论文部分内容阅读
为了使同学们更好地了解三角形在中考中的考查要点、呈现形式，并能做到规范答题，减少失分，现撷取2017年中考中两道与三角形相关的解答题，分析解题思路，规范解题过程，提示得分要点.希望能对同学们有所帮助.
例1 （2017·福建）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D.求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图1
【思路分析】按作图方法作出∠ABC的平分线，根据“等角的余角相等”得到∠BPD=∠AQP，再將∠BPD转化为其对顶角∠APQ，得到∠APQ=∠AQP，从而证得AP=AQ.
【规范解答】作图2如下，BQ就是所要求作的∠ABC的平分线，P、Q就是所要求作的点.
图2
证明：∵∠BAC=90°，∴∠AQP ∠ABQ=90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠BPD ∠PBD=90°.
∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP.
∵∠APQ=∠BPD，∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ.
【踩点提示】本题涉及基本尺规作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，着重考查对基础知识与基本技能的掌握.作图时，需做到作图痕迹清晰可见，相交两弧要尽量避开图中已有线段，还应注意的是虽然题目不要求写作法，但作图后对所作图形的说明还是必要的，这一点很多同学往往会忽视.此外，本题的证明并不复杂，解答时应做到严谨规范，步步有据，不能随意地省略.
例2 （2017·北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.
图3
【思路分析】（1）由“∠ACB=90°，QH⊥AP”知∠PAC、∠Q都与∠APC互余，故∠Q=∠PAC=α，由“等腰直角△ABC”知∠B=45°，根据“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可得∠AMQ=∠B ∠Q=45° α.
（2）连接AQ，由AC垂直平分PQ可知AQ=AP，利用等腰三角形三线合一的性质得∠QAC=∠PAC=α，结合（1）的结论，可知∠QAM=45° α=∠AMQ，故有AQ=QM=AP.作MN⊥QB于点N，可证得Rt△QMN≌Rt△APC，故MN=PC=[12PQ]，由于△MNB是等腰直角三角形，所以MB=[2MN]=[22PQ].
【规范解答】（1）解：∵∠ACB=90°，QH⊥AP，
∴∠PAC ∠APC=∠Q ∠APC=90°，
∴∠Q=∠PAC=α.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠B=45°.
∴∠AMQ=∠B ∠Q=45° α.
图4
（2）线段MB与PQ之间的数量关系为：MB=[22PQ].
理由如下：
如图4，连接AQ，作MN⊥QB，垂足为N.
∵∠ACB=90°，CQ=CP，∴AQ=AP，
∴∠QAC=∠PAC=α.
∵∠CAB=45°，
∴∠QAM= ∠CAB ∠QAC =45° α.
由（1）知，∠AMQ=45° α，∠MQB=∠PAC，
∴∠QAM=∠AMQ，
∴AQ=QM=AP.
在△QMN和△APC中，
[∠QNM=∠ACP=90°，∠MQB=∠PAC，QM=AP，]
∴△QMN≌△APC（AAS），
∴MN=PC=[12PQ].
∵∠MNB=90°，∠B=45°，
∴△MNB为等腰直角三角形，
∴MB=[2MN]=[22PQ].
【踩点提示】本题是一道综合性较强的解答题，涉及等腰三角形、直角三角形、全等三角形的性质与判定等多个知识点，考查综合运用知识的能力，发现、提出问题以及分析、解决问题的能力.本题设置了两个小问题，第（1）题较为简单，它的设置其实是为解决第（2）题提供了台阶与抓手，这也是很多综合题常见的命题方法，解题时应予以充分的重视.第（2）题的要求是先“表示”，后“证明”，不少同学在答题时习惯直接推导出结论，从而造成失分，需引起注意.此外，在证明全等三角形时，我们提倡用大括号按顺序列出三个条件的做法，这样做不仅显得条理清晰，而且便于阅卷老师批阅.
学会反思是学力提升的重要手段，做完本题后，我们还可以进一步思考：若点P在线段BC的延长线或反向延长线上，问题该如何解决呢？感兴趣的同学不妨试一试.
（作者单位：江苏省兴化市沙沟中学）
例1 （2017·福建）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D.求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图1
【思路分析】按作图方法作出∠ABC的平分线，根据“等角的余角相等”得到∠BPD=∠AQP，再將∠BPD转化为其对顶角∠APQ，得到∠APQ=∠AQP，从而证得AP=AQ.
【规范解答】作图2如下，BQ就是所要求作的∠ABC的平分线，P、Q就是所要求作的点.
图2
证明：∵∠BAC=90°，∴∠AQP ∠ABQ=90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠BPD ∠PBD=90°.
∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP.
∵∠APQ=∠BPD，∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ.
【踩点提示】本题涉及基本尺规作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，着重考查对基础知识与基本技能的掌握.作图时，需做到作图痕迹清晰可见，相交两弧要尽量避开图中已有线段，还应注意的是虽然题目不要求写作法，但作图后对所作图形的说明还是必要的，这一点很多同学往往会忽视.此外，本题的证明并不复杂，解答时应做到严谨规范，步步有据，不能随意地省略.
例2 （2017·北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.
图3
【思路分析】（1）由“∠ACB=90°，QH⊥AP”知∠PAC、∠Q都与∠APC互余，故∠Q=∠PAC=α，由“等腰直角△ABC”知∠B=45°，根据“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可得∠AMQ=∠B ∠Q=45° α.
（2）连接AQ，由AC垂直平分PQ可知AQ=AP，利用等腰三角形三线合一的性质得∠QAC=∠PAC=α，结合（1）的结论，可知∠QAM=45° α=∠AMQ，故有AQ=QM=AP.作MN⊥QB于点N，可证得Rt△QMN≌Rt△APC，故MN=PC=[12PQ]，由于△MNB是等腰直角三角形，所以MB=[2MN]=[22PQ].
【规范解答】（1）解：∵∠ACB=90°，QH⊥AP，
∴∠PAC ∠APC=∠Q ∠APC=90°，
∴∠Q=∠PAC=α.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠B=45°.
∴∠AMQ=∠B ∠Q=45° α.
图4
（2）线段MB与PQ之间的数量关系为：MB=[22PQ].
理由如下：
如图4，连接AQ，作MN⊥QB，垂足为N.
∵∠ACB=90°，CQ=CP，∴AQ=AP，
∴∠QAC=∠PAC=α.
∵∠CAB=45°，
∴∠QAM= ∠CAB ∠QAC =45° α.
由（1）知，∠AMQ=45° α，∠MQB=∠PAC，
∴∠QAM=∠AMQ，
∴AQ=QM=AP.
在△QMN和△APC中，
[∠QNM=∠ACP=90°，∠MQB=∠PAC，QM=AP，]
∴△QMN≌△APC（AAS），
∴MN=PC=[12PQ].
∵∠MNB=90°，∠B=45°，
∴△MNB为等腰直角三角形，
∴MB=[2MN]=[22PQ].
【踩点提示】本题是一道综合性较强的解答题，涉及等腰三角形、直角三角形、全等三角形的性质与判定等多个知识点，考查综合运用知识的能力，发现、提出问题以及分析、解决问题的能力.本题设置了两个小问题，第（1）题较为简单，它的设置其实是为解决第（2）题提供了台阶与抓手，这也是很多综合题常见的命题方法，解题时应予以充分的重视.第（2）题的要求是先“表示”，后“证明”，不少同学在答题时习惯直接推导出结论，从而造成失分，需引起注意.此外，在证明全等三角形时，我们提倡用大括号按顺序列出三个条件的做法，这样做不仅显得条理清晰，而且便于阅卷老师批阅.
学会反思是学力提升的重要手段，做完本题后，我们还可以进一步思考：若点P在线段BC的延长线或反向延长线上，问题该如何解决呢？感兴趣的同学不妨试一试.
（作者单位：江苏省兴化市沙沟中学）