，不受已经确定的方式、方法、规则或范围等约束，并从这种扩散或者辐射式的思考中，求得多种不同的解决办法，衍生出不同的结果。发散思维包括联想、想象、侧向思维等非逻辑思维形式，思路宽阔，善于分解组合和引申推广，一般认为“发散思维的过程并不是在定好的轨道中产生，而是依据所获得的最低限度的信息，因此是具有创造性的。”发散思维具有三个特征：流畅性、变通性和独创性。加强对学生发散思维的培养，对造就一代开拓创新型人才具有十分重要的意义。在教学过程中强调以学生的发展为宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，变以教师为中心为以学生为中心，突出学生的主体地位，发挥学生的主体能动性，在教学过程中鼓励学生大胆想象，积极思考，主动探索。使学生巩固与深化所学知识，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性和变通性，达到创新能力形成的目的。
二、培养学生发散思维的途径
1.一题多解，鼓励学生求异创新，实现和提高发散思维的流畅性
数学题是无穷的，千变万化，而且同一道数学题的解法也是多种多样的，但也并不是杂乱无序与无规可循的，一道题与一种解法都存在一定的规律，教师就要善于揭示解题规律，在教学中经常性地不失时机地引导学生一题多解，以培养学生的发散思维，提高学生思维的灵活性。
这里解法1与解法2最终都落在求原点到直线x + 2y =1的距离，但思维的角度不同，所用的知识也不同。从而有利于开阔学生的思路，也有利于学生创造性思维的培养。
通过一题多解的训练，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题、习题之间的联系，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。使不同的知识得以综合运用，并能从多种解法的对比中优选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的发散性和创新性增强。
2.一题多变，培养学生灵活应变，实现和提高发散思维的变通性
思维的应变性主要表现为具有超脱出习惯性方法界限的能力，即能根据情况变化及时调整和改变所有的思维过程和方向，不过多地受定势思维的消极影响，它反映了思维的灵活程度，具有思维的灵活性是创造性思维的必要条件，所以必须要培养思维的应变性，实现提高发散思维的变通性
例：由圆x2+y2=4上任意一点向轴作垂线。求垂线夹在圆周和轴间的线段中点的轨迹方程。
分析：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。
上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。
再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+(y－b)2=4上的点到椭圆x2+(2y－b)2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。
对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般。
这样，把习题通过变换条件，变换结论，变换命题等，使之变为更有价值，更有新意的新问题，从而应用更多的知识来解决问题，获得“一题多练”“一题多得”的效果。使学生的思维能力随问题的不断变换，不断解决而得到不断提高，有效地增强思维的敏捷性和应变性，使创新能力得到培养和发展。
3.一题多思，激发学生求知欲望，实现和提高发散思维的独创性
要创造，必须有创造的欲望。心理学的研究表明，创造欲望与创造效果成正比。因此，在数学教学中，要不失时机地激发学生创造的欲望。但欲望起源于需要，需要产生动机，动机激发欲望，欲望导致创造发明。
例如，求关于x的函数y=+的值域。
在教学中引导学生，通过观察，大胆联想，有助于培养学生的想象力。我们在教学中应引导学生从观察已知条件中，产生一系列联想，并从联想的结果中得出由条件推出的结论，再从多个结论中，选择出有用的部分，这样循环往复就会找出一条由条件到结论的通道，然后加以综合整理使问题得到解决。
可见，发散思维的培养和训练，不仅可以使学生解题思路开阔，妙法横生，而且对培养学生的勇于探索新方法，发现新知识，发展创新能力都具有重要意义，是培养创新能力的中心环节。
当然，学生在平时的数学学习中，要勤思善问，注意总结知识规律，增强应用数学的意识，逐步学会用已有的数学知识去探索新的数学问题。要有严谨、一丝不苟的学习态度，遇到学习上困难能不畏惧困难，能从各个角度去知其所以然，通过创设探究情境，促进智力探索，形成创新理念和创造氛围，主动去探求数学真理，培养学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力，从而真正增强创新意识，提高创新能力。让学生在创新中学习，在发现中获取，在成功中升华。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。