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锐角三角函数及其解法在2009年重点省市中考数学试卷中的考点分布情况统计如下:
下面就三角函数问题的考点和解决方法进行解析,希望给同学们带来帮助.
考点一、锐角三角函数的定义及应用
例1 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC =
1,AB=2,则下列结论正确的是().
A.sinA= B.tanA=
C.cosA=D.tanA=
解析 :本题考查锐角三角函数的概念.根据题目所给条件,作出直角三角形,结合图形容易判断选项C是正确的.
点拨 :这类题目本身难度不大,但却容易出现错误,关键是要作出图形,结合图形利用三角函数定义进行判断更具直观性,可减少错误的发生.
例2 某山路坡面坡度i= ,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了__________米.
解析 :本题考查坡度与坡角正切值关系.坡度i=即坡角的正切值为,所以可求得坡角的正弦值等于,沿着山路前进200米,则升高200×=10(米).
点拨 :牢记坡度i表示坡角α的正切值, i =
tanα=,然后再结合直角三角形,可求出坡角的正弦值,从而容易求得结果.
考点二、特殊角三角函数的计算
例3 计算:
(1)
(2)|-2|+2sin30°-(-)2+(tan45°)-1
解析 :(1) 原式=
==1
(2)原式=2+2×-3+(1)-1=2+1-3+1=1
点拨 :解本题的关键在于熟记30°,45°,60°角的三角函数值.
考点三、锐角三角函数的综合应用
例4 如图1,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于_______.
解析 :本题是集图形、圆、锐角三角函数的综合题,把∠AED转化为直角三角形ABC 中的∠ABC来解答.
∵∠AED,∠ABD同时对着弧AD,
∴∠AED=∠ABC,
∴ tan∠ABC=,
又∵小正方形的边长为1,
∴AC=1,AB=2,
∴tan∠ABC==,
∴tan∠AED=.
点拨 :在解锐角三角函数问题时,常常把不在直角三角形内的角,等量代换转移到直角三角形中,使问题顺利得到解决.
例5如图2,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=4,AD=BC,cos∠ADC=.求:(1)DC的长;(2)sinB的值.
解析 :本题考查锐角三角函数概念、勾股定理等的相关知识的运用.
(1)∵在Rt△ABC中,cos∠ADC= ,
设CD=3k,
∴AD=5k.
又∵BC=AD,∴3k+4=5k,
∴k=2,
∴CD=3k=6.
(2)∵BC=6+4=10,
AC==8,
∴AB===2 ,
∴sinB===.
点拨 :本题的关键是抓住AD=BC这一等量关系,应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题.
考点四、用锐角三角函数解直角三角形的实际应用
例6腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图3).为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°,底部B点的俯角为45°,小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60°(如图4).若已知CD为10米,请求出雕塑AB的高度.(结果精确到0.1米,参考数据 ).
解析 :本题考查在实际生活当中用锐角三角函数解直角三角形在的综合运用.
如图4,过点C作CE⊥AB于点E.
∵∠D=90°-60°=30°,∠ACD=90°-30°=60°,
∴∠CAD=90°,CD=10,AC=CD=5.
在Rt△ACE中,
AE=AC•sin∠ACE=5•sin30°=,
CE=AC•cos∠ACE=5•cos30°=.
在Rt△BCE中,
∵∠BCE=45°,
∴BE=CE•tan45°=,
∴AB=AE+BE=+
=(1+)≈6.8(米).
所以,雕塑AB的高度约为6.8米.
点拨 :解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形.在无法直接求出AB长的情况下,可考虑分段计算,也就是构造多个直角三角形,化整为零,各个突破,再积零为整,求得结果.
例7如图5,一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近),两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行1小时45分钟之后到达D点,观测到灯塔B恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里/时,又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险?
解析 :本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题.
在Rt△ABD中,AD=16×=28(海里),∠BAD=90°-65°45′=24°15′.
∵cos24°15′=,
∴ AB==≈30.71(海里).
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
∵在Rt△ACE中,sin24°15′=,
∴CE=AC•sin24°15′
=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54<18.6,
∴有触礁危险,不能继续航行.
点拨 :本题有两个难点,一是要能将实际问题抽象为数学问题,二是构造合适的直角三角形.
下面就三角函数问题的考点和解决方法进行解析,希望给同学们带来帮助.
考点一、锐角三角函数的定义及应用
例1 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC =
1,AB=2,则下列结论正确的是().
A.sinA= B.tanA=
C.cosA=D.tanA=
解析 :本题考查锐角三角函数的概念.根据题目所给条件,作出直角三角形,结合图形容易判断选项C是正确的.
点拨 :这类题目本身难度不大,但却容易出现错误,关键是要作出图形,结合图形利用三角函数定义进行判断更具直观性,可减少错误的发生.
例2 某山路坡面坡度i= ,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了__________米.
解析 :本题考查坡度与坡角正切值关系.坡度i=即坡角的正切值为,所以可求得坡角的正弦值等于,沿着山路前进200米,则升高200×=10(米).
点拨 :牢记坡度i表示坡角α的正切值, i =
tanα=,然后再结合直角三角形,可求出坡角的正弦值,从而容易求得结果.
考点二、特殊角三角函数的计算
例3 计算:
(1)
(2)|-2|+2sin30°-(-)2+(tan45°)-1
解析 :(1) 原式=
==1
(2)原式=2+2×-3+(1)-1=2+1-3+1=1
点拨 :解本题的关键在于熟记30°,45°,60°角的三角函数值.
考点三、锐角三角函数的综合应用
例4 如图1,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于_______.
解析 :本题是集图形、圆、锐角三角函数的综合题,把∠AED转化为直角三角形ABC 中的∠ABC来解答.
∵∠AED,∠ABD同时对着弧AD,
∴∠AED=∠ABC,
∴ tan∠ABC=,
又∵小正方形的边长为1,
∴AC=1,AB=2,
∴tan∠ABC==,
∴tan∠AED=.
点拨 :在解锐角三角函数问题时,常常把不在直角三角形内的角,等量代换转移到直角三角形中,使问题顺利得到解决.
例5如图2,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=4,AD=BC,cos∠ADC=.求:(1)DC的长;(2)sinB的值.
解析 :本题考查锐角三角函数概念、勾股定理等的相关知识的运用.
(1)∵在Rt△ABC中,cos∠ADC= ,
设CD=3k,
∴AD=5k.
又∵BC=AD,∴3k+4=5k,
∴k=2,
∴CD=3k=6.
(2)∵BC=6+4=10,
AC==8,
∴AB===2 ,
∴sinB===.
点拨 :本题的关键是抓住AD=BC这一等量关系,应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题.
考点四、用锐角三角函数解直角三角形的实际应用
例6腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图3).为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°,底部B点的俯角为45°,小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60°(如图4).若已知CD为10米,请求出雕塑AB的高度.(结果精确到0.1米,参考数据 ).
解析 :本题考查在实际生活当中用锐角三角函数解直角三角形在的综合运用.
如图4,过点C作CE⊥AB于点E.
∵∠D=90°-60°=30°,∠ACD=90°-30°=60°,
∴∠CAD=90°,CD=10,AC=CD=5.
在Rt△ACE中,
AE=AC•sin∠ACE=5•sin30°=,
CE=AC•cos∠ACE=5•cos30°=.
在Rt△BCE中,
∵∠BCE=45°,
∴BE=CE•tan45°=,
∴AB=AE+BE=+
=(1+)≈6.8(米).
所以,雕塑AB的高度约为6.8米.
点拨 :解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形.在无法直接求出AB长的情况下,可考虑分段计算,也就是构造多个直角三角形,化整为零,各个突破,再积零为整,求得结果.
例7如图5,一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近),两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行1小时45分钟之后到达D点,观测到灯塔B恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里/时,又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险?
解析 :本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题.
在Rt△ABD中,AD=16×=28(海里),∠BAD=90°-65°45′=24°15′.
∵cos24°15′=,
∴ AB==≈30.71(海里).
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
∵在Rt△ACE中,sin24°15′=,
∴CE=AC•sin24°15′
=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54<18.6,
∴有触礁危险,不能继续航行.
点拨 :本题有两个难点,一是要能将实际问题抽象为数学问题,二是构造合适的直角三角形.