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在数学教学中,教师应注重培养学生用数学思想去解决实际问题的意识与能力。要做到这一点,关键是培养学生的问题意识。我在培训学生参加数学竞赛时发现,高中生思维敏捷,信息渠道广泛,一旦他们的兴趣和积极性被调动起来,所提出的问题远远超出我们的想象。这也引发另一个问题,如何通过教学策略保护学生的问题意识,引导学生发现问题、提出问题。我以高一年级《指数函数》一课为例,尝试将网络、几何画板等信息技术工具引入数学课堂,实现评价渠道和评价手段的多元化,使学生的问题意识和创新思维得以迸发。
一、教学目标
知识与技能:掌握指数函数的概念;掌握指数函数的图像和性质,以及简单应用,使学生获得研究函数的规律和方法;体会数形结合思想、分类讨论思想,增强学生识图用图的能力。
过程与方法:让学生自主探究,体验从特殊到一般、再到特殊的认知过程;通过学生亲手实践、互动交流,培养创新意识,提高抽象、概括、分析的能力。
情感、态度与价值观:从具体事例出发归纳总结出一般性结论的方法,有利于提高学生分析问题及概括总结的能力,体会发现的乐趣;逐步养成严谨的学风、实事求是的科学态度和独立思考、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点
重点:研究指数函数的图像和性质。
难点:明晰底数a对函数图像的影响。
三、教学过程
1.课前设疑,制造悬念
课前在学校网站论坛上,我布置了两个问题作为课前预习。(1)折纸问题。让学生动手折纸观察:①对折的次数x与所得的层数y之间的关系;②对折的次数x与折后面积y之间的关系。(2)《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。请写出取x次后,木棰的剩留量y与x的函数关系式。
学生在课前登录论坛各抒己见,发表自己对这两个问题的结论,同时将自己的问题带到课堂上。学生讨论之后,我回帖总结并有意制造悬念:在以上两个实例中,一个函数是y=2x,另一个函数是y=()x,我们可以看到这两个函数与前面研究的函数有所区别。从形式上是幂的形式,且自变量x均在指数的位置上。我们把形如这样的函数称为指数函数。其函数关系式为y=ax(a>0,a≠1),定义域为x∈R。这里为什么要限制a>0且a≠1?明天的数学课,我们来共同揭晓……
设计意图:学生初中就接触过一次函数、二次函数,本学期再次学习这些函数时,学生已有一定的知识储备,但对于指数函数而言,完全是陌生的认知领域。课本虽然也给出了三个引例,但与学生的认知存在一定距离,因此我在学生预习时准备了折纸问题。这个引例不仅贴近学生的生活实际,而且便于学生动手操作与观察,使学生更快地接触到问题的内核。
将问题放在论坛上是为了让每个学生对问题的看法能够公开化,能随时随地讨论问题。同时,也便于通过跟帖的形式进行相互评价与启发,让他们对接下来的这堂课有所期待。
2.发现问题,深化概念
问题1:判断下列函数是否为指数函数——y=-3x、y=31/x 、y=31+x、y=(-3)x、y=3-x=(1/3)x。(点名让学生回答问题)
设计意图:通过对这些函数的判断,进一步深化学生对指数函数概念的理解。指数函数的概念是形式定义,即在函数的表达式y=ax(a>0,a≠1)必须满足:ax的前面系数为1,自变量x在指数位置,a>0且a≠1。
师:大家在对y=(-3)x进行判定时,是否考虑过指数函数的概念中为什么要规定a>0且a≠1?
学生自主分析,互相补充。a<0时,y=(-3)x对于x=1/2、1/4、……(-3)x无意义。a=0,x>0时,ax=0;x≤0时无意义。a=1时,ax=1x=1是常量,没有研究的必要。
设计意图:通过问题1中对a的范围的具体分析,有利于学生掌握指数函数的一般形式,同时也为后面研究函数的图像和性质埋下伏笔。
3.师生、生生合作,深入研究图像,加深理解性质
指数函数是学生在学习了函数的基本概念和性质后,接触到的第一个具体函数,所以在这部分的安排上,我更注重学生思维习惯的养成。我在这部分设置了两个环节。
环节一:学生自主描点作图,初步感受指数函数的性质
描点作图是学习函数性质的必经之路。我选择让学生对函数y=2x、y=3x、y=(1/2)x、y=(1/3)x作图。手工列表描点耗时,为了节约时间,我借助Excel列表,给出每个函数的十组数据,让学生自由选择函数,列表描点,连点成线。取点时,我提醒学生由于不具备对称性,故x的值应有正有负,且由于单调性不明确,所取点的个数不能太少,至少六组数据。
设计意图:在本环节中,我先让学生对一些特殊的指数函数描点作图,学生在此过程中会遇到各种问题,从而体会从问题提出到解决的过程。
环节二:通过几何画板,演示底数a取不同值时,函数图像的变化特征,归纳总结y=ax的图像与性质
这是本节课教学的重点环节。师生共同参与、总结探索指数函数的定义域、值域、单调性、增减性等问题。同时提醒学生研究一个具体的函数都要从这几个方面来展开。在此过程中,我注意引导学生由“看图说话”的水平提升到“数形结合”的推理层面上来。为帮助学生记忆,我用一句精彩的口诀结束性质的探究:左右无限上冲天,永与横轴不沾边;大1增,小1减,图像恒过(0,1)点。
设计意图:这一过程是师生共同探索、突破教学难点的过程。我鼓励每一个学生参与学习活动,有条理地、准确地表达数学内容,同时培养学生独立思考的习惯。
4.用问题串联,强化训练,落实掌握
例题:比较下列各题中两值的大小
(1)(4/3)-0.23与(4/3)-0.25(2)(0.8)2.5与(0.8)3
问题引导:同底、指数不同的指数函数如何比较大小?(利用函数的单调性)
(3)()1.8与()1.8(4)(8/7)3/7与(7/8)5/12
问题引导:不同底的指数函数如何比较大小?(可化同底或利用单调性)
……
设计意图:这个环节提供了“问题串”,层层推进,目的是建立学生分类讨论的思想,培养学生灵活运用图像的能力。
5.归纳总结,拓展深化
请学生从知识和方法上谈谈对本节课的认识与收获。(1)学习了指数函数的定义、图像、性质和应用,抓住底数a>1和1>a>0时函数图像的不同特征和性质是学好本节课的关键;(2)经历从特殊到一般、再到特殊的认知过程,从观察中获得知识,同时了解指数函数的实际背景和和研究函数的基本方法,体会分类讨论思想、数形结合思想。
6.布置作业,课后延伸(略)
四、教学反思
评价是为了促进学生的全面发展,确认学生的进步和达到的学业水平,诊断学生学习过程中存在的问题。在本节课中,过程性评价从课前预习开始,在教学过程的第三个阶段——师生、生生合作学习达到峰值。在评价内容上,我不仅强调知识点的理解,更着重对学生的方法、情感、态度与价值观,独立思考的思维习惯,合作交流的意识以及数学认知的发展水平等方面做出客观积极的评价。无论是课前“预热”,还是课中自主与合作并行的探索研究,教师评价、自我评价、同伴评价贯穿始终。通过师生的交流、问题串的设置、网络论坛发言和几何画板的作图等教学活动,对学生的学习态度与方法,合作交流与数学表达,独立思考与应用意识,提出、分析与解决问题的能力进行客观评价。
(作者单位:北京市第十八中学)
一、教学目标
知识与技能:掌握指数函数的概念;掌握指数函数的图像和性质,以及简单应用,使学生获得研究函数的规律和方法;体会数形结合思想、分类讨论思想,增强学生识图用图的能力。
过程与方法:让学生自主探究,体验从特殊到一般、再到特殊的认知过程;通过学生亲手实践、互动交流,培养创新意识,提高抽象、概括、分析的能力。
情感、态度与价值观:从具体事例出发归纳总结出一般性结论的方法,有利于提高学生分析问题及概括总结的能力,体会发现的乐趣;逐步养成严谨的学风、实事求是的科学态度和独立思考、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点
重点:研究指数函数的图像和性质。
难点:明晰底数a对函数图像的影响。
三、教学过程
1.课前设疑,制造悬念
课前在学校网站论坛上,我布置了两个问题作为课前预习。(1)折纸问题。让学生动手折纸观察:①对折的次数x与所得的层数y之间的关系;②对折的次数x与折后面积y之间的关系。(2)《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。请写出取x次后,木棰的剩留量y与x的函数关系式。
学生在课前登录论坛各抒己见,发表自己对这两个问题的结论,同时将自己的问题带到课堂上。学生讨论之后,我回帖总结并有意制造悬念:在以上两个实例中,一个函数是y=2x,另一个函数是y=()x,我们可以看到这两个函数与前面研究的函数有所区别。从形式上是幂的形式,且自变量x均在指数的位置上。我们把形如这样的函数称为指数函数。其函数关系式为y=ax(a>0,a≠1),定义域为x∈R。这里为什么要限制a>0且a≠1?明天的数学课,我们来共同揭晓……
设计意图:学生初中就接触过一次函数、二次函数,本学期再次学习这些函数时,学生已有一定的知识储备,但对于指数函数而言,完全是陌生的认知领域。课本虽然也给出了三个引例,但与学生的认知存在一定距离,因此我在学生预习时准备了折纸问题。这个引例不仅贴近学生的生活实际,而且便于学生动手操作与观察,使学生更快地接触到问题的内核。
将问题放在论坛上是为了让每个学生对问题的看法能够公开化,能随时随地讨论问题。同时,也便于通过跟帖的形式进行相互评价与启发,让他们对接下来的这堂课有所期待。
2.发现问题,深化概念
问题1:判断下列函数是否为指数函数——y=-3x、y=31/x 、y=31+x、y=(-3)x、y=3-x=(1/3)x。(点名让学生回答问题)
设计意图:通过对这些函数的判断,进一步深化学生对指数函数概念的理解。指数函数的概念是形式定义,即在函数的表达式y=ax(a>0,a≠1)必须满足:ax的前面系数为1,自变量x在指数位置,a>0且a≠1。
师:大家在对y=(-3)x进行判定时,是否考虑过指数函数的概念中为什么要规定a>0且a≠1?
学生自主分析,互相补充。a<0时,y=(-3)x对于x=1/2、1/4、……(-3)x无意义。a=0,x>0时,ax=0;x≤0时无意义。a=1时,ax=1x=1是常量,没有研究的必要。
设计意图:通过问题1中对a的范围的具体分析,有利于学生掌握指数函数的一般形式,同时也为后面研究函数的图像和性质埋下伏笔。
3.师生、生生合作,深入研究图像,加深理解性质
指数函数是学生在学习了函数的基本概念和性质后,接触到的第一个具体函数,所以在这部分的安排上,我更注重学生思维习惯的养成。我在这部分设置了两个环节。
环节一:学生自主描点作图,初步感受指数函数的性质
描点作图是学习函数性质的必经之路。我选择让学生对函数y=2x、y=3x、y=(1/2)x、y=(1/3)x作图。手工列表描点耗时,为了节约时间,我借助Excel列表,给出每个函数的十组数据,让学生自由选择函数,列表描点,连点成线。取点时,我提醒学生由于不具备对称性,故x的值应有正有负,且由于单调性不明确,所取点的个数不能太少,至少六组数据。
设计意图:在本环节中,我先让学生对一些特殊的指数函数描点作图,学生在此过程中会遇到各种问题,从而体会从问题提出到解决的过程。
环节二:通过几何画板,演示底数a取不同值时,函数图像的变化特征,归纳总结y=ax的图像与性质
这是本节课教学的重点环节。师生共同参与、总结探索指数函数的定义域、值域、单调性、增减性等问题。同时提醒学生研究一个具体的函数都要从这几个方面来展开。在此过程中,我注意引导学生由“看图说话”的水平提升到“数形结合”的推理层面上来。为帮助学生记忆,我用一句精彩的口诀结束性质的探究:左右无限上冲天,永与横轴不沾边;大1增,小1减,图像恒过(0,1)点。
设计意图:这一过程是师生共同探索、突破教学难点的过程。我鼓励每一个学生参与学习活动,有条理地、准确地表达数学内容,同时培养学生独立思考的习惯。
4.用问题串联,强化训练,落实掌握
例题:比较下列各题中两值的大小
(1)(4/3)-0.23与(4/3)-0.25(2)(0.8)2.5与(0.8)3
问题引导:同底、指数不同的指数函数如何比较大小?(利用函数的单调性)
(3)()1.8与()1.8(4)(8/7)3/7与(7/8)5/12
问题引导:不同底的指数函数如何比较大小?(可化同底或利用单调性)
……
设计意图:这个环节提供了“问题串”,层层推进,目的是建立学生分类讨论的思想,培养学生灵活运用图像的能力。
5.归纳总结,拓展深化
请学生从知识和方法上谈谈对本节课的认识与收获。(1)学习了指数函数的定义、图像、性质和应用,抓住底数a>1和1>a>0时函数图像的不同特征和性质是学好本节课的关键;(2)经历从特殊到一般、再到特殊的认知过程,从观察中获得知识,同时了解指数函数的实际背景和和研究函数的基本方法,体会分类讨论思想、数形结合思想。
6.布置作业,课后延伸(略)
四、教学反思
评价是为了促进学生的全面发展,确认学生的进步和达到的学业水平,诊断学生学习过程中存在的问题。在本节课中,过程性评价从课前预习开始,在教学过程的第三个阶段——师生、生生合作学习达到峰值。在评价内容上,我不仅强调知识点的理解,更着重对学生的方法、情感、态度与价值观,独立思考的思维习惯,合作交流的意识以及数学认知的发展水平等方面做出客观积极的评价。无论是课前“预热”,还是课中自主与合作并行的探索研究,教师评价、自我评价、同伴评价贯穿始终。通过师生的交流、问题串的设置、网络论坛发言和几何画板的作图等教学活动,对学生的学习态度与方法,合作交流与数学表达,独立思考与应用意识,提出、分析与解决问题的能力进行客观评价。
(作者单位:北京市第十八中学)