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例(2006年广东省基础教育课程改革实验区初中毕业生学业考试10题)如图1,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是 (结果保留根式)
思路和解答:由于小虫是在圆柱表面爬行,故要联想到圆柱的侧面展开图(图1),由于小虫到达圆柱的C点,即侧面展开图的C′点而两点之间线段最短,故为矩形ADC′B′的对角线AC′的长度.因为AB′=AA′=DD′=·2π·=2,AD=2,由勾股定理得AC′==2
变化1 把圆柱换成圆锥
如图2,已知圆锥底面半径为1,母线长为2若一只小虫从A点出发,绕圆锥的表面爬行到VB的中点C,求小虫爬行的最短距离
思路和解答:同上将圆锥沿母线VA展开成扇形VAA′,小虫爬行的最短距离为线段AC′的长,易得∠AVA′=180°,所以∠AVC′=90°由勾股定理得AC′==
变化2 把圆柱换成正方体
已知正方体ABCD-ABCD的边长为2,一只小虫从A点经过表面爬行到CC中点E,则小虫爬行的最短路线的长度是.
思路和解答:小虫从A到E的最短路线都要经过两个面.
(1)经过面ABCD和面BCCB时,将面BCCB以BC为折痕向右下方翻折90°得矩形AB1′C1′D(图3),小虫爬行的最短路线长为AE′,易得AE′=
(2)经过面ABCD和面CCDD时,如图4展开可得AE′=
(3)经过面ABBA和面BCCB时,如图5展开可得AE′==.
其最短距离为
变化3 把圆柱换成长方体
已知在长方体ABCD-ABCD中,AB=6,BC=4,AA=2,一只小虫从A点经过表面爬向CC中点E,则小虫爬行的最短路线的长度是
思路和解答:小虫由A点经表面爬向E点,有以下三种情况:
(1)经过面ABCD和面BCCB时,同上面正方体(图6)可得:AE′===
(2)经过面ABCD和面CCDD时(图7),同上正方体可得:AE′===
(3)经过面ABBA和面BCCB时(图8),同上可得:AE′===.
因为>>,
所以,小虫从A点经过面ABCD爬到面CCDD上的E点所走过的最短路线长是
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
思路和解答:由于小虫是在圆柱表面爬行,故要联想到圆柱的侧面展开图(图1),由于小虫到达圆柱的C点,即侧面展开图的C′点而两点之间线段最短,故为矩形ADC′B′的对角线AC′的长度.因为AB′=AA′=DD′=·2π·=2,AD=2,由勾股定理得AC′==2
变化1 把圆柱换成圆锥
如图2,已知圆锥底面半径为1,母线长为2若一只小虫从A点出发,绕圆锥的表面爬行到VB的中点C,求小虫爬行的最短距离
思路和解答:同上将圆锥沿母线VA展开成扇形VAA′,小虫爬行的最短距离为线段AC′的长,易得∠AVA′=180°,所以∠AVC′=90°由勾股定理得AC′==
变化2 把圆柱换成正方体
已知正方体ABCD-ABCD的边长为2,一只小虫从A点经过表面爬行到CC中点E,则小虫爬行的最短路线的长度是.
思路和解答:小虫从A到E的最短路线都要经过两个面.
(1)经过面ABCD和面BCCB时,将面BCCB以BC为折痕向右下方翻折90°得矩形AB1′C1′D(图3),小虫爬行的最短路线长为AE′,易得AE′=
(2)经过面ABCD和面CCDD时,如图4展开可得AE′=
(3)经过面ABBA和面BCCB时,如图5展开可得AE′==.
其最短距离为
变化3 把圆柱换成长方体
已知在长方体ABCD-ABCD中,AB=6,BC=4,AA=2,一只小虫从A点经过表面爬向CC中点E,则小虫爬行的最短路线的长度是
思路和解答:小虫由A点经表面爬向E点,有以下三种情况:
(1)经过面ABCD和面BCCB时,同上面正方体(图6)可得:AE′===
(2)经过面ABCD和面CCDD时(图7),同上正方体可得:AE′===
(3)经过面ABBA和面BCCB时(图8),同上可得:AE′===.
因为>>,
所以,小虫从A点经过面ABCD爬到面CCDD上的E点所走过的最短路线长是
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文