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【摘要】
结合高等数学教学实例，简介数学直观教学法，该方法能起到化难为易、化抽象为具体的功效，是高等数学教学不可或缺的一种手段，同时指出应用该方法的注意事项。
【关键词】高等数学 直观教学 教学方法
1.引言
《高等数学》是一门理论性较强，内容较抽象的课程，教学内容体系严谨、逻辑性强。由于高等数学具有这样的特点，怎样充分利用课堂授课时间提高授课效率，是广大数学教员都在思考的问题。在严格的推理证明之外，辅以直观教学法，即用实物直观、模型直观、数学语言直观、数学符号直观、数学图像直观及媒体直观等方法进行教学，利用学员的已有经验及体验，丰富学员感性认识，使学员在此基础上进行抽象思维，形成概念。直观性教学将抽象的知识具体化，帮助突破教学难点，提高课堂教学质量，使学员易于理解，同时也能提高学员学习兴趣，往往会达到事半功倍的效果。下面结合高等数学中的教学实例，浅谈一下直观教学法。
2.几类数学直观教学法
2.1 实物直观。实物直观是指学员在教员的指导下取得对大自然的直接感知，从中抽象出所学习的概念，也就是利用生活中现实存在的物体进行直观教学[1]。实物直观生动而且真实，使学员易于掌握，印象深刻。
比如通过马鞍感知马鞍面等概念；再比如讲解直线方程时，为了使学员理解直线一般方程的不唯一性，可以将书立起打开，很显然书脊所在的直线，可以看作由第一页和第二页相交而来，也可以看作是第三页和第四页相交而来，以这样的实物直观突破了这一难点，加深学员的理解。当然实物直观也具有难以突出事物的本质的缺点，因此运用此方法时要注意“度”的控制。
2.2 模型直观。模型直观也称教具直观，是指教员利用人工制作的各种教具来进行直观教学。在空间解析几何的教学中，可以广泛使用模型直观这一手段。运用学员看得见摸得着的各种几何体模型，可以帮助学员建立起空间概念，形成空间想象能力及逻辑思维能力。但是模型并不是实物，难免使得获得的知识不准确，因此教员在制作及使用教具时，要注意其与实物之间的比例。
2.3 数学语言直观。数学语言直观（此处仅指文字语言直观）是指在教学中使用形象化的通俗的语言描述，让学员更加直接的理解数学对象的直观教学手段。著名数学教育家傅种孙先生强调，备课要备“体会”，讲课要讲体会。所谓“体会”就是对教材的精辟理解和通俗解释。通过对事物进行形象化的语言描述引起学员的想象，更进一步利用表象和再造想象，唤起头脑中相关事物形象的重现或改组，得到新的形象。
比如，在讲解复合函数求导法则时，可以将链式求导法则比喻成剥洋葱，从外向里逐层求导，加深学员的理解。再比如讲解梯度概念时，可以将梯度这一向量比喻成梯子，沿着这架梯子向上爬，函数值增加最快，上升的速率（即方向导数）是梯子的长度（即梯度的模）；顺着梯子爬下来，函数值下降最快，下降的速率（即方向导数）是梯子的长度的相反数。语言直观可以不受客观条件的限制，但它容易中断、动摇、不稳定，甚至不正确。因此教员要根据教学目的，从教学内容出发，结合学员身心发展的特点，使用该方法。
2.4 数学符号直观。数学符号直观是指用简洁的数学符号来表示数学对象。数学中一些被固定下来的符号及算式已经发展成为数学中的“直观模式”，由于这种外在形式的简洁优美使它们在数学思维中发挥着更大的作用，如果教员在教学中引导学员充分认识这类直观，可以使学员的直觉思维得到进一步发展。未经加工的信息是原始的，存在层次不清、主次不分这样的缺点，它妨碍人的思维推理活动，也为交流带来了不便。符号化是迄今人类对信息最强有力的压缩加工方式，它是进行推理的前提条件，任何数学直观都必然发展为抽象。只有在具体的直观的基础之上，发展为抽象概括地认识数学对象，才是数学教育的根本。比如探照灯聚光镜面的设计问题，就是将一个具体的问题抽象成数学问题，用简洁直观的数学符号进行描述，归结为求解齐次方程问题，从而将问题解决。
2.5 数学图象直观。数学图象直观是指用数学图象来直观地表示数学对象。一般分为几何图形、函数图象、示意图、表格及思路分析图等[2]。图象语言是直观的数学语言，它形象地表达了数学概念、定理以及法则，使整个思维过程变得清晰明了，易于掌握。几何直观是数形结合这一数学思想的表现形式之一，它可以帮助学员领悟数学本质，沟通了抽象思维与形象思维。
比如在讲解罗尓定理时，设连续光滑的曲线y=f（x）在端点A、B处的纵坐标相等，让学员观察右图并思考：f′（ξ）=？从图中能直观地看出f′（x）=0，通过这一几何图形学员能轻松地掌握罗尔定理的内涵。再比如学习多元复合函数的求导法则时，首先要理清变量之间的关系，这时不妨画出函数与变量的关系图，配合相应的口诀，沿着关系路线图可以直接说出多元复合函数的导数，而且不容易出错。
2.6 媒体直观。媒体直观是指借助于多媒体技术进行的数学直观教学，已成为现代教育发展的一种趋势。在高等数学教学中合理利用多媒体技术，有助于数学知识的理解与掌握，有利于提高学生的数学思维水平和数学素养的形成。利用多媒体辅助高等数学教学，将图片及动画等结合起来，可以丰富教学内容，使数学知识变得生动有趣，激发学员学习兴趣，使学员真正成为学习的主体。
多媒体教学方便快捷，解决了课堂上大量板书的问题，可以节省大量的教学时间，增加课堂信息量。借助多媒体可以把抽象的概念、严密的逻辑推理变得生动形象、直观透彻，有利于突破教学难点，提高教学效率。
比如在讲解空间解析几何时，可以用MATLAB软件画出曲面或曲线的三维图像，进行动态演示，利于学员观察，让学员看到不同以往的视觉效果，留下深刻印象，也有利于空间思维能力的形成。再比如引入极限概念时，我们一般都会以刘徽《九章算术》里的“割圆术”作为引例，口述“割圆术”的过程会显得苍白无力，但如果用动画演示内接正多边形逼近圆的过程，不需过多的解释，学员可以直观的理解“无限接近”。在利用媒体直观这一手段时，切记不能一味的追求新奇特的视听效果，冲淡了教学主题，反而使学习注意力分散，起到反作用。
3.小结
法国科学家、数学家H·庞加莱在《数学中的直觉和逻辑》中指出“数学的本质在于充分的思想自由”[3]，完全严格的思想对创造性研究既不必要也不值得，有时毫不犹豫地求助于直觉，直观地思考问题，更能取得开拓性的进展。直观性教学能起到化难为易、化抽象为具体的功效，是高等数学教学不可或缺的一种教学手段。但我们也不能过分迷恋直观性，不能避繁就简，轻视、放弃定理在理论上的证明推导是不负责任、不能根本的体现数学思想与完美的逻辑性的错误做法，断章取义的进行讲解，其作用是不会持久的，因而要将直观形象与精确的形式定义进行整合，上升至应有的理论高度，从具体过渡到抽象，从而培养学生的抽象思维能力。
参考文献
[1] 河南省教师资格管理办公室. 教学方法概论[M].开封： 河南大学出版社， 2003年7月.
[2] 张媛， 蔡明. 教学方法研究[M].开封： 河南大学出版社， 2001年8月.
[3] 王天一等. 外国教育史[M]. 北京： 北京师范大学出版社， 2005年1月.
结合高等数学教学实例，简介数学直观教学法，该方法能起到化难为易、化抽象为具体的功效，是高等数学教学不可或缺的一种手段，同时指出应用该方法的注意事项。
【关键词】高等数学 直观教学 教学方法
1.引言
《高等数学》是一门理论性较强，内容较抽象的课程，教学内容体系严谨、逻辑性强。由于高等数学具有这样的特点，怎样充分利用课堂授课时间提高授课效率，是广大数学教员都在思考的问题。在严格的推理证明之外，辅以直观教学法，即用实物直观、模型直观、数学语言直观、数学符号直观、数学图像直观及媒体直观等方法进行教学，利用学员的已有经验及体验，丰富学员感性认识，使学员在此基础上进行抽象思维，形成概念。直观性教学将抽象的知识具体化，帮助突破教学难点，提高课堂教学质量，使学员易于理解，同时也能提高学员学习兴趣，往往会达到事半功倍的效果。下面结合高等数学中的教学实例，浅谈一下直观教学法。
2.几类数学直观教学法
2.1 实物直观。实物直观是指学员在教员的指导下取得对大自然的直接感知，从中抽象出所学习的概念，也就是利用生活中现实存在的物体进行直观教学[1]。实物直观生动而且真实，使学员易于掌握，印象深刻。
比如通过马鞍感知马鞍面等概念；再比如讲解直线方程时，为了使学员理解直线一般方程的不唯一性，可以将书立起打开，很显然书脊所在的直线，可以看作由第一页和第二页相交而来，也可以看作是第三页和第四页相交而来，以这样的实物直观突破了这一难点，加深学员的理解。当然实物直观也具有难以突出事物的本质的缺点，因此运用此方法时要注意“度”的控制。
2.2 模型直观。模型直观也称教具直观，是指教员利用人工制作的各种教具来进行直观教学。在空间解析几何的教学中，可以广泛使用模型直观这一手段。运用学员看得见摸得着的各种几何体模型，可以帮助学员建立起空间概念，形成空间想象能力及逻辑思维能力。但是模型并不是实物，难免使得获得的知识不准确，因此教员在制作及使用教具时，要注意其与实物之间的比例。
2.3 数学语言直观。数学语言直观（此处仅指文字语言直观）是指在教学中使用形象化的通俗的语言描述，让学员更加直接的理解数学对象的直观教学手段。著名数学教育家傅种孙先生强调，备课要备“体会”，讲课要讲体会。所谓“体会”就是对教材的精辟理解和通俗解释。通过对事物进行形象化的语言描述引起学员的想象，更进一步利用表象和再造想象，唤起头脑中相关事物形象的重现或改组，得到新的形象。
比如，在讲解复合函数求导法则时，可以将链式求导法则比喻成剥洋葱，从外向里逐层求导，加深学员的理解。再比如讲解梯度概念时，可以将梯度这一向量比喻成梯子，沿着这架梯子向上爬，函数值增加最快，上升的速率（即方向导数）是梯子的长度（即梯度的模）；顺着梯子爬下来，函数值下降最快，下降的速率（即方向导数）是梯子的长度的相反数。语言直观可以不受客观条件的限制，但它容易中断、动摇、不稳定，甚至不正确。因此教员要根据教学目的，从教学内容出发，结合学员身心发展的特点，使用该方法。
2.4 数学符号直观。数学符号直观是指用简洁的数学符号来表示数学对象。数学中一些被固定下来的符号及算式已经发展成为数学中的“直观模式”，由于这种外在形式的简洁优美使它们在数学思维中发挥着更大的作用，如果教员在教学中引导学员充分认识这类直观，可以使学员的直觉思维得到进一步发展。未经加工的信息是原始的，存在层次不清、主次不分这样的缺点，它妨碍人的思维推理活动，也为交流带来了不便。符号化是迄今人类对信息最强有力的压缩加工方式，它是进行推理的前提条件，任何数学直观都必然发展为抽象。只有在具体的直观的基础之上，发展为抽象概括地认识数学对象，才是数学教育的根本。比如探照灯聚光镜面的设计问题，就是将一个具体的问题抽象成数学问题，用简洁直观的数学符号进行描述，归结为求解齐次方程问题，从而将问题解决。
2.5 数学图象直观。数学图象直观是指用数学图象来直观地表示数学对象。一般分为几何图形、函数图象、示意图、表格及思路分析图等[2]。图象语言是直观的数学语言，它形象地表达了数学概念、定理以及法则，使整个思维过程变得清晰明了，易于掌握。几何直观是数形结合这一数学思想的表现形式之一，它可以帮助学员领悟数学本质，沟通了抽象思维与形象思维。
比如在讲解罗尓定理时，设连续光滑的曲线y=f（x）在端点A、B处的纵坐标相等，让学员观察右图并思考：f′（ξ）=？从图中能直观地看出f′（x）=0，通过这一几何图形学员能轻松地掌握罗尔定理的内涵。再比如学习多元复合函数的求导法则时，首先要理清变量之间的关系，这时不妨画出函数与变量的关系图，配合相应的口诀，沿着关系路线图可以直接说出多元复合函数的导数，而且不容易出错。
2.6 媒体直观。媒体直观是指借助于多媒体技术进行的数学直观教学，已成为现代教育发展的一种趋势。在高等数学教学中合理利用多媒体技术，有助于数学知识的理解与掌握，有利于提高学生的数学思维水平和数学素养的形成。利用多媒体辅助高等数学教学，将图片及动画等结合起来，可以丰富教学内容，使数学知识变得生动有趣，激发学员学习兴趣，使学员真正成为学习的主体。
多媒体教学方便快捷，解决了课堂上大量板书的问题，可以节省大量的教学时间，增加课堂信息量。借助多媒体可以把抽象的概念、严密的逻辑推理变得生动形象、直观透彻，有利于突破教学难点，提高教学效率。
比如在讲解空间解析几何时，可以用MATLAB软件画出曲面或曲线的三维图像，进行动态演示，利于学员观察，让学员看到不同以往的视觉效果，留下深刻印象，也有利于空间思维能力的形成。再比如引入极限概念时，我们一般都会以刘徽《九章算术》里的“割圆术”作为引例，口述“割圆术”的过程会显得苍白无力，但如果用动画演示内接正多边形逼近圆的过程，不需过多的解释，学员可以直观的理解“无限接近”。在利用媒体直观这一手段时，切记不能一味的追求新奇特的视听效果，冲淡了教学主题，反而使学习注意力分散，起到反作用。
3.小结
法国科学家、数学家H·庞加莱在《数学中的直觉和逻辑》中指出“数学的本质在于充分的思想自由”[3]，完全严格的思想对创造性研究既不必要也不值得，有时毫不犹豫地求助于直觉，直观地思考问题，更能取得开拓性的进展。直观性教学能起到化难为易、化抽象为具体的功效，是高等数学教学不可或缺的一种教学手段。但我们也不能过分迷恋直观性，不能避繁就简，轻视、放弃定理在理论上的证明推导是不负责任、不能根本的体现数学思想与完美的逻辑性的错误做法，断章取义的进行讲解，其作用是不会持久的，因而要将直观形象与精确的形式定义进行整合，上升至应有的理论高度，从具体过渡到抽象，从而培养学生的抽象思维能力。
参考文献
[1] 河南省教师资格管理办公室. 教学方法概论[M].开封： 河南大学出版社， 2003年7月.
[2] 张媛， 蔡明. 教学方法研究[M].开封： 河南大学出版社， 2001年8月.
[3] 王天一等. 外国教育史[M]. 北京： 北京师范大学出版社， 2005年1月.