论文部分内容阅读
【摘要】在数学教学中，概念教学的重要性毋庸置疑.属性下概念教学的关键是通过问题情境，让学生运用归纳思维，抽象出概念的数学属性.在这一过程中，学生能感受到概念的生长过程，感受到建立此概念的必要性和必然性.
【关键词】初中数学;概念教学;思维生长
数学概念指运用定义的形式揭示数学的某一本质特征，是数学学习的核心.数学概念教学承载着学生数学学习经验的积累、数学思想方法的渗透的任务.李邦河院士说：“数学是玩概念的.”很多学生在解题过程中遇到困惑的本质原因是对概念理解不到位.因此，数学概念教学十分重要.数学概念的种类很多，如何进行属性下的概念教学呢？笔者以“二次函数”概念教学为例，以思维生长角度为基本思路，进行了如下教学设计.
一、属性下的概念理解
将同一类对象的本质属性抽象出来，就形成了概念.属性是固有的、不变的、不以人的意志为转移的.研究事物的过程就是揭示相关事物属性的过程，因此属性下概念教学的核心就是通过问题情境，让学生发现问题，思考问题，抽象出概念的数学属性.在这一过程中，学生感受建立此概念的必要性、必然性.教师通过这一过程培养学生的数学核心素养和关键能力.
二、教学设计与说明
环节1：类比归纳 新知初探
师：老师给出以下问题，请你用函数表达式表示问题中两变量之间的关系.
①一辆汽车从丹阳开往江都，速度是80 km/h，求行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的关系.
②丹阳到江都全程约90 km，求汽车行驶全程所用的时间t（h）与速度v（km/h）之间的关系.
③长方形的周长为16 m，长为 x m，宽为y m，求长方形的长与宽之间的关系.
④一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，求扩大后波纹（圆）的面积s与半径r之间的关系.
⑤用总长为16 m的篱笆围成长方形的生物圈，饲养小兔，求生物圈的面积y（m2）与长 x（m）之间的关系.
⑥计划修建一条长500 km的高速公路，求完成该项目的天数a （天）与每天完成的量b（km）之间的关系.
⑦一面长宽之比为2∶1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框价格是每米30元，额外加工费是45元，求总费用w（元）与镜面宽x（米）之间的关系.
（学生自行解决，教师在黑板上板书答案：
①s=80t ②t=90[]v ③y=8-x ④s=πr2
⑤y=-x2 8x ⑥a=500[]b ⑦w=240x2 180x 45）
问题1 你能将上述关系式分类吗？说一说你的分类结果.
（①③为一次函数;②⑥为反比例函数;④⑤⑦没学过）
问题2 对于已经学过的一次函数、反比例函数，你还记得老师是怎样研究它们的吗？都研究了哪些方面？（学生先说，教师后呈现下表）
师生共同小结回顾：我们根据一次函数、反比例函数等号右边代数式的特征，分别得出了它们的定义;通过列表、描点、连线画出了它们的函数图像;再通过研究图像得出了这两种函数的性质;最后用它们解决实际生活中的问题.
说明1：问题是一切科学探究的起点，一个不会发现问题的人是无法真正参与探究活动的.爱因斯坦说过：“发现和提出一个问题比解决一个问题更重要.”因此渗透分类思想、将众多问题进行分类梳理、梳理旧知、发现新知的过程符合学生的认知规律，符合学生学习知识的生长规律，是培养学生关键能力与必备品格的过程.从知识层面复习一次函数、反比例函数的学习过程，可以为二次函数的学习打下基础.
问题3 除了我们熟悉的函数外，剩下的④⑤⑦这些函数表达式有什么共同特征呢？它们与一次函数、反比例函数表达式有什么区别呢？
（学生观察，讨论，交流：
1.等号右边的代数式都是整式，与反比例函数不同，与一次函数相同;
2.等号右边的代数式都含二次项，与一次函数不同.）
问题4 你能再举出一些这类函数的例子吗？
问题5 这样的例子太多了，你能设计出一个一般形式来表示这类函数吗？（学生尝试设计，交流）
问题6 类比一次函数、反比例函数的定义，请你试着给这类函数下定义.（学生尝试，交流）
教师总结：这样的函数，我们称为“二次函数”.（板书）一般的，形如y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0）
的函数叫二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
说明2：类比是由于两类对象在某些方面相似，得出它们在其他方面也可能相似的结论.类比是一种创造性的数学思想方法.类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视作用.类比是学生正确理解概念的方法之一，通过类比一次函数、反比例函数，学生可以用已有的经验与方法研究未知问题.
环节2：全面剖析 深入新知
通过前面的探索，认真分析二次函数的定义，这一定义告诉了我们哪些本质的东西？你是怎样理解二次函数概念的？
1.“形如”即用形来定义函数的名称.
2.二次函数的一般形式是y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0）.
3.a≠0，b、c可以为0，y=ax2 c.
特殊情况：当b=0时（a≠0），y=ax2 bx;
当c=0时，y=ax2（a≠0）;
当b=0、c=0时，（a≠0）.
4.定义有双重性：
若y是关于x的二次函数，则y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0）;如果y、x满足y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0），则y是關于x的二次函数. 4.对照一般形式介绍二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项;以黑板上的式子⑦w=240x2 180x 45为例，介绍相关项与系数.
5.观察⑦w=240x2 180x 45，思考：
①x取任何值，y是否都有唯一的值与之相对应？
②二次函数自变量x的取值范围是什么？（任意实数）
③若放在具体的总费用w（元）或镜面宽x（米）等实际问题中，自变量x还能取任意实数吗？（在实际问题中，自变量的取值要考虑实际意义）
说明3：对于属性下的概念教学，教师要理清概念的属性，才能根据属性构建学习活动，让学生抽象出概念的属性.构建学习活动的目的是让学生建立概念、理解概念、应用概念，经历“给例子—找属性—举例子—下定义—再辨析”的过程.这一过程体现了建立概念的必要性、必然性，同时把新概念的本质属性推广到同类事物，使学生掌握概念的本质，延伸思考，从感性思维层面上升到理性思维层面.
环节3.内化新知 初步运用
判断下列函数哪些是关于x的二次函数，如果不是请说明理由.
教师总结关键点：表示函数的自变量代数式是二次整式.
说明4：辨析概念的关键词，以正例、反例为载体，用变式促进学生对概念的理解，不必辨析每个概念的内涵与外延，只有核心概念、可定义的概念需要辨析.通过辨析，学生会掌握判断二次函数的方法，进一步理解二次函数的概念.
环节4：应用新知 提高能力
例1 当k为何值时，函数y=（k-1）xk2 k 1为关于x的二次函数？
例2 如图1，矩形纸片长为30 cm，宽为20 cm，剪去一个边长为x cm的正方形，请回答：图1
（1）写出剩余部分的面积s（cm2）与x（cm）之间的函数关系式;
（2）当x=5时，求s的值;
（3）求自变量x的取值范围.
说明5：通过上述两道例题，学生深入理解了二次函数的概念，同时学习用所学知识解决实际问题.這两道例题体现了数学从生活中来，但最终服务于生活.
环节5：回顾总结 巩固提高
1.我们共同初步学习了一种新的函数模型——二次函数.
2.我们一起类比一次函数、反比例函数，定义了二次函数.
3.经历了数学建模的过程，学生加深了对二次函数的认识.
4.学生提升了对数学思想方法的理性认识，回归现实，用二次函数思想认识生活.
说明6：教师的小结不仅体现了知识点的回归，还渗透了数学思想方法.这是学习方法的总结，是对学生思考、推理建模过程的总结.
三、感悟与反思
概念教学的关键在于揭示概念形成的必要性、必然性、合理性，让学生经历概念的自然生长过程.教师通过问题情境、思路归纳，让学生发现概念的属性，提炼出本质属性，概括形成概念，并用定义表示.属性下的概念教学应该与概念形成的方式接近，概念教学不是“死教”概念，而是让学生心里自然“生长”出概念.
【参考文献】
[1]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版社，2018.
【关键词】初中数学;概念教学;思维生长
数学概念指运用定义的形式揭示数学的某一本质特征，是数学学习的核心.数学概念教学承载着学生数学学习经验的积累、数学思想方法的渗透的任务.李邦河院士说：“数学是玩概念的.”很多学生在解题过程中遇到困惑的本质原因是对概念理解不到位.因此，数学概念教学十分重要.数学概念的种类很多，如何进行属性下的概念教学呢？笔者以“二次函数”概念教学为例，以思维生长角度为基本思路，进行了如下教学设计.
一、属性下的概念理解
将同一类对象的本质属性抽象出来，就形成了概念.属性是固有的、不变的、不以人的意志为转移的.研究事物的过程就是揭示相关事物属性的过程，因此属性下概念教学的核心就是通过问题情境，让学生发现问题，思考问题，抽象出概念的数学属性.在这一过程中，学生感受建立此概念的必要性、必然性.教师通过这一过程培养学生的数学核心素养和关键能力.
二、教学设计与说明
环节1：类比归纳 新知初探
师：老师给出以下问题，请你用函数表达式表示问题中两变量之间的关系.
①一辆汽车从丹阳开往江都，速度是80 km/h，求行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的关系.
②丹阳到江都全程约90 km，求汽车行驶全程所用的时间t（h）与速度v（km/h）之间的关系.
③长方形的周长为16 m，长为 x m，宽为y m，求长方形的长与宽之间的关系.
④一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，求扩大后波纹（圆）的面积s与半径r之间的关系.
⑤用总长为16 m的篱笆围成长方形的生物圈，饲养小兔，求生物圈的面积y（m2）与长 x（m）之间的关系.
⑥计划修建一条长500 km的高速公路，求完成该项目的天数a （天）与每天完成的量b（km）之间的关系.
⑦一面长宽之比为2∶1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框价格是每米30元，额外加工费是45元，求总费用w（元）与镜面宽x（米）之间的关系.
（学生自行解决，教师在黑板上板书答案：
①s=80t ②t=90[]v ③y=8-x ④s=πr2
⑤y=-x2 8x ⑥a=500[]b ⑦w=240x2 180x 45）
问题1 你能将上述关系式分类吗？说一说你的分类结果.
（①③为一次函数;②⑥为反比例函数;④⑤⑦没学过）
问题2 对于已经学过的一次函数、反比例函数，你还记得老师是怎样研究它们的吗？都研究了哪些方面？（学生先说，教师后呈现下表）
师生共同小结回顾：我们根据一次函数、反比例函数等号右边代数式的特征，分别得出了它们的定义;通过列表、描点、连线画出了它们的函数图像;再通过研究图像得出了这两种函数的性质;最后用它们解决实际生活中的问题.
说明1：问题是一切科学探究的起点，一个不会发现问题的人是无法真正参与探究活动的.爱因斯坦说过：“发现和提出一个问题比解决一个问题更重要.”因此渗透分类思想、将众多问题进行分类梳理、梳理旧知、发现新知的过程符合学生的认知规律，符合学生学习知识的生长规律，是培养学生关键能力与必备品格的过程.从知识层面复习一次函数、反比例函数的学习过程，可以为二次函数的学习打下基础.
问题3 除了我们熟悉的函数外，剩下的④⑤⑦这些函数表达式有什么共同特征呢？它们与一次函数、反比例函数表达式有什么区别呢？
（学生观察，讨论，交流：
1.等号右边的代数式都是整式，与反比例函数不同，与一次函数相同;
2.等号右边的代数式都含二次项，与一次函数不同.）
问题4 你能再举出一些这类函数的例子吗？
问题5 这样的例子太多了，你能设计出一个一般形式来表示这类函数吗？（学生尝试设计，交流）
问题6 类比一次函数、反比例函数的定义，请你试着给这类函数下定义.（学生尝试，交流）
教师总结：这样的函数，我们称为“二次函数”.（板书）一般的，形如y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0）
的函数叫二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
说明2：类比是由于两类对象在某些方面相似，得出它们在其他方面也可能相似的结论.类比是一种创造性的数学思想方法.类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视作用.类比是学生正确理解概念的方法之一，通过类比一次函数、反比例函数，学生可以用已有的经验与方法研究未知问题.
环节2：全面剖析 深入新知
通过前面的探索，认真分析二次函数的定义，这一定义告诉了我们哪些本质的东西？你是怎样理解二次函数概念的？
1.“形如”即用形来定义函数的名称.
2.二次函数的一般形式是y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0）.
3.a≠0，b、c可以为0，y=ax2 c.
特殊情况：当b=0时（a≠0），y=ax2 bx;
当c=0时，y=ax2（a≠0）;
当b=0、c=0时，（a≠0）.
4.定义有双重性：
若y是关于x的二次函数，则y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0）;如果y、x满足y=ax2 bx c（a、b、c是常数，且a≠0），则y是關于x的二次函数. 4.对照一般形式介绍二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项;以黑板上的式子⑦w=240x2 180x 45为例，介绍相关项与系数.
5.观察⑦w=240x2 180x 45，思考：
①x取任何值，y是否都有唯一的值与之相对应？
②二次函数自变量x的取值范围是什么？（任意实数）
③若放在具体的总费用w（元）或镜面宽x（米）等实际问题中，自变量x还能取任意实数吗？（在实际问题中，自变量的取值要考虑实际意义）
说明3：对于属性下的概念教学，教师要理清概念的属性，才能根据属性构建学习活动，让学生抽象出概念的属性.构建学习活动的目的是让学生建立概念、理解概念、应用概念，经历“给例子—找属性—举例子—下定义—再辨析”的过程.这一过程体现了建立概念的必要性、必然性，同时把新概念的本质属性推广到同类事物，使学生掌握概念的本质，延伸思考，从感性思维层面上升到理性思维层面.
环节3.内化新知 初步运用
判断下列函数哪些是关于x的二次函数，如果不是请说明理由.
教师总结关键点：表示函数的自变量代数式是二次整式.
说明4：辨析概念的关键词，以正例、反例为载体，用变式促进学生对概念的理解，不必辨析每个概念的内涵与外延，只有核心概念、可定义的概念需要辨析.通过辨析，学生会掌握判断二次函数的方法，进一步理解二次函数的概念.
环节4：应用新知 提高能力
例1 当k为何值时，函数y=（k-1）xk2 k 1为关于x的二次函数？
例2 如图1，矩形纸片长为30 cm，宽为20 cm，剪去一个边长为x cm的正方形，请回答：图1
（1）写出剩余部分的面积s（cm2）与x（cm）之间的函数关系式;
（2）当x=5时，求s的值;
（3）求自变量x的取值范围.
说明5：通过上述两道例题，学生深入理解了二次函数的概念，同时学习用所学知识解决实际问题.這两道例题体现了数学从生活中来，但最终服务于生活.
环节5：回顾总结 巩固提高
1.我们共同初步学习了一种新的函数模型——二次函数.
2.我们一起类比一次函数、反比例函数，定义了二次函数.
3.经历了数学建模的过程，学生加深了对二次函数的认识.
4.学生提升了对数学思想方法的理性认识，回归现实，用二次函数思想认识生活.
说明6：教师的小结不仅体现了知识点的回归，还渗透了数学思想方法.这是学习方法的总结，是对学生思考、推理建模过程的总结.
三、感悟与反思
概念教学的关键在于揭示概念形成的必要性、必然性、合理性，让学生经历概念的自然生长过程.教师通过问题情境、思路归纳，让学生发现概念的属性，提炼出本质属性，概括形成概念，并用定义表示.属性下的概念教学应该与概念形成的方式接近，概念教学不是“死教”概念，而是让学生心里自然“生长”出概念.
【参考文献】
[1]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版社，2018.