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[摘 要]教材是课程的载体，将不同版本的教材进行对比，对教师的教学工作具有极其重要的意义：有助于指导教师探索教学科研的道路与方向，提高教师对教材的认识，增强教师的教学与研究能力。以人教版和北师大版教材中“加法、乘法交换律”这一块知识为载体，从几个不同的维度分析两个版本教材的差异，得到两个版本教材的各自特点，以期在教学中能根据学生的实际扬长避短。
[关键词]加法、乘法交换律；教材；人教版；北师大版
[中圖分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）02-0013-03
运算定律既是建立运算法则的依据，又是进行简便运算的依据，运算定律具有很强的工具性，每个教师都很重视这部分知识的教学。交换律的知识编排在四年级的教材中，在学习这个知识之前，学生对交换律已经有了很多感性的认识，比如，加法意义的学习中，2辆汽车和3辆汽车合在一起可以写成2 3=5，也可以写成3 2=5；乘法意义的学习中，3个2相加可以写成3×2=6，也可以写成2×3=6。从这一系列的例子来看，学生对交换律是比较熟悉的，那教材把这个知识点安排在四年级，用意何在？它所承载的目标又是什么？
一、着眼不同教材，厘清知识脉络
一般情况下，教学是跟着教材走，教材怎么编，教师就怎么教。因此，吃透教材是备课中最为重要的一个环节。因此，教师要把目光聚焦到教材上，首先看看编者对于这一内容的安排是出于哪些方面的考虑。笔者以2012年教育部审定的现行人民教育出版社（以下简称“人教版”）和北京师范大学出版社（以下简称“北师大版”）出版的两套教材中的“加法交换律”和“乘法交换律”知识为例进行对比分析，希望能给大家带来一些启示。
1.教材结构和课时内容编排的差异
从表1可以看出，两套教材的编排结构还是有较大的差异的：人教版把运算定律和简便计算安排在同一单元，突出了运算定律的工具性，北师大版则突出让学生边学边用；人教版和北师大版都不约而同地将加法交换律和乘法交换律安排在不同的课时；人教版把加法交换律安排在“加法运算定律”中，乘法交换律安排在“乘法运算定律”中；北师大版把乘法交换律安排在“乘法结合律和交换律”中，加法交换律安排在“加法交换律和结合律”中。这两个版本都是让学生逐个掌握并运用知识点。
2.呈现方式的差异
人教版通过创设具体的数学情境，即计算李叔叔骑车旅行的路程，让学生先计算再讨论，然后通过思维碰撞归纳出加法交换律；乘法交换律和加法交换律也是由情境引出。北师大版先让学生计算一个大立方体由几个小立方体组成后，再讨论得出乘法结合律，然后引导学生利用乘法结合律和旧知来学习乘法交换律；加法交换律也同样是先复习相关旧知，再通过迁移自然得出。比较两个版本教材不难发现：人教版把加法交换律放在前面来学习，是因为加法对于学生来说更加直观，显然是出于由浅到深安排知识点的考量。北师大版先教学乘法结合律，而后引出乘法交换律，在下一课时再教学加法结合律和加法交换律，不但先教学乘法运算定律，还先教学乘法结合律，这样的呈现方式显然和人教版相去甚远。
3.定义概念的差异
人教版对于交换律的定义既有文字表征，又有字母表征。人教版对于加法交换律的文字定义是这样的：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变；对于乘法交换律的文字定义是这样的：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。北师大版对交换律没有具体的文字描述，只是侧重于字母公式。人教版不但有明确的文字定义，也给出了字母公式。显然，两个版本都重视学生对公式的掌握和运用，但人教版的编排更加严谨、周密且具有梯度性，更利于培养学生的逻辑思维能力和帮助学生建立较为完整的知识体系，为学生自学和复习提供了很好的依据。
4.练习安排的差异
人教版重视学生基础知识的掌握，这点还表现在练习的安排上。人教版针对交换律的知识点，安排了多道针对性的练习，还有综合结合律知识点的练习，练习设计偏于基础性，例如根据运算定律填空，根据加法交换律验算，等等。北师大版对于加法交换律只安排了一道针对性的练习，其他练习都是穿插于结合律之中的。这样的安排可能考虑到交换律单独使用的机会比较少，所以更加突出运算律的工具性。
二、着眼教材比较，有的放矢教学
通过以上几个维度的比较，进一步挖掘两个版本教材所倡导的核心理念。
1.人教版更注重知识逻辑，北师大版更注重心理逻辑
当下教材的编写逻辑体系有两种，一种是按照学科的知识逻辑来编写教材，另一种是按照学生的心理逻辑来编写教材。学科的知识逻辑就是按照一定的依据使学科的各个知识连接起来形成一个系统的结构；学生的心理逻辑是指按照学生心理发展水平来编写教材。从教材的编写体例来看，人教版更加注重知识逻辑。人教版在教材中对交换律的引入、例题、概念和练习进行了科学的选择和组织：概念既有文字描述，也有字母表征形式；课后练习题安排较多，以基础题为主，也不乏提高题。可以看出，人教版所展现的知识是比较系统和完整的。系统完整的知识呈现有利于学生形成完整的知识体系。北师大版则更加注重学生的心理逻辑，主要表现在以下几个方面。首先，根据学生的年龄特点，教材设计了大页面，并穿插图片和人物形象，让学生能够更加亲近教材，理解教材。如在乘法交换律的教学内容中，由小女孩说“我们知道4×5=5×4，12×10=10×12”来唤起学生的已有经验，由小男孩说“自己举一些例子试试看，你发现了什么规律？”来启发学生思考。其次，教材遵循螺旋上升的原则，让学生在一二年级时对交换律有初步的认知，到四年级下册就提升到概念的高度。加法交换律的学习正是借助了乘法交换律的正迁移，这样由浅到深、由易到难的呈现方式是符合学生心理发展规律的，遵循心理逻辑更有利于学生对知识的感知和理解。如果教师只遵循知识逻辑，不考虑学生的心理逻辑，那么教材就会过于专业化，不容易被学生所理解和接受。相反，如果只考虑学生的心理逻辑，那么知识就会变成零散的知识点，学生不容易在头脑中形成知识系统。对此，教师可以取其精华，根据学生的具体情况调整教材的结构和教学内容。 2.人教版注重掌握基础知识，北师大版注重培养学习能力
实质教育论认为：基础教育的主要任务是获得有价值的知识，学习知识的过程就包含了能力的培养。人教版更加注重基础知识的掌握，主要表现为：首先，内容呈现周密而系统，便于全体学生学习。交换律相对于其他知识而言是比较容易的知识点，学生依据已有的经验，很容易就可以得出结论。在这样的情况下，人教版还为了保证学生能够扎实掌握交换律，设置了问题情境，帮助学生构建数学模型，使学生参与了学习的整个探索过程，对交换律印象深刻。其次，课后习题具有针对性和基础性。课后习题中的针对性题目较多，主要是判断运算定律、根据交换律验算和根据交换律填空三种形式，题目坡度不大，以基础题为主，主要是帮助学生形成解题技能和技巧，有助于学生应用知识解决问题，使学生获得了大量的数学知识。然而，笔者认为，人教版对于加法交换律采取这样严谨保险的设计方式还可以理解，但对于乘法交换律还是这样就会显得起点过低，不利于发展学生的数学能力。
形式教育论认为：普通教育的任务在于能力的发展。北师大版重视学习能力的发展，表现为：首先，对学生已有的生活经验和能力非常重视。乘法交换律是学生复习已有知识和调出生活经验后思考得出的。其次，注重学习迁移能力。加法交换律和加法结合律安排在同一课时并由乘法交换律和乘法结合律迁移得出。北师大版的编排形式有利于发展学生各方面的能力（如分析能力、解决问题的能力等）。但是，对于学习基础不好、学习能力不佳的学生而言，就有可能跟不上教师的脚步。教材虽然变得简单，但对于教师来说却不简单：怎么才能有效促进学生正向迁移？怎样使学习基础不好的学生跟得上教学进程？如何进一步发展学生的思维……这些都是教师要考虑的问题，显然是对教师提出了更高的要求。
在教学这一内容时，教师要在学生掌握基础知识和发展学生能力之间找到一个平衡点。如果只重视发展能力而忽视基础知识是行不通的，因为能力发展的基础是必要的基础知识。如果只重视基础知识的掌握而忽视能力发展，那么学生只能是学习的机器，思维缺乏灵活性。教师要带着“不是教教材，而是用教材”的教材观，深入研究教材之后根据学生的学习实际，可以人教版为主线，适当穿插一些北师大版的内容。
3.人教版起點低、难度小，北师大版起点高、难度大
小学生的抽象逻辑思维正在慢慢形成，仍带有很大的具体性和不自觉性。因此人教版采用了“引入生活情境，建立数学模型，应用数学模型”这样的呈现方式。人教版还设置了很多针对性练习，以基础题为主、提高题为辅。相信面对这样一个教程，教师教学起来会非常顺手。人教版注重学生对于基础知识的掌握，因此设置的学习起点偏低。实际上，学生在学习了加法交换律之后，就能凭借已有的经验和能力，通过迁移习得乘法交换律。然而人教版对于乘法交换律也采用稳扎稳打的教学展开方式，对大部分学生而言，就会显得学习起点较低。这样不利于学习能力强的学生的发展，因为学生本可以在掌握了基础知识之后发展思维能力的。这也是为什么学习人教版的学生直到四年级才会出现较大的两极分化。
北师大版充分相信学生的已有经验和能力，以及相信这些经验和能力能够对数学学习起到支持作用，而且非常肯定学生能够自主地运用已有的经验和知识进行学习和迁移。北师大版是由学生通过计算一个大立方体由几个小立方体组成后得出乘法结合律，然后复习乘法结合律和相关旧知来学习乘法交换律的。加法交换律则是通过乘法交换律迁移获得的。在这里，首先，创设一个具有挑战性的问题情境，学生通过计算自然地得出两个不同的算式；然后，列举一些实例让学生去感受；接着，通过归纳得出乘法结合律；最后，叙述乘法结合律的含义，并用字母表征出来。这时，学生的知识水平已经达到了一定的程度，对于学生来讲，需要扎实掌握结合律才能再去学习乘法交换律和加法交换律。显然，北师大版更注重学习迁移，给学生提供更多自我学习的机会。一开始就将学生的起点拔高到乘法结合律的高度，对于部分学生而言，可能会有困难。在扎实掌握了乘法结合律的基础上再去学习交换律，这种学习迁移的方式有助于发展学生的思维，使学生在日后的数学学习中能够举一反三。但对于数学学习能力较弱、学习水平较低的学生而言，可能会比较困难，这也可能造成学生两极分化。对于教师而言，使用北师大版进行教学比使用人教版更难，因为教材留给教师创造的空间较大。笔者建议在教学交换律时，可以根据学生的心理特点，先按照人教版的模式教学加法交换律，在学生牢固掌握加法交换律之后，再按照北师大版的模式引导学生通过加法交换律的正迁移来学习新知识。这样，学生既掌握了基础知识，又发展了学习能力。
通过上述比较，相信教师已经能从不同版本里找到自己所需要的东西，能够根据学生自身的实际情况有的放矢地处理教材，从而保证教学的有效性。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 王道俊，郭文安.教育学[M].北京：人民教育出版社，2009.
[2] 杜尚荣，李森.中小学教材编写逻辑体系的反思和重构[J].课程·教材·教法，2014.（10）.
（责编 金 铃）
[关键词]加法、乘法交换律；教材；人教版；北师大版
[中圖分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）02-0013-03
运算定律既是建立运算法则的依据，又是进行简便运算的依据，运算定律具有很强的工具性，每个教师都很重视这部分知识的教学。交换律的知识编排在四年级的教材中，在学习这个知识之前，学生对交换律已经有了很多感性的认识，比如，加法意义的学习中，2辆汽车和3辆汽车合在一起可以写成2 3=5，也可以写成3 2=5；乘法意义的学习中，3个2相加可以写成3×2=6，也可以写成2×3=6。从这一系列的例子来看，学生对交换律是比较熟悉的，那教材把这个知识点安排在四年级，用意何在？它所承载的目标又是什么？
一、着眼不同教材，厘清知识脉络
一般情况下，教学是跟着教材走，教材怎么编，教师就怎么教。因此，吃透教材是备课中最为重要的一个环节。因此，教师要把目光聚焦到教材上，首先看看编者对于这一内容的安排是出于哪些方面的考虑。笔者以2012年教育部审定的现行人民教育出版社（以下简称“人教版”）和北京师范大学出版社（以下简称“北师大版”）出版的两套教材中的“加法交换律”和“乘法交换律”知识为例进行对比分析，希望能给大家带来一些启示。
1.教材结构和课时内容编排的差异
从表1可以看出，两套教材的编排结构还是有较大的差异的：人教版把运算定律和简便计算安排在同一单元，突出了运算定律的工具性，北师大版则突出让学生边学边用；人教版和北师大版都不约而同地将加法交换律和乘法交换律安排在不同的课时；人教版把加法交换律安排在“加法运算定律”中，乘法交换律安排在“乘法运算定律”中；北师大版把乘法交换律安排在“乘法结合律和交换律”中，加法交换律安排在“加法交换律和结合律”中。这两个版本都是让学生逐个掌握并运用知识点。
2.呈现方式的差异
人教版通过创设具体的数学情境，即计算李叔叔骑车旅行的路程，让学生先计算再讨论，然后通过思维碰撞归纳出加法交换律；乘法交换律和加法交换律也是由情境引出。北师大版先让学生计算一个大立方体由几个小立方体组成后，再讨论得出乘法结合律，然后引导学生利用乘法结合律和旧知来学习乘法交换律；加法交换律也同样是先复习相关旧知，再通过迁移自然得出。比较两个版本教材不难发现：人教版把加法交换律放在前面来学习，是因为加法对于学生来说更加直观，显然是出于由浅到深安排知识点的考量。北师大版先教学乘法结合律，而后引出乘法交换律，在下一课时再教学加法结合律和加法交换律，不但先教学乘法运算定律，还先教学乘法结合律，这样的呈现方式显然和人教版相去甚远。
3.定义概念的差异
人教版对于交换律的定义既有文字表征，又有字母表征。人教版对于加法交换律的文字定义是这样的：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变；对于乘法交换律的文字定义是这样的：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。北师大版对交换律没有具体的文字描述，只是侧重于字母公式。人教版不但有明确的文字定义，也给出了字母公式。显然，两个版本都重视学生对公式的掌握和运用，但人教版的编排更加严谨、周密且具有梯度性，更利于培养学生的逻辑思维能力和帮助学生建立较为完整的知识体系，为学生自学和复习提供了很好的依据。
4.练习安排的差异
人教版重视学生基础知识的掌握，这点还表现在练习的安排上。人教版针对交换律的知识点，安排了多道针对性的练习，还有综合结合律知识点的练习，练习设计偏于基础性，例如根据运算定律填空，根据加法交换律验算，等等。北师大版对于加法交换律只安排了一道针对性的练习，其他练习都是穿插于结合律之中的。这样的安排可能考虑到交换律单独使用的机会比较少，所以更加突出运算律的工具性。
二、着眼教材比较，有的放矢教学
通过以上几个维度的比较，进一步挖掘两个版本教材所倡导的核心理念。
1.人教版更注重知识逻辑，北师大版更注重心理逻辑
当下教材的编写逻辑体系有两种，一种是按照学科的知识逻辑来编写教材，另一种是按照学生的心理逻辑来编写教材。学科的知识逻辑就是按照一定的依据使学科的各个知识连接起来形成一个系统的结构；学生的心理逻辑是指按照学生心理发展水平来编写教材。从教材的编写体例来看，人教版更加注重知识逻辑。人教版在教材中对交换律的引入、例题、概念和练习进行了科学的选择和组织：概念既有文字描述，也有字母表征形式；课后练习题安排较多，以基础题为主，也不乏提高题。可以看出，人教版所展现的知识是比较系统和完整的。系统完整的知识呈现有利于学生形成完整的知识体系。北师大版则更加注重学生的心理逻辑，主要表现在以下几个方面。首先，根据学生的年龄特点，教材设计了大页面，并穿插图片和人物形象，让学生能够更加亲近教材，理解教材。如在乘法交换律的教学内容中，由小女孩说“我们知道4×5=5×4，12×10=10×12”来唤起学生的已有经验，由小男孩说“自己举一些例子试试看，你发现了什么规律？”来启发学生思考。其次，教材遵循螺旋上升的原则，让学生在一二年级时对交换律有初步的认知，到四年级下册就提升到概念的高度。加法交换律的学习正是借助了乘法交换律的正迁移，这样由浅到深、由易到难的呈现方式是符合学生心理发展规律的，遵循心理逻辑更有利于学生对知识的感知和理解。如果教师只遵循知识逻辑，不考虑学生的心理逻辑，那么教材就会过于专业化，不容易被学生所理解和接受。相反，如果只考虑学生的心理逻辑，那么知识就会变成零散的知识点，学生不容易在头脑中形成知识系统。对此，教师可以取其精华，根据学生的具体情况调整教材的结构和教学内容。 2.人教版注重掌握基础知识，北师大版注重培养学习能力
实质教育论认为：基础教育的主要任务是获得有价值的知识，学习知识的过程就包含了能力的培养。人教版更加注重基础知识的掌握，主要表现为：首先，内容呈现周密而系统，便于全体学生学习。交换律相对于其他知识而言是比较容易的知识点，学生依据已有的经验，很容易就可以得出结论。在这样的情况下，人教版还为了保证学生能够扎实掌握交换律，设置了问题情境，帮助学生构建数学模型，使学生参与了学习的整个探索过程，对交换律印象深刻。其次，课后习题具有针对性和基础性。课后习题中的针对性题目较多，主要是判断运算定律、根据交换律验算和根据交换律填空三种形式，题目坡度不大，以基础题为主，主要是帮助学生形成解题技能和技巧，有助于学生应用知识解决问题，使学生获得了大量的数学知识。然而，笔者认为，人教版对于加法交换律采取这样严谨保险的设计方式还可以理解，但对于乘法交换律还是这样就会显得起点过低，不利于发展学生的数学能力。
形式教育论认为：普通教育的任务在于能力的发展。北师大版重视学习能力的发展，表现为：首先，对学生已有的生活经验和能力非常重视。乘法交换律是学生复习已有知识和调出生活经验后思考得出的。其次，注重学习迁移能力。加法交换律和加法结合律安排在同一课时并由乘法交换律和乘法结合律迁移得出。北师大版的编排形式有利于发展学生各方面的能力（如分析能力、解决问题的能力等）。但是，对于学习基础不好、学习能力不佳的学生而言，就有可能跟不上教师的脚步。教材虽然变得简单，但对于教师来说却不简单：怎么才能有效促进学生正向迁移？怎样使学习基础不好的学生跟得上教学进程？如何进一步发展学生的思维……这些都是教师要考虑的问题，显然是对教师提出了更高的要求。
在教学这一内容时，教师要在学生掌握基础知识和发展学生能力之间找到一个平衡点。如果只重视发展能力而忽视基础知识是行不通的，因为能力发展的基础是必要的基础知识。如果只重视基础知识的掌握而忽视能力发展，那么学生只能是学习的机器，思维缺乏灵活性。教师要带着“不是教教材，而是用教材”的教材观，深入研究教材之后根据学生的学习实际，可以人教版为主线，适当穿插一些北师大版的内容。
3.人教版起點低、难度小，北师大版起点高、难度大
小学生的抽象逻辑思维正在慢慢形成，仍带有很大的具体性和不自觉性。因此人教版采用了“引入生活情境，建立数学模型，应用数学模型”这样的呈现方式。人教版还设置了很多针对性练习，以基础题为主、提高题为辅。相信面对这样一个教程，教师教学起来会非常顺手。人教版注重学生对于基础知识的掌握，因此设置的学习起点偏低。实际上，学生在学习了加法交换律之后，就能凭借已有的经验和能力，通过迁移习得乘法交换律。然而人教版对于乘法交换律也采用稳扎稳打的教学展开方式，对大部分学生而言，就会显得学习起点较低。这样不利于学习能力强的学生的发展，因为学生本可以在掌握了基础知识之后发展思维能力的。这也是为什么学习人教版的学生直到四年级才会出现较大的两极分化。
北师大版充分相信学生的已有经验和能力，以及相信这些经验和能力能够对数学学习起到支持作用，而且非常肯定学生能够自主地运用已有的经验和知识进行学习和迁移。北师大版是由学生通过计算一个大立方体由几个小立方体组成后得出乘法结合律，然后复习乘法结合律和相关旧知来学习乘法交换律的。加法交换律则是通过乘法交换律迁移获得的。在这里，首先，创设一个具有挑战性的问题情境，学生通过计算自然地得出两个不同的算式；然后，列举一些实例让学生去感受；接着，通过归纳得出乘法结合律；最后，叙述乘法结合律的含义，并用字母表征出来。这时，学生的知识水平已经达到了一定的程度，对于学生来讲，需要扎实掌握结合律才能再去学习乘法交换律和加法交换律。显然，北师大版更注重学习迁移，给学生提供更多自我学习的机会。一开始就将学生的起点拔高到乘法结合律的高度，对于部分学生而言，可能会有困难。在扎实掌握了乘法结合律的基础上再去学习交换律，这种学习迁移的方式有助于发展学生的思维，使学生在日后的数学学习中能够举一反三。但对于数学学习能力较弱、学习水平较低的学生而言，可能会比较困难，这也可能造成学生两极分化。对于教师而言，使用北师大版进行教学比使用人教版更难，因为教材留给教师创造的空间较大。笔者建议在教学交换律时，可以根据学生的心理特点，先按照人教版的模式教学加法交换律，在学生牢固掌握加法交换律之后，再按照北师大版的模式引导学生通过加法交换律的正迁移来学习新知识。这样，学生既掌握了基础知识，又发展了学习能力。
通过上述比较，相信教师已经能从不同版本里找到自己所需要的东西，能够根据学生自身的实际情况有的放矢地处理教材，从而保证教学的有效性。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 王道俊，郭文安.教育学[M].北京：人民教育出版社，2009.
[2] 杜尚荣，李森.中小学教材编写逻辑体系的反思和重构[J].课程·教材·教法，2014.（10）.
（责编 金 铃）