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摘 要：归纳法和演绎法既是数学形成与发展的两大方式，也是数学教学最重要、最常用的两种方法。从特殊到一般的归纳法能凸显知识的形成过程，有利于学生的理解；从一般到特殊的演绎法能传授系统知识以及解决一类问题，教学效率较高。在实际教学中，教师应践行“以生为本”的教育理念，根据学生的实际情形，灵活选择教学方法，以便最大限度地发挥教学内容的育人价值。以《函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质》一课为例具体说明。
关键词：归纳法 演绎法 教学方法 图像变换
美国著名数学教育家乔治·波利亚说过：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来像是一门试验性的归纳科学。”其实，归纳是演绎的基础，演绎是归纳的深化，数学的形成与发展是在归纳和演绎的交替过程中实现的。
在数学教学中，归纳法和演绎法也是最重要、最常用的两种方法。归纳法是指从具体、个别的研究对象中概括、提炼出概念的本质属性或结论的普遍规律的方法，即“从特殊到一般”。归纳法通常是从已有的直接经验或熟悉的感性认识出发，进行观察与操作、比较与归类、综合与抽象
等活动，从而获得概念、结论。其优势是凸显知识的形成过程，有利于学生的理解；其缺点是耗时较长，容易导致教学效率低下。演绎法是指从本质性、普遍性的研究前提出发，通过分析、推导得出具体概念或个别结论的方法，即“从一般到特殊”。演绎法通常是根据一般对象的属性、规律解决特殊对象的问题。其优势是传授系统知识以及解决一类问题，教学效率较高；其缺点是忽视知识的形成过程以及问题体验感受，不利于学生的理解。
二、教学诊断
上述课例中，教师对三种图像变换的教学方法都是归纳法。本节课的归纳法主要体现在两个方面：一是从函数图像上特殊点的变换法则归纳得到特殊函数图像的变换法则。
其步骤是在函数图像上选取若干特殊点，通过特殊点之间的关系，发现函数图像上所有点之间的关系，进而得到函数图像之间的变换法则。二是从特殊函数图像的变换法则归纳得到一般函数图像的变换法则。其步骤是选取若干相关联的特殊函数，研究特殊函数图像之间的关系，然后得到一般函数图像之间的变换法则。
归纳的过程就是为学生提供思考、探究的过程，在归纳的过程中可以让学生加深对数学概念、数学结论的理解。数学的发现主要靠合情推理，即观察、实验、猜测、验证等归纳方法。知识具有双重意义：既表现为静态的认识成果，又蕴含着动态的认识过程。与成果形态的知识相比，过程形态的知识中蕴含着人类在认识过程中的智力活动（如实践、思维方式等），凝聚着人类的探索行为和推理思考。这就是用归纳法进行教学的核心价值所在。
但是，对三种图像变换采用相同的处理方法，不仅单调，而且没有充分发挥知识的教育价值。如果说对第一种图像变换采用试验、猜想的归纳方法，体现了研究的过程，渗透了数形结合的思想，那么对第二、三种图像变换采取什么处理方法呢？是否“重复昨天的故事”呢？能否差异化处理，从而对学生传递课程的最大化价值，同时帮教师提高教学的艺术性呢？
其实，学生对列表、描点、作图已经“轻车熟路”了，对利用特殊点之间的关系判断图像整体之间的关系也已经多次接触了。例如，初中学习二次函数，高一学习指数函数、对数函数时，都是这样的研究程序：列表、描点，通过特殊点之间的对应关系得到一般图像之间的对应关系，进而借助于专业工具（如几何画板等）整体感受图像之间的变换。因此，这里如果继续采用归纳法教学，显然只是内容上的简单重复、程序上的机械训练，既没有价值，无法达到帮助学生理解知识、培养学生思维能力的目的，也缺乏新意，导致学生学习味同嚼蜡、失去兴趣。
三、教学改进
显然，就本节课中的平移变换而言，相当多的学生在高一其实已经获得了一般结论，因此教师利用演绎法教学，更能发挥知识的教育价值，提升教学的新意。比较好的做法是：从复习必修1学过的指数函数和对数函数图像平移开始，首先从特殊到一般，归纳函数图像之间的平移变换关系，即函数y=f（x）与y=f（x+a），y=f（x）+b之间的平移变换结论；进而从一般到特殊，演绎当具体函数模型是三角函数时，如何从函数y=sin x的图像得到函数y=sin（x+φ），y=sin x+b的图像。这样设计不仅节约了教学时间，提高了教学效率，而且能帮助学生深入理解知识之间的内在联系，把握知识之间的逻辑结构，从而全面发展逻辑推理素养，提升理性思维能力。
其实，对本节课中的另外两种图像变换，如果采取演绎法教学，也更能发挥知识的教育价值，因为其中体现的数学思维层次、蕴含的数学思想方法对锻炼学生的思维能力是十分有帮助的。而且，由于有了前面平移变换的研究模式，这里的演绎法教学不会给学生学习带来突兀的难度。
具体来说，就是在完成第一个图像平移变换之后，趁热打铁，及时引导学生挖掘本质、寻找规律，即函数解析式之间的关系对应着函数图像之间的关系，解析式系数的变化与图像位置的变化之间有内在的联系。
这样在更高的层次上认识数与形的内在联系，才是数学教育最终要达到的目的。
以振幅变换的教学为例，以演绎法为主可以进行如下设计：
问题4 由函数y=f（x）的图像可以平移得到函数y=f（x+a）和y=f（x）+b的图像，那么如何由函数y=f（x）的图像得到函数y=Af（x）（A>0且A≠1）的图像呢？你能借助于点（x，f（x））与点（x，Af（x））之间的关系来解释说明吗？
问题5 具体地，你能叙述由函数y=sin x的图像得到函数y=Asin x（A>0且A≠1）的图像的变换法则吗？
问题6 你能结合几个具体的实例加以验证吗？
在分别完成三种具体的图像变换之后，就要面对本节课最大的难点了，那就是三种变换顺序是否与变换法则有关。这个难点也是加深学生对图像变换理解的载体，又是加深学生对解析式与图像之间内在联系认识的载体。在选择教学方法时，可以把归纳与演绎结合起来，从感性到理性，让学生的思维逐步发展。
总之，本节内容是学生自主探究、合作交流的好题材，让观察、实验、猜想、验证等数学活动得到了淋漓尽致的发挥，体现了归纳法教学的魅力与价值；同时在感性认识的基础上，从解析式的关系这个角度出发，也极大地锻炼了学生的理性思维，为演绎法的采用提供了土壤。可以说，它是逻辑推理素养与理性思维能力培养的极佳素材之一。
参考文献：
[1] 【美】乔治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟等译.北京：科学出版社，2010.
[2] 耿飞飞，郝文武.不同类型数学知识的有效教学方式[J].中国教育学刊，2013（6）.
[3] 陈理宣，黄英杰等.机体、意義和逻辑——论知识的三种结构及其教学策略[J].内江师范学院学报，2014（11）.
[4] 王瑾，史宁中等.中小学数学中的归纳推理：教育价值、教材设计与教学实施[J].课程·教材·教法，2011（2）.
关键词：归纳法 演绎法 教学方法 图像变换
美国著名数学教育家乔治·波利亚说过：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来像是一门试验性的归纳科学。”其实，归纳是演绎的基础，演绎是归纳的深化，数学的形成与发展是在归纳和演绎的交替过程中实现的。
在数学教学中，归纳法和演绎法也是最重要、最常用的两种方法。归纳法是指从具体、个别的研究对象中概括、提炼出概念的本质属性或结论的普遍规律的方法，即“从特殊到一般”。归纳法通常是从已有的直接经验或熟悉的感性认识出发，进行观察与操作、比较与归类、综合与抽象
等活动，从而获得概念、结论。其优势是凸显知识的形成过程，有利于学生的理解；其缺点是耗时较长，容易导致教学效率低下。演绎法是指从本质性、普遍性的研究前提出发，通过分析、推导得出具体概念或个别结论的方法，即“从一般到特殊”。演绎法通常是根据一般对象的属性、规律解决特殊对象的问题。其优势是传授系统知识以及解决一类问题，教学效率较高；其缺点是忽视知识的形成过程以及问题体验感受，不利于学生的理解。
二、教学诊断
上述课例中，教师对三种图像变换的教学方法都是归纳法。本节课的归纳法主要体现在两个方面：一是从函数图像上特殊点的变换法则归纳得到特殊函数图像的变换法则。
其步骤是在函数图像上选取若干特殊点，通过特殊点之间的关系，发现函数图像上所有点之间的关系，进而得到函数图像之间的变换法则。二是从特殊函数图像的变换法则归纳得到一般函数图像的变换法则。其步骤是选取若干相关联的特殊函数，研究特殊函数图像之间的关系，然后得到一般函数图像之间的变换法则。
归纳的过程就是为学生提供思考、探究的过程，在归纳的过程中可以让学生加深对数学概念、数学结论的理解。数学的发现主要靠合情推理，即观察、实验、猜测、验证等归纳方法。知识具有双重意义：既表现为静态的认识成果，又蕴含着动态的认识过程。与成果形态的知识相比，过程形态的知识中蕴含着人类在认识过程中的智力活动（如实践、思维方式等），凝聚着人类的探索行为和推理思考。这就是用归纳法进行教学的核心价值所在。
但是，对三种图像变换采用相同的处理方法，不仅单调，而且没有充分发挥知识的教育价值。如果说对第一种图像变换采用试验、猜想的归纳方法，体现了研究的过程，渗透了数形结合的思想，那么对第二、三种图像变换采取什么处理方法呢？是否“重复昨天的故事”呢？能否差异化处理，从而对学生传递课程的最大化价值，同时帮教师提高教学的艺术性呢？
其实，学生对列表、描点、作图已经“轻车熟路”了，对利用特殊点之间的关系判断图像整体之间的关系也已经多次接触了。例如，初中学习二次函数，高一学习指数函数、对数函数时，都是这样的研究程序：列表、描点，通过特殊点之间的对应关系得到一般图像之间的对应关系，进而借助于专业工具（如几何画板等）整体感受图像之间的变换。因此，这里如果继续采用归纳法教学，显然只是内容上的简单重复、程序上的机械训练，既没有价值，无法达到帮助学生理解知识、培养学生思维能力的目的，也缺乏新意，导致学生学习味同嚼蜡、失去兴趣。
三、教学改进
显然，就本节课中的平移变换而言，相当多的学生在高一其实已经获得了一般结论，因此教师利用演绎法教学，更能发挥知识的教育价值，提升教学的新意。比较好的做法是：从复习必修1学过的指数函数和对数函数图像平移开始，首先从特殊到一般，归纳函数图像之间的平移变换关系，即函数y=f（x）与y=f（x+a），y=f（x）+b之间的平移变换结论；进而从一般到特殊，演绎当具体函数模型是三角函数时，如何从函数y=sin x的图像得到函数y=sin（x+φ），y=sin x+b的图像。这样设计不仅节约了教学时间，提高了教学效率，而且能帮助学生深入理解知识之间的内在联系，把握知识之间的逻辑结构，从而全面发展逻辑推理素养，提升理性思维能力。
其实，对本节课中的另外两种图像变换，如果采取演绎法教学，也更能发挥知识的教育价值，因为其中体现的数学思维层次、蕴含的数学思想方法对锻炼学生的思维能力是十分有帮助的。而且，由于有了前面平移变换的研究模式，这里的演绎法教学不会给学生学习带来突兀的难度。
具体来说，就是在完成第一个图像平移变换之后，趁热打铁，及时引导学生挖掘本质、寻找规律，即函数解析式之间的关系对应着函数图像之间的关系，解析式系数的变化与图像位置的变化之间有内在的联系。
这样在更高的层次上认识数与形的内在联系，才是数学教育最终要达到的目的。
以振幅变换的教学为例，以演绎法为主可以进行如下设计：
问题4 由函数y=f（x）的图像可以平移得到函数y=f（x+a）和y=f（x）+b的图像，那么如何由函数y=f（x）的图像得到函数y=Af（x）（A>0且A≠1）的图像呢？你能借助于点（x，f（x））与点（x，Af（x））之间的关系来解释说明吗？
问题5 具体地，你能叙述由函数y=sin x的图像得到函数y=Asin x（A>0且A≠1）的图像的变换法则吗？
问题6 你能结合几个具体的实例加以验证吗？
在分别完成三种具体的图像变换之后，就要面对本节课最大的难点了，那就是三种变换顺序是否与变换法则有关。这个难点也是加深学生对图像变换理解的载体，又是加深学生对解析式与图像之间内在联系认识的载体。在选择教学方法时，可以把归纳与演绎结合起来，从感性到理性，让学生的思维逐步发展。
总之，本节内容是学生自主探究、合作交流的好题材，让观察、实验、猜想、验证等数学活动得到了淋漓尽致的发挥，体现了归纳法教学的魅力与价值；同时在感性认识的基础上，从解析式的关系这个角度出发，也极大地锻炼了学生的理性思维，为演绎法的采用提供了土壤。可以说，它是逻辑推理素养与理性思维能力培养的极佳素材之一。
参考文献：
[1] 【美】乔治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟等译.北京：科学出版社，2010.
[2] 耿飞飞，郝文武.不同类型数学知识的有效教学方式[J].中国教育学刊，2013（6）.
[3] 陈理宣，黄英杰等.机体、意義和逻辑——论知识的三种结构及其教学策略[J].内江师范学院学报，2014（11）.
[4] 王瑾，史宁中等.中小学数学中的归纳推理：教育价值、教材设计与教学实施[J].课程·教材·教法，2011（2）.