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摘要：小学生学习数学过程中出现的错误除了个体特征外，有的还具有规律性。究其原因有学生对概念的理解不够全面、对数学内容的感知缺乏整体性和联系性以及先入为主等。教师可以通过创设纠错情境，让学生找到思维的“断点”和“堵点”，再有针对性地采取预防和补救措施。解决的策略有做好课前预测、让学生说一说思维的过程、重视逆向思维训练、在辨析错因中强化正确认识和适时变换练习的形式等。
关键词：规律性错误 逆向思维 解决策略
错误是小学生学习数学过程中出现的正常现象，它折射出学生数学学习的思维特征和难点。在数学学习过程中，小学生出现的错误往往还带有规律性。
这里所说的规律是指学生在某一知识点上出现的错误具有内在的本质联系且有普遍性的特质。所谓“规律性错误”是指学生在利用经验和已有知识充满自信地去解决问题时，不知不觉地出现的错误，而且这个错误是有规律的，即在同一个知识点上不同学生重复地出现相同的错误。
“规律性错误”具有以下几个方面的特征：
（1）相同性。就某个知识点来说，如果教师教学经验不丰富，处理方法不当，学生会在这个知识点上出现一样的错误。
（2）意识清醒。学生在运用知识解决问题的过程中，他们的思维是清晰的、指向是明确的，所犯的错误是在无知觉的情况下产生的。
（3）可控性。任何数学错误的产生都是由于知识的缺陷或技能的不足，只要溯源合理，处置得当，错误是可以减少和杜绝的。
（4）多样性。即产生错误的原因可能是多方面的，有师源性的教学原因，有生本性的认知原因等。错误的形式也是多样的。
一、错误类型及原因
在教学中，我对学生数学学习中出现的“规律性错误”进行了归类和分析，发现小学生学习数学过程中出现的“规律性错误”大致分为三类：一是理解性错误。如计算2300÷700=3……200，学生写成2300÷700=3……2，这是学生在利用商不变的规律计算时常见的错误。为了计算方便，在计算时先把被除数和除数同时缩小到1/100，要把余数扩大100倍才是正确的结果，学生往往忽略了这一点。二是由于生活经验和旧知识的影响而形成的错误。如学生在计算0.25÷0.5时，正确的商应该是0.5，学生往往写成0.05，这是受到除数是整数除法的干扰。三是类推性错误。这是学生在解题过程中由于利用已有的知识解决问题时做了不恰当的推广而产生的错误。其本质上也是知识缺陷而导致的错误。
究其原因：一是每个学习个体都是以自己的经验建构数学知识体系，在这一过程中，学生如果不能从具体的生活情境中走出来，对生活原型进行必要的抽象，就没有办法在头脑中形成数学概念，一定会给后续学习带来困难。二是作为“模式科學”的数学，它的概念有着确定的意义。对于同一个数学研究对象，不同的学生头脑中往往存在着不同的图像，而数学模型的建立对学生来说是一个“去个性化”的过程，如果“去个性化”不彻底，必然会产生错误。三是学生对一些基础知识和基本概念、公式、定理掌握不够扎实，也会导致出现规律性错误。具体表现为：
1.不能全面地正确地理解概念
学生学习数学的基础是概念，概念是学生解题的必要依据。学生如果不能全面地正确地理解概念以及与之相近概念之间的联系与区别，在解题过程中一定会出现一些概念性错误。如“圆柱的体积是圆锥的三倍”这道判断题，判断失误的学生较多。此题错在学生只看文字的表面，而没有去深刻理解圆锥体积公式推导过程中，圆锥的底和高必须和圆柱的底和高相等或相同。再如“两个三角形可以拼成一个平行四边形”判断错误的原因是忽视了“两个三角形要完全一样”才可以。再如判断“钝角都大于90°”时，学生没有准确地把握钝角的区间而出现了误判。
2.对数学内容的感知缺乏整体性和联系性
小学生感知数学内容时往往顾此失彼，看不出条件与条件、条件与问题之间的联系，容易造成感知失真、失偏，进而出现错误。如求上图中三角形的面积。
正解：2×2.5÷2=2.5（m2）
错解：1.1×2÷2=1.1（m2）
学生表述思维过程：根据三角形的面积公式“底乘高除以2”，2 m是底，1.1 m是高，所以面积是1.1 m2。
教师分析：三角形计算公式中底和高是对应的，三角形有三条底和三条高，底是2米，对应的高应该是2.5米，1.1米的高对应的是钝角三角形的斜边。
又如简便计算：
学生表述思维过程：看到分母是75，所以把76变成75和1。
教师分析：学生的思路有一部分是可行的，但76变成的应是“75+1”，然后再用乘法分配律计算。本题的错误说明学生平时没有注意观察算式特点，对乘法分配律的基本格式印象不深，不会灵活转化。
3.先入为主
学生往往凭个人的知识经验解题，对数学的具体内容不做具体分析，想当然地解题。如判断题：上衣价格比裤子价格多20%，则裤子价格比上衣价格少20%。（ ）
正解：× 错解：√
浅析小学生学习数学过程中出现的“规律性错误”的成因和解决策略
学生表述思维过程：我们在前面学过5比3多2，3就比5少2。所以说上衣价格比裤子价格多多少，裤子价格就比上衣价格少多少。
教师分析：在学习量的比多少时，学生做过大量的对比练习，形成了一种思维定式：谁比谁多多少，也就是谁比谁少多少。这种思维定式产生了错误的迁移作用，使学生误认为A比B多几（百）分之几，就是B比A少几（百）分之几，也就出现了上述错误。
又如：1小时15分=（ ）小时
学生表述思维过程：没有注意时间单位的进率。
教师分析：因为受百进制面积单位的“负迁移”影响，学生把小时和分的进率60看成了100，所以出现了上面的错误。 二、解决策略
如何解决学生学习中出现的“规律性错误”？笔者认为要对学生真实的思维活动做出溯源分析，探寻学生的思维轨迹，找到思维的“断点”和“堵点”，有针对性地采取预防和补救措施，去弥补学习中的“短板”。这样一来不仅可以培养学生的数学思维品质和对待数学的严谨态度，同时也使他们的知识掌握得更加牢固，人格更加健全。具体策略如下：
（一）做好课前预测
教师的教学活动是建立在对教材体系和教学内容的深入把握、学生的一般发展水平和经验基础上的。教师课前要对学生在学习过程中可能出现的规律性错误做好预测和评估，制订预案，这样可以化被动为主动，把错误解决在萌芽状态。例如：
学校开运动会，同学们在学校的操场上插了一排共18面彩旗，每相邻两面彩旗之间相距2米，第一面彩旗到最后一面彩旗之间有多少米？
这道题很多学生直接这样解：18×2=36（米）。教师可以引导学生画出示意图，从图中可以清晰地看出，18面彩旗之间只有17个间隔，每个间隔长2米，因此第一面彩旗到最后一面彩旗之间的长度应该是17×2=34（米）。
（二）让学生说一说思维的过程
数学教学是学生思维活动的过程。在实际教学中，教师往往注重思维结果的评价，忽视思维过程的评价，对学生思维中创造性的部分不能及时给予肯定，对学生思维错误性的部分不能深入研究，追根求源，“靶向治疗”，学生的创新思维和探索精神没有得到很好的激发。基于此，教师在课堂教学活动中，对学生出现的“规律性错误”，应让学生说一说自己的思维过程，再让其他同学评一评、议一议，帮助学生找出错误的症结所在，使他们明白“别人是怎么想的”，自己的错误在哪里，为什么会出现这样的错误。知其然又知其所以然，这样学生的数学思维能力必然会得到发展。例如：
畜牧场养羊480只，比养的牛的头数多60%，畜牧场养牛多少只？
正解1（列方程法）：
解：设畜牧场养牛x只。
x+60%x=480或x×（1+60%）=480x=300
正解2（算术法）：
480÷（1+60%）=300（只）
此题型与以前稍复杂的分数除法应用题是完全一样的，只是把分数改成了百分数。而两个教学班98人，此题出错42人，错误率高达43%。主要错误类型有以下几种：
1.解题思路和方法模糊
错解1：
480×（1+60%）=768（头）
480+480×60%=768（头）
学生表述思维过程：生1认为自己看错了字，把“牛”看成了“羊”。生2说找错了单位“1”。
教师分析：学生从自己的经验出发建构数学知识体系，没有对新的学习对象进行“客体化”认识。学生对百分数和分数的联系不是很清楚，教师在教学过程中可能没有对同类题型进行很好的比较。主要原因首先是学生对分数乘法和分数除法应用题的结构没有很好地区别和把握，其次是受分数乘法应用题的负迁移因素影响较大。
2.对“量”与“率”区别不清
错解2：
480×（1-60%）=192（头）
学生表述思维过程：生1认为“羊比牛多60%”，倒过来就是“牛比羊少60%”，所以用1-60%，计算结果也是比羊少。
教師分析：之前在学习量的比多少应用题时，学生做过大量的对比练习，形成了一种思维定势：A比B多几，B就比A少几。在学习分数应用题时，这种思维定势就发挥了错误的迁移作用，使学生误认为：A比B多几（百）分之几，就是B比A少几（百）分之几，也就出现了上述错误。
3.对等量关系不清楚
错解3：480-480×60%=192（头）
学生表述思维过程：根据线段图和等量关系式，羊的数量减去多的60%，剩下的应该就是牛的数量。
教师分析：这种等量关系看上去是合理的，但问题是羊的数量减去多的60%，这个不是羊的数量的60%，而是牛的数量的60%。从学生所画的线段图上就能看出，学生对多出的那部分是谁的60%不是很清楚，正确的等量关系式是：羊的数量—牛的数量×60%=牛的数量。
（三）重视逆向思维训练
人教版小学数学教材中关于逆向思维的知识点比较多，如互逆概念、倒推问题、公式、定律的逆运用、应用题中逆向思考等。
例如：56×（□-145）=3080，这道题学生很容易出错，主要类型有两种：一种是运算顺序不清楚;另一种是对加和减、乘和除的互逆关系模糊。要想求□中的数是多少，首先要根据乘除法的互逆关系求出□-145的差，即□-145=3080÷56，□-145=55，再根据加减法的互逆关系求出□=200。通过训练，学生不仅消除了错误思维方式，增强了思维的深刻性，还为后面学习方程做好了铺垫。
又如学生学过乘法分配律以后，笔者出了这样一道题：2.5×11-2.5= 。
学生出现了三种算法：
算法1：2.5×11-2.5=2.5×（10+1）-2.5=25+2.5-2.5=25
算法2：2.5×11-2.5=27.5-2.5=25
算法3：2.5×11-2.5=2.5×（11-1）=25
第一类学生对乘法分配律比较清楚，但只会对含有加法的算式进行分配;第二类学生是按照计算顺序直接计算，说明他们对乘法分配律的运用范围和技巧不清楚;第三类学生不仅理解了乘法分配律的精髓，还能灵活运用。
（四）在辨析错误中强化正确认识
整除和除尽这两个概念学生容易混淆，如30÷0.5=60可以说成30能被0.5除尽。如果有学生说30能被0.5整除，那就错了，因为整除是建立在被除数、除数（不能为零）和商是整数而没有余数的基础上的。整除又衍生出约数和倍数的概念，如果说30是0.5的倍数，0.5是30的约数，当然也是错误的，但可以说30是0.5的60倍。这样也就帮助学生厘清了“倍数”和“几倍数”的区别。
再如小学数学人教版第十册第97页有这样一道题：下面三个容器，每个容器盛满水时，水都是1千克，现在哪个容器盛的水（涂色部分）是1/4千克？
从这三个图的对比中，学生很容易得出图2容器中的水是1/4千克，因为图1和图3虽然也分成了四份，但不是“平均分”。学生在具体的情境中，通过辨析，达到了“去伪存真”的效果。
（五）适时变换练习的形式
在学生熟练地掌握某种计算方式或解题思路之后，为了防止学生出现思维固化，教师要适时变换练习的形式。
如在学过“比”以后，为了帮助学生理解比与分数、除法的关系，教师安排了这样一个练习：6：8=（ ）40=3÷（ ）=（ ）（填小数）。通过比、分数和除法三者之间的转换和对比，学生能够进一步掌握三者的联系和区别。
又如：连长带着9个战士过河，已经有5个人过了河，没过河的还有几个人？这是一道数学应用题，主要考查学生把数学知识应用于生活实际，解决实际问题的能力。很多学生直接用9-5，而忽视了连长也是需要过河的，所以过河人数应该是9+1=10（人），没过河的人数是10-5=5（人）。
关键词：规律性错误 逆向思维 解决策略
错误是小学生学习数学过程中出现的正常现象，它折射出学生数学学习的思维特征和难点。在数学学习过程中，小学生出现的错误往往还带有规律性。
这里所说的规律是指学生在某一知识点上出现的错误具有内在的本质联系且有普遍性的特质。所谓“规律性错误”是指学生在利用经验和已有知识充满自信地去解决问题时，不知不觉地出现的错误，而且这个错误是有规律的，即在同一个知识点上不同学生重复地出现相同的错误。
“规律性错误”具有以下几个方面的特征：
（1）相同性。就某个知识点来说，如果教师教学经验不丰富，处理方法不当，学生会在这个知识点上出现一样的错误。
（2）意识清醒。学生在运用知识解决问题的过程中，他们的思维是清晰的、指向是明确的，所犯的错误是在无知觉的情况下产生的。
（3）可控性。任何数学错误的产生都是由于知识的缺陷或技能的不足，只要溯源合理，处置得当，错误是可以减少和杜绝的。
（4）多样性。即产生错误的原因可能是多方面的，有师源性的教学原因，有生本性的认知原因等。错误的形式也是多样的。
一、错误类型及原因
在教学中，我对学生数学学习中出现的“规律性错误”进行了归类和分析，发现小学生学习数学过程中出现的“规律性错误”大致分为三类：一是理解性错误。如计算2300÷700=3……200，学生写成2300÷700=3……2，这是学生在利用商不变的规律计算时常见的错误。为了计算方便，在计算时先把被除数和除数同时缩小到1/100，要把余数扩大100倍才是正确的结果，学生往往忽略了这一点。二是由于生活经验和旧知识的影响而形成的错误。如学生在计算0.25÷0.5时，正确的商应该是0.5，学生往往写成0.05，这是受到除数是整数除法的干扰。三是类推性错误。这是学生在解题过程中由于利用已有的知识解决问题时做了不恰当的推广而产生的错误。其本质上也是知识缺陷而导致的错误。
究其原因：一是每个学习个体都是以自己的经验建构数学知识体系，在这一过程中，学生如果不能从具体的生活情境中走出来，对生活原型进行必要的抽象，就没有办法在头脑中形成数学概念，一定会给后续学习带来困难。二是作为“模式科學”的数学，它的概念有着确定的意义。对于同一个数学研究对象，不同的学生头脑中往往存在着不同的图像，而数学模型的建立对学生来说是一个“去个性化”的过程，如果“去个性化”不彻底，必然会产生错误。三是学生对一些基础知识和基本概念、公式、定理掌握不够扎实，也会导致出现规律性错误。具体表现为：
1.不能全面地正确地理解概念
学生学习数学的基础是概念，概念是学生解题的必要依据。学生如果不能全面地正确地理解概念以及与之相近概念之间的联系与区别，在解题过程中一定会出现一些概念性错误。如“圆柱的体积是圆锥的三倍”这道判断题，判断失误的学生较多。此题错在学生只看文字的表面，而没有去深刻理解圆锥体积公式推导过程中，圆锥的底和高必须和圆柱的底和高相等或相同。再如“两个三角形可以拼成一个平行四边形”判断错误的原因是忽视了“两个三角形要完全一样”才可以。再如判断“钝角都大于90°”时，学生没有准确地把握钝角的区间而出现了误判。
2.对数学内容的感知缺乏整体性和联系性
小学生感知数学内容时往往顾此失彼，看不出条件与条件、条件与问题之间的联系，容易造成感知失真、失偏，进而出现错误。如求上图中三角形的面积。
正解：2×2.5÷2=2.5（m2）
错解：1.1×2÷2=1.1（m2）
学生表述思维过程：根据三角形的面积公式“底乘高除以2”，2 m是底，1.1 m是高，所以面积是1.1 m2。
教师分析：三角形计算公式中底和高是对应的，三角形有三条底和三条高，底是2米，对应的高应该是2.5米，1.1米的高对应的是钝角三角形的斜边。
又如简便计算：
学生表述思维过程：看到分母是75，所以把76变成75和1。
教师分析：学生的思路有一部分是可行的，但76变成的应是“75+1”，然后再用乘法分配律计算。本题的错误说明学生平时没有注意观察算式特点，对乘法分配律的基本格式印象不深，不会灵活转化。
3.先入为主
学生往往凭个人的知识经验解题，对数学的具体内容不做具体分析，想当然地解题。如判断题：上衣价格比裤子价格多20%，则裤子价格比上衣价格少20%。（ ）
正解：× 错解：√
浅析小学生学习数学过程中出现的“规律性错误”的成因和解决策略
学生表述思维过程：我们在前面学过5比3多2，3就比5少2。所以说上衣价格比裤子价格多多少，裤子价格就比上衣价格少多少。
教师分析：在学习量的比多少时，学生做过大量的对比练习，形成了一种思维定式：谁比谁多多少，也就是谁比谁少多少。这种思维定式产生了错误的迁移作用，使学生误认为A比B多几（百）分之几，就是B比A少几（百）分之几，也就出现了上述错误。
又如：1小时15分=（ ）小时
学生表述思维过程：没有注意时间单位的进率。
教师分析：因为受百进制面积单位的“负迁移”影响，学生把小时和分的进率60看成了100，所以出现了上面的错误。 二、解决策略
如何解决学生学习中出现的“规律性错误”？笔者认为要对学生真实的思维活动做出溯源分析，探寻学生的思维轨迹，找到思维的“断点”和“堵点”，有针对性地采取预防和补救措施，去弥补学习中的“短板”。这样一来不仅可以培养学生的数学思维品质和对待数学的严谨态度，同时也使他们的知识掌握得更加牢固，人格更加健全。具体策略如下：
（一）做好课前预测
教师的教学活动是建立在对教材体系和教学内容的深入把握、学生的一般发展水平和经验基础上的。教师课前要对学生在学习过程中可能出现的规律性错误做好预测和评估，制订预案，这样可以化被动为主动，把错误解决在萌芽状态。例如：
学校开运动会，同学们在学校的操场上插了一排共18面彩旗，每相邻两面彩旗之间相距2米，第一面彩旗到最后一面彩旗之间有多少米？
这道题很多学生直接这样解：18×2=36（米）。教师可以引导学生画出示意图，从图中可以清晰地看出，18面彩旗之间只有17个间隔，每个间隔长2米，因此第一面彩旗到最后一面彩旗之间的长度应该是17×2=34（米）。
（二）让学生说一说思维的过程
数学教学是学生思维活动的过程。在实际教学中，教师往往注重思维结果的评价，忽视思维过程的评价，对学生思维中创造性的部分不能及时给予肯定，对学生思维错误性的部分不能深入研究，追根求源，“靶向治疗”，学生的创新思维和探索精神没有得到很好的激发。基于此，教师在课堂教学活动中，对学生出现的“规律性错误”，应让学生说一说自己的思维过程，再让其他同学评一评、议一议，帮助学生找出错误的症结所在，使他们明白“别人是怎么想的”，自己的错误在哪里，为什么会出现这样的错误。知其然又知其所以然，这样学生的数学思维能力必然会得到发展。例如：
畜牧场养羊480只，比养的牛的头数多60%，畜牧场养牛多少只？
正解1（列方程法）：
解：设畜牧场养牛x只。
x+60%x=480或x×（1+60%）=480x=300
正解2（算术法）：
480÷（1+60%）=300（只）
此题型与以前稍复杂的分数除法应用题是完全一样的，只是把分数改成了百分数。而两个教学班98人，此题出错42人，错误率高达43%。主要错误类型有以下几种：
1.解题思路和方法模糊
错解1：
480×（1+60%）=768（头）
480+480×60%=768（头）
学生表述思维过程：生1认为自己看错了字，把“牛”看成了“羊”。生2说找错了单位“1”。
教师分析：学生从自己的经验出发建构数学知识体系，没有对新的学习对象进行“客体化”认识。学生对百分数和分数的联系不是很清楚，教师在教学过程中可能没有对同类题型进行很好的比较。主要原因首先是学生对分数乘法和分数除法应用题的结构没有很好地区别和把握，其次是受分数乘法应用题的负迁移因素影响较大。
2.对“量”与“率”区别不清
错解2：
480×（1-60%）=192（头）
学生表述思维过程：生1认为“羊比牛多60%”，倒过来就是“牛比羊少60%”，所以用1-60%，计算结果也是比羊少。
教師分析：之前在学习量的比多少应用题时，学生做过大量的对比练习，形成了一种思维定势：A比B多几，B就比A少几。在学习分数应用题时，这种思维定势就发挥了错误的迁移作用，使学生误认为：A比B多几（百）分之几，就是B比A少几（百）分之几，也就出现了上述错误。
3.对等量关系不清楚
错解3：480-480×60%=192（头）
学生表述思维过程：根据线段图和等量关系式，羊的数量减去多的60%，剩下的应该就是牛的数量。
教师分析：这种等量关系看上去是合理的，但问题是羊的数量减去多的60%，这个不是羊的数量的60%，而是牛的数量的60%。从学生所画的线段图上就能看出，学生对多出的那部分是谁的60%不是很清楚，正确的等量关系式是：羊的数量—牛的数量×60%=牛的数量。
（三）重视逆向思维训练
人教版小学数学教材中关于逆向思维的知识点比较多，如互逆概念、倒推问题、公式、定律的逆运用、应用题中逆向思考等。
例如：56×（□-145）=3080，这道题学生很容易出错，主要类型有两种：一种是运算顺序不清楚;另一种是对加和减、乘和除的互逆关系模糊。要想求□中的数是多少，首先要根据乘除法的互逆关系求出□-145的差，即□-145=3080÷56，□-145=55，再根据加减法的互逆关系求出□=200。通过训练，学生不仅消除了错误思维方式，增强了思维的深刻性，还为后面学习方程做好了铺垫。
又如学生学过乘法分配律以后，笔者出了这样一道题：2.5×11-2.5= 。
学生出现了三种算法：
算法1：2.5×11-2.5=2.5×（10+1）-2.5=25+2.5-2.5=25
算法2：2.5×11-2.5=27.5-2.5=25
算法3：2.5×11-2.5=2.5×（11-1）=25
第一类学生对乘法分配律比较清楚，但只会对含有加法的算式进行分配;第二类学生是按照计算顺序直接计算，说明他们对乘法分配律的运用范围和技巧不清楚;第三类学生不仅理解了乘法分配律的精髓，还能灵活运用。
（四）在辨析错误中强化正确认识
整除和除尽这两个概念学生容易混淆，如30÷0.5=60可以说成30能被0.5除尽。如果有学生说30能被0.5整除，那就错了，因为整除是建立在被除数、除数（不能为零）和商是整数而没有余数的基础上的。整除又衍生出约数和倍数的概念，如果说30是0.5的倍数，0.5是30的约数，当然也是错误的，但可以说30是0.5的60倍。这样也就帮助学生厘清了“倍数”和“几倍数”的区别。
再如小学数学人教版第十册第97页有这样一道题：下面三个容器，每个容器盛满水时，水都是1千克，现在哪个容器盛的水（涂色部分）是1/4千克？
从这三个图的对比中，学生很容易得出图2容器中的水是1/4千克，因为图1和图3虽然也分成了四份，但不是“平均分”。学生在具体的情境中，通过辨析，达到了“去伪存真”的效果。
（五）适时变换练习的形式
在学生熟练地掌握某种计算方式或解题思路之后，为了防止学生出现思维固化，教师要适时变换练习的形式。
如在学过“比”以后，为了帮助学生理解比与分数、除法的关系，教师安排了这样一个练习：6：8=（ ）40=3÷（ ）=（ ）（填小数）。通过比、分数和除法三者之间的转换和对比，学生能够进一步掌握三者的联系和区别。
又如：连长带着9个战士过河，已经有5个人过了河，没过河的还有几个人？这是一道数学应用题，主要考查学生把数学知识应用于生活实际，解决实际问题的能力。很多学生直接用9-5，而忽视了连长也是需要过河的，所以过河人数应该是9+1=10（人），没过河的人数是10-5=5（人）。