论文部分内容阅读
江泽民同志曾说：“创新是一个民族的灵魂，它关系到一个民族的生死存亡” .而且“倡导探究性学习”又是高中数学课标课程实施的基本理念之一，其目的就是培养学生的创新能力和实践能力.通过探究性学习， 能有效地提高学生的数学素养和创造性解决问题的能力.
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学探究是指围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程，这过程包括观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明.”随着课程改革的不断推进，以探究性学习为命题背景的探究性试题在数学高考中出现的越来越多.由于书面测试条件的限制，这类试题往往以科学探究活动的某一环节或几个环节为命题思路，考查学生对探究性学习所需要的科学方法和思维能力的掌握程度，同时以科学探究活动为载体考查学生的数学“四基”(指数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验).下面针对2011年全国理科数学高考中出现的探究性试题进行分类解析，以供进行数学探究性教学与高考复习时参考.
1 高考探究性试题分析
1.1寻找规律，猜想探究型
这类题目是通过所给的关于数字、符号、式子、图形等已知条件， 要求学生观察、试验和想象，发现认识蕴涵其中的数学规律，再将数学问题通过归纳总结，最终猜想并证明或计算其一般性结论，也就是由数学现象发现数学本质.
例1 （2011年高考湖南卷·理16）对于n?
解析 （1）因12，故
；
k?个，……有个0的有C1k?1
命题立意 本小题主要考查计数原理及组合知识，考查学生的归纳推理以及化归与转化能力.类似的考题还有，2011年高考陕西卷·理13、山东卷·理15.
1.2 理解新规，迁移探究型
该题型通常是指命题者给出以高数为背景的新概念或新规定，要求学生理解掌握概念，并运用它去解决实际问题，最关键就是在于能否真正理解概念的内涵.
例2 （2011年高考天津卷·理8）对实数和b，定义运算“
?<<?或2c≤?，应选B.
命题立意 本小题主要考查分段函数及函数图
象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用.类似的考题还有，2011年高考广东卷·理8、山东卷·理12、四川卷·理16.
1.3 数形结合，直观探究型
这类题主要考查学生能否将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与直观思维相结合，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合.
例3 （2011年高考陕西卷·理6）函数
( )cos( )
命题立意 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，以及数形结合解决问题的能力.类似的考题还有，2011年高考全国卷·理12、安徽卷·理10、天津卷·理8、山东卷·理9.
1.4 实践生活，建模探究型
这类题型主要考查学生的实践能力.让学生从所给的现实生活问题或情景出发，提炼出相关的数量关系，构造出合理的数学模型，运用所学的数学知识创造性解决问题.
例4 （2011年高考陕西卷·理14) 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____米.
解析 此题的关键是要使每位同学往返所走的路程总和最小，则需将树放置在第10或第11号树坑旁.答案：2000.
命题立意 本题主要考查学生分析问题的能力以及数列的求和问题.类似的考题还有，2011年高考广东卷·理13、上海卷·理9、陕西卷·理20.
1.5 讨论分类，开放探究型
开放性试题改变传统试题的结构或解题途径，使试题条件不足或过剩，答案不唯一，从而使思维指向不单一，解题途径多样化.开放性试题由于增加了许多可变因素，试题结论不确定，能引导同学们灵活地运用所学知识，从不同角度探求解决问题的方法，有利于考查同学们的探究能力、创新能力和实践能力. 但开放性试题的主要弊病在于其评分带有比较明显的主观随意性，于是2011年出现的都是存在性的半开放性试题.
例5 （2011年高考辽宁卷·理20) 如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点 AD的比值；
（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由.
解析 （Ⅰ）略；
（Ⅱ）设直线:(| |l xt ta)=<，t时的不符合题意.
AN
命题立意 本题主要考查学生分类讨论数学思想以及直线、椭圆的相关知识，还有存在性问题的求解思路问题.对考生分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求，有较高的区分度，能较好地反映数学试卷的选拔功能.类似的考题还有，2011年高考福建卷·理20、湖南卷·理21、北京卷·理20、浙江卷·理20、陕西卷·理21、山东卷·理22、重庆卷·理20.
2 思考
（1）充分利用教材，依据教材内容设计相应的探究题，组织学生训练
探究性问题与常规的课本习题不存在本质的区别，教师可将教材中的某些例题或习题引导到更深入的探究层次.为了使教学过程更富于启发性，要求教师适时地把学生引导到探究的道路上去.
例如，两角和正切公式的探究式变式教学，当学生学习了两角和的正切公式：
() () (里所列的公式，其变量在使等式有意义的取值范围内，以下同)，接着，引导学生探究公式是否有特殊情形，是否有拓广情况得到
变式1 () () (
????.
引申变式4得到
变式5 ()kkαβγ++=π∈Z，
tantantantantantanαβγαβ++=γ.
引导学生从数学美的角度对公式进行变形探究得到
变式6 tantantan()(1 tan tan )αβαβαβ+=+?.
在这个例子中，由于所探究的问题与知识固着点之间的潜在距离把握适度(较大)，因此探究效果较好.它使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质.从“不变”的本质中探索“变”的规律.即受到了数学美的熏陶，又培养了发散思维能力.同时还使学生体验到新知识是如何从已知知识逐渐演变或发展而来，从而理解知识的来龙去脉，形成良好的认知结构.在例、习题的探究式变式教学中，要注意一题多解、一题多变、多题归一等方面的探究，培养学生灵活解决问题的能力和创造性思维能力.
（2）利用高考已经出现的类似题型进行规范训练，集体讨论，充分交流与合作，争取收到举一返三的效果；同时精选各地模拟考试中的题目进行强化训练
）利用高考已经出现的类似题型进行规范训练，集体讨论，充分交流与合作，争取收到举一返三的效果；同时精选各地模拟考试中的题目进行强化训练
总之，数学高考中的探究性试题试着从量化的角度评价学生探究学习的方法和能力.在高考测试的有效导向下，高中数学教师在日常教学实践中将会更加重视引导学生进行探究性学习，积极创造机会鼓励学生踊跃参加探究实践活动，让学生真正经历科学探究过程并掌握科学探究的方法、获得数学知识、培养科学态度和科学精神，逐步提高创新意识、实践与探究能力.
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学探究是指围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程，这过程包括观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明.”随着课程改革的不断推进，以探究性学习为命题背景的探究性试题在数学高考中出现的越来越多.由于书面测试条件的限制，这类试题往往以科学探究活动的某一环节或几个环节为命题思路，考查学生对探究性学习所需要的科学方法和思维能力的掌握程度，同时以科学探究活动为载体考查学生的数学“四基”(指数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验).下面针对2011年全国理科数学高考中出现的探究性试题进行分类解析，以供进行数学探究性教学与高考复习时参考.
1 高考探究性试题分析
1.1寻找规律，猜想探究型
这类题目是通过所给的关于数字、符号、式子、图形等已知条件， 要求学生观察、试验和想象，发现认识蕴涵其中的数学规律，再将数学问题通过归纳总结，最终猜想并证明或计算其一般性结论，也就是由数学现象发现数学本质.
例1 （2011年高考湖南卷·理16）对于n?
解析 （1）因12，故
；
k?个，……有个0的有C1k?1
命题立意 本小题主要考查计数原理及组合知识，考查学生的归纳推理以及化归与转化能力.类似的考题还有，2011年高考陕西卷·理13、山东卷·理15.
1.2 理解新规，迁移探究型
该题型通常是指命题者给出以高数为背景的新概念或新规定，要求学生理解掌握概念，并运用它去解决实际问题，最关键就是在于能否真正理解概念的内涵.
例2 （2011年高考天津卷·理8）对实数和b，定义运算“
?<<?或2c≤?，应选B.
命题立意 本小题主要考查分段函数及函数图
象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用.类似的考题还有，2011年高考广东卷·理8、山东卷·理12、四川卷·理16.
1.3 数形结合，直观探究型
这类题主要考查学生能否将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与直观思维相结合，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合.
例3 （2011年高考陕西卷·理6）函数
( )cos( )
命题立意 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，以及数形结合解决问题的能力.类似的考题还有，2011年高考全国卷·理12、安徽卷·理10、天津卷·理8、山东卷·理9.
1.4 实践生活，建模探究型
这类题型主要考查学生的实践能力.让学生从所给的现实生活问题或情景出发，提炼出相关的数量关系，构造出合理的数学模型，运用所学的数学知识创造性解决问题.
例4 （2011年高考陕西卷·理14) 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____米.
解析 此题的关键是要使每位同学往返所走的路程总和最小，则需将树放置在第10或第11号树坑旁.答案：2000.
命题立意 本题主要考查学生分析问题的能力以及数列的求和问题.类似的考题还有，2011年高考广东卷·理13、上海卷·理9、陕西卷·理20.
1.5 讨论分类，开放探究型
开放性试题改变传统试题的结构或解题途径，使试题条件不足或过剩，答案不唯一，从而使思维指向不单一，解题途径多样化.开放性试题由于增加了许多可变因素，试题结论不确定，能引导同学们灵活地运用所学知识，从不同角度探求解决问题的方法，有利于考查同学们的探究能力、创新能力和实践能力. 但开放性试题的主要弊病在于其评分带有比较明显的主观随意性，于是2011年出现的都是存在性的半开放性试题.
例5 （2011年高考辽宁卷·理20) 如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点 AD的比值；
（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由.
解析 （Ⅰ）略；
（Ⅱ）设直线:(| |l xt ta)=<，t时的不符合题意.
AN
命题立意 本题主要考查学生分类讨论数学思想以及直线、椭圆的相关知识，还有存在性问题的求解思路问题.对考生分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求，有较高的区分度，能较好地反映数学试卷的选拔功能.类似的考题还有，2011年高考福建卷·理20、湖南卷·理21、北京卷·理20、浙江卷·理20、陕西卷·理21、山东卷·理22、重庆卷·理20.
2 思考
（1）充分利用教材，依据教材内容设计相应的探究题，组织学生训练
探究性问题与常规的课本习题不存在本质的区别，教师可将教材中的某些例题或习题引导到更深入的探究层次.为了使教学过程更富于启发性，要求教师适时地把学生引导到探究的道路上去.
例如，两角和正切公式的探究式变式教学，当学生学习了两角和的正切公式：
() () (里所列的公式，其变量在使等式有意义的取值范围内，以下同)，接着，引导学生探究公式是否有特殊情形，是否有拓广情况得到
变式1 () () (
????.
引申变式4得到
变式5 ()kkαβγ++=π∈Z，
tantantantantantanαβγαβ++=γ.
引导学生从数学美的角度对公式进行变形探究得到
变式6 tantantan()(1 tan tan )αβαβαβ+=+?.
在这个例子中，由于所探究的问题与知识固着点之间的潜在距离把握适度(较大)，因此探究效果较好.它使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质.从“不变”的本质中探索“变”的规律.即受到了数学美的熏陶，又培养了发散思维能力.同时还使学生体验到新知识是如何从已知知识逐渐演变或发展而来，从而理解知识的来龙去脉，形成良好的认知结构.在例、习题的探究式变式教学中，要注意一题多解、一题多变、多题归一等方面的探究，培养学生灵活解决问题的能力和创造性思维能力.
（2）利用高考已经出现的类似题型进行规范训练，集体讨论，充分交流与合作，争取收到举一返三的效果；同时精选各地模拟考试中的题目进行强化训练
）利用高考已经出现的类似题型进行规范训练，集体讨论，充分交流与合作，争取收到举一返三的效果；同时精选各地模拟考试中的题目进行强化训练
总之，数学高考中的探究性试题试着从量化的角度评价学生探究学习的方法和能力.在高考测试的有效导向下，高中数学教师在日常教学实践中将会更加重视引导学生进行探究性学习，积极创造机会鼓励学生踊跃参加探究实践活动，让学生真正经历科学探究过程并掌握科学探究的方法、获得数学知识、培养科学态度和科学精神，逐步提高创新意识、实践与探究能力.