摘 要:《立体几何》主要研究两个方面的问题,第一方面是有关夹角的问题,第二方面是有关距离的问题。而向量作为工具的引入,它具有自由平移现时保持不变的特性,使得立体几何应用代数方法来进行研究,用代数方法进行运算,从而对空间想象能力降低了。而向量的引入,仅仅围绕两方面进行:一方面昌有关垂直的问题,另一方面是有关平行的问题,本人就立体几何用向量方法来求解有以下几点心得。
　　关键词:向量;法向量
　　
　　一、由平面向量到空间向量
　　
　　平面向量主要研究的是二维的,立体几何所研究的是三维的,它由二维上升到三维,增加了一个竖坐标。
　　(1)平面向量有关夹角问题
　　a→•b→=a→•b→•coscos=a→•b→a→•b→
　　a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)cos=x1•x2+y1•y2x21+y21•x22+y22
　　
　　(2)有关投影的概念
　　a→在b→方向上的投影OM→=?
　　OM→OA→=cosOM→=OA→•cos=a→•a→•b→a→•b→=a→•b→b→
　　a→在b→方向上的投影为a→•b→b→
　　b→在a→方向上的投影为a→•b→a→
　　
　　二、立体几何所研究的问题
　　
　　(一)夹角问题
　　1、异面直线所成的角
　　cosθ=m→•n→m→•n→=x1x2+y1y2+z1z2x21+y21+Z21x22+y22+z22
　　范圍(00,900]
　　特例:证明两条直线aba→•b→=0
　　2、线面角(00,900]
　　cos(π2-θ)=PA→•n→PA→•n→=斜向量•法向量斜向量•法向量
　　∴sinθ=PA→•n→n→•PA→=x1x2+y1y2+z1z2x21+y21+Z21x22+y22+z22
　　特例:证明线面AB→n→AB→•n→=0
　　3、二面角[00,1800)若二面角为锐角θ=arccos<m→•n→>,cos<m→•n→>=m→•n→m→•n→
　　若二面角为钝角θ=π-arccos<m→•n→>
　　特殊情况:αβm→n→m→•n→=0.(m→为β的法向量,n→为α的法向量)
　　(二)有关距离(转化为法向量新闻自由的投影)
　　1、点面距离2、异面直线的距离
　　3、结与面的距离4、面与面的距离
　　基本方法:构造斜向量,求出平面的法向量,转化为斜向量在法向量方向上的投影,即
　　d=a→•n→n→=x1x2+y1y2+z1z2x22+y22+Z22,n→=x2+y2+z2
　　
　　三、解立体几何问题的步骤
　　
　　1、建立适当的空间坐标系,准确求出各点的坐标。
　　(1)建系:首先在底面找到两条互相垂直的直线作为X轴、Y轴,然后根据线面垂直或面面垂直找到Z轴,最后将Z轴平移到X轴、Y轴的交点即可。
　　(2)找坐标:选找X轴、Y轴,底面的点的坐标,然后根据找投影的方法找到其它点的坐标。
　　2、准确求出平面的法向量。
　　3、准确应用夹角与距离公式。
　　四、求法向量的基本方法
　　方法一、在平面内两直线
　　a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2),
　　设法向量n→=(x,y,z)xx1+yy1+zz1=0xx2+yy2+zz2=0令z=1则x=?y=?z=?
　　方法二、有双0因子法
　　a→=(1,0,2),b→=(1,2,0),设法向量m→=(-2,y,1),由m→•b→=0-2×1+2y+1×0=0
　　方法三、利用卡式积求法向量
　　a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2),设为
　　m→法向量,m→=y1,z1y2,z2,-x1,z1x2,z2,x1,y1x2,y2即可
　　总之,在求法向量时,如果能够优先处理法向量,那么就可以起到很好的效果。结合下面这个高考题来进行说明,不当之处,恳请指教。
　　2006年数学高考是题(20)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D,E,分别为BB1,AC1的中点。
　　(1)证明:ED异面直线BB1与AC1与的公垂线;
　　(11)设AA1=AC=2AB求二面角A1-AD-C1的大小
　　(1)证明:如图,建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AC的边长为,OB的边长为,CC1的边长为2C,各点坐标如图所示。
　　∵ED→=(0,b,0),BB→1=(0,0,2c),AC→1=(-2a,0,2c)
　　又∵ED→•BB→1=0×0+b×0+0×2c=0
　　∴ED→BB→1即EDBB1
　　∵ED→•AC→1=0×(-2a)+b×0+0×2c=0
　　∴EDAC1
　　∵ED同时与BB1,AC1相交
　　∴ED为异面直线BB1与AC1的公垂线
　　(11)不妨设AB=2,则AA1=AC=2,各点坐标如图所示先求平面A1AD的法向量n→
　　∵A1A→=(0,0,-2),AD→(-1,1,1)
　　∴A1A→×AD→=0,-21,1,-0,-2-1,1,0,0-1,1=(2,2,0)=2(1,1,0)
　　∴n→=(1,1,0)
　　再求平面adc1的法向量m→
　　AD→=(-1,1,1),AC→1=(-2,0,2)
　　设法向量m→=(1,y,1)
　　则AD→•m→=0-1+y+1=0
　　∴y=0,m→(1,0,1)
　　∵cosθ=m→•n→m→•n→=12•2=12
　　∴二面角A1-AD-C1的大小为60°。
　　
　　参考文献:
　　[1]王斌,数学教学中的观察能力的培养[J]宁德师专学报,2007(3);296—297.