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摘要：地理学科是一门综合性很强的学科，它综合了自然科学和社会科学等多种知识。数学与地理有着密不可分的关系，在地理课程教学中紧扣教学内容，适当地渗透一些数学思想方法，有利于突破教学难点，培养学生分析问题和解决问题的能力，帮助学生明晰地理概念、拓宽视野、拓展思维，培养学生的创新意识，进而提高学生的科学素质。
关键词：数学思想方法 地理教学
地理学科是一门综合性很强的学科，它综合了自然科学和社会科学等多种知识。著名科学家钱学森称它是一个“开放的复杂巨系统”，与多种学科相互联系，影响很大。教育部副部长王湛在《建立具有中国特色的基础教育课程体系》中指出：“加强课程内容的综合性，淡化学科界限，增进各学科之间的知识和方法上的联系。”数学与地理有着密不可分的关系，数学是人们认识大自然和解释自然现象的一个定量分析的工具。数学思想方法是解决高中地理教学中一些重点、难点和关键环节的有效手段。马克思曾说过：“一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”教学实践表明，在地理课程教学中紧扣教学内容，适当地渗透一些数学思想方法，能起到以下几个方面的作用。
一、明晰概念，夯实知识基础
地理概念是地理理性知识的基本形式。许多地理问题要进行正确的判断、推理、分析、综合等地理思维活动，都要以正确的地理概念作基础，因此，形成正确的地理概念是学习和掌握地理基础知识的中心环节。但是，中学地理中的很多概念，其关系用语言表达很费神，学生也不好掌握，运用时容易搞错关系，造成认识的偏差和解题失误，如用集合思想，就浅显易懂了。
根据概念之间的关系，地理概念可分以下几种关系：①从属关系的概念。这类概念如能源、一次能源、二次能源、常规能源、再生能源和非再生能源。所谓一次能源是指直接取自自然界没有加工转换的各种能量和资源，它包括原煤、原油、天然气、油页岩、核能、太阳能、风力、潮汐能、地热等等。由一次能源经过加工转换以后得到的能源产品，称为二次能源，如煤气、汽油、酒精、沼气、氢气等等。一次能源可以进一步分为两大类，再生能源包括太阳能、水力、风力、生物能、波浪能、潮汐能等，它们在自然界可以再生。而非再生能源包括原煤、原油、天然气、核能等，它们是不能再生的，用掉一点少一点。要从文字上区别且记住这些概念有一定难度，但从集合知识讲解他们只是简单的包含与被包含关系，学生很容易理解。类似的还有总星系、银河系、太阳系、地月系等。②并列关系的概念。例如，降水、降雨、降雪等。有些学生总是把降水与降雨、降雪混淆，特别是降水与降雨常常混用。这是不科学的。事实上，降雨、降雪只是降水的两个并列独立子集，用集合表示就很直观。类似的还有银河系和河外星系、淡水与各种陆地淡水资源的关系等。
二、突破难点，提升教学效果
高中《地理Ⅰ》属自然地理范畴，逻辑性强，教学难点多，突破难点是完成教学目标的关键。从以往经验看，如果抓不住造成学生学习困难的关键点，难点就不能被有效突破，学生就会觉得哪儿都难。关键点突破了，学生就会感到豁然开朗，难点也就迎刃而解了。比如，地方时是地球自转的地理意义中的一个教学难点，而通过建立时区数轴，可以避免学生在时区换算及日界线问题上的混乱。如图1所示：
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图1 理论时区和日界线
由于地球自转运动和太阳光照的空间关系，引起了以太阳日（24小时）为周期的昼夜交替现象。由于东边的地点比西边的地点先迎来日出，因此东边的地点比西边的地点时间要早。越往东，时间越早，我们可把东时区看作正时区；越往西，时间越晚，可把西时区看作负时区。每向东一个时区，时间增加一个小时，东12区比西12区早24小时；每向西一个时区，时间减少一个小时。在计算时，我们可直接利用数轴下方的时区标注数值来计算时区差，要求的时区放在前面，减去已知的时区，带正负号计算。计算的时区差为正的，就加；为负的，就减。例如，当西5区为10月10日15点时，西1区要比西5区早4个小时（西1 区为-1，西5区为-5，两者相减即得4），加上4个小时，为10月10日19点；西7区要比西5区晚2个小时（西7区为-7，西5区为-5，两者相减即得-2），减去2个小时，为10月10日13点。实际上，这种计算方法也考虑了日界线问题。若计算结果大于24，则时刻需减去24，而把日期加上一天；若计算结果小于0，则时刻需加上24，而把日期减去一天。例如，当西5区为10月10日15点时，东8区要比西5区早13个小时（东8区为+8，西5区为-5，两者相减即得13），加上13个小时，为10月11日4点（计算结果为28，大于24，减去24，把日期加上一天）；当东8 区为10月11日4点时，零时区要比东8区晚8个小时（零时区为0，东8区为+8，两者相减即得-8），减去8个小时，为10月10日20点（计算结果为-4，小于0，加上24，把日期减去一天）。
再如，正弦曲线图可以用来显示太阳直射点的南北移动和昼夜长短的季节变化。以显示昼夜长短的季节变化为例，见图2。
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图2 昼夜长短随时间的变化
图中y=昼长-夜长。以北半球为例，若y>0，即昼长夜短，为北半球夏半年。y 值越大，昼越长，夜越短。6月22日，y值达到最大值，这一天北半球昼最长，夜最短，为北半球夏至日。若y=0，即昼夜等长，为春分日、秋分日。若y<0，即昼短夜长，为北半球冬半年。y 值越小，昼越短，夜越长。12月22日，y值达到最小值，这一天北半球昼最短，夜最长，为北半球冬至日。南半球情况与此相反。
又如，在讲到正午太阳高度的纬度变化和季节变化时，可以纬度为横轴，正午太阳高度为纵轴构建坐标系，画出二分二至日正午太阳高度的纬度分布图，给学生一个非常直观的认识，如图3所示。
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图3 二分二至日正午太阳高度的纬度分布
根据图中三条曲线变化规律，可以很容易归纳与总结正午太阳高度分布规律：（1）冬至日，太阳直射点位于23°26′S，正午太阳高度由南回归线向南北两侧递减，南回归线以南各纬度正午太阳高度达到一年中的最大值，赤道及北半球各纬度的正午太阳高度达到一年中的最小值。（2）夏至日，太阳直射点位于23°26′N，正午太阳高度由北回归线向南北两侧递减，北回归线以北各纬度正午太阳高度达到一年中的最大值，赤道及南半球各纬度正午太阳高度达到一年中的最小值。（3）二分（春分和秋分）日，太阳直射在赤道，正午太阳高度由赤道向南北两侧递减。（4）南北回归线之间的地区，太阳直射时达到最大值，一年有两次。南北回归线上一年一次。（5）赤道上一年有两次最小值，其他地区一年一次。 三、拓宽视野，激发学习兴趣
中学地理学习中需要数学相关基础知识，而有的数学知识已经在高中数学新课程中难觅踪影，但这部分知识又是地理学习中需要的知识，因此，这部分知识需要我们补充给学生。另外，一些知识虽然在数学教材中有的，也是重点知识，学生也是已经掌握了的，但是换了一个学科的学习环境，学生很难主动去应用这些数学知识和原理。对此，我们应该先创设一个和谐的环境，做好数学知识的铺垫，把地理知识和原理建立在学生的数学原点之上，来构建我们的地理教学与学习环境，让我们的学生在自己已经具有知识的基础上构建地理的学习基石和成功的大厦。
例如，在学习“太阳是地球能量的主要来源”时，学生对太阳巨大的能量辐射并没有一个清晰的认识。这时，我们可以在学习了太阳常数后， 让学生计算太阳每分钟向宇宙空间辐射的能量有多少。基本的计算思路是，设想太阳辐射是“空间均匀”的，即按各向同性均匀地辐射到太空中。那么，这个辐射到达地球时，是均匀地分布在一个以太阳为球心，以日地平均距离（1天文单位）为半径的球面上。因此，太阳每分钟向宇宙空间辐射的能量就可用太阳常数乘以一个以太阳中心为球心，日地平均距离为半径的球的表面积来计算。在计算出太阳每分钟向宇宙空间辐射的能量有2.32×1028焦耳后，强调一下也就是每分钟2.32万亿亿亿焦耳。如果太阳表层有12米厚的0°C的冰层，太阳一分钟所辐射出来的能量，能够把它融化成为0°C的水。这不仅使学生对太阳巨大的辐射能量有了较为直观的认识，还激发了学生进一步了解如此巨大的太阳辐射能量是如何产生的学习热情。
通过对数学知识的简单过滤和提及，去激发学生回忆和搜寻曾经学过的数学知识，对学生的数学知识是一种巩固，同时也把地理知识纳入到学生以前的知识体系中去，进行融会贯通，弥补了学生分科学习的鸿沟，同时对学生主动去应用所学到的知识也是一种很好的帮助。
四、拓展思维，提升解题能力
在地球运动的地理意义中，正午太阳高度角的计算是教学的重点和难点。在以前的地理教学中，我经常使用一些教辅书中提供的正午太阳高度角计算公式进行教学，即H=90°-|当地地理纬度±直射点地理纬度|。其中，H代表当地正午太阳高度角，当地地理纬度是指所求地点的地理纬度，直射点地理纬度是指此时太阳直射点所在地点的地理纬度。如果两地在同一半球，用减号，在不同半球，用加号。如果计算结果超过90°，就再用180°减去它。应该说，套用这样的公式进行计算还是比较方便的。但在实际的解题过程中，不少学生在使用公式时常会出现记忆上的差错，或是在面对变换了的题目时发生公式套反的情况。仔细分析起来，实际上还是学生并没有真正理解公式的本质，而只是对公式进行了机械的记忆。因此，我对正午太阳高度角的计算公式进行了进一步的数学分析，并把它简化为H=90°-夹角。这里的“夹角”是所求的地点与太阳直射点之间的夹角。这个简化公式是这样推导得来的，如图4、图5所示。对此，我分两种情况进行了分析。
1.当太阳直射点与所求地点在同一半球或其中一点在赤道上时。如图4所示，A点为太阳直射点，B点为所求地点，∠1为A、B两点的夹角（锐角）。在B点作地平线，则角H即为所求地点的正午太阳高度角。
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图4
由于太阳光线可以看成是一组平行光线，根据两直线平行同位角相等的平行线性质，可得∠2=∠1，则角H=（90°-∠2）=（90°-∠1）。也就是正午太阳高度角等于90°减去A、B两点的夹角，即H=90°-夹角。
2.当太阳直射点与所求地点在不同半球时。如图5所示，当A点为太阳直射点，B点为所求地点时，∠1为A、B两点的夹角（锐角）。在B点作地平线，则角H即为所求地点的正午太阳高度角。
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图5
根据两直线平行同位角相等的平行线性质，同样可得∠2=∠1，则角H=（90°-∠2）=（90°-∠1）。也就是正午太阳高度角等于90°减去A、B两点的夹角，即H=90°-夹角。
实际上，在图4和图5中，还可以利用平行线的另一个性质，两直线平行内错角相等来证明H=90°-夹角。如图可得，角H=∠3=（180°-90°-∠1）=（90°-∠1），也就是正午太阳高度角等于90°减去A、B两点的夹角，即H=90°-夹角。在这里要特别注意的是，当∠1大于90°时，说明此时B点处于极夜。
总之，地理是一门综合性很强的学科，要学好地理知识，不仅需要学生有好的记忆力，还需要有对地理知识的充分理解。因此，在地理教学过程中，教师恰当地运用一些数学思想方法，可以帮助学生更好地学习地理。“运用之妙，存乎一心”，数学思想方法在地理教学过程中还有很多运用，需要我们在教学过程中逐步去体会。
参考文献：
[1]钱学森.谈地理科学的内容及研究方法[J].地理学报，1991（3）.
[2]王湛.建立具有中国特色的基础教育课程体系[J].异步教学研究，2002（5）.
[3]保尔·拉法格.回忆马克思恩格斯[M].北京：人民出版社，1973.
[4]吴建新.利用正弦曲线图进行“地球公转”的教学[J].地理教学，2009（6）.
[5]金祖孟.地球概论[M].上海：高等教育出版社，1986.（责编 张翼翔）
关键词：数学思想方法 地理教学
地理学科是一门综合性很强的学科，它综合了自然科学和社会科学等多种知识。著名科学家钱学森称它是一个“开放的复杂巨系统”，与多种学科相互联系，影响很大。教育部副部长王湛在《建立具有中国特色的基础教育课程体系》中指出：“加强课程内容的综合性，淡化学科界限，增进各学科之间的知识和方法上的联系。”数学与地理有着密不可分的关系，数学是人们认识大自然和解释自然现象的一个定量分析的工具。数学思想方法是解决高中地理教学中一些重点、难点和关键环节的有效手段。马克思曾说过：“一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”教学实践表明，在地理课程教学中紧扣教学内容，适当地渗透一些数学思想方法，能起到以下几个方面的作用。
一、明晰概念，夯实知识基础
地理概念是地理理性知识的基本形式。许多地理问题要进行正确的判断、推理、分析、综合等地理思维活动，都要以正确的地理概念作基础，因此，形成正确的地理概念是学习和掌握地理基础知识的中心环节。但是，中学地理中的很多概念，其关系用语言表达很费神，学生也不好掌握，运用时容易搞错关系，造成认识的偏差和解题失误，如用集合思想，就浅显易懂了。
根据概念之间的关系，地理概念可分以下几种关系：①从属关系的概念。这类概念如能源、一次能源、二次能源、常规能源、再生能源和非再生能源。所谓一次能源是指直接取自自然界没有加工转换的各种能量和资源，它包括原煤、原油、天然气、油页岩、核能、太阳能、风力、潮汐能、地热等等。由一次能源经过加工转换以后得到的能源产品，称为二次能源，如煤气、汽油、酒精、沼气、氢气等等。一次能源可以进一步分为两大类，再生能源包括太阳能、水力、风力、生物能、波浪能、潮汐能等，它们在自然界可以再生。而非再生能源包括原煤、原油、天然气、核能等，它们是不能再生的，用掉一点少一点。要从文字上区别且记住这些概念有一定难度，但从集合知识讲解他们只是简单的包含与被包含关系，学生很容易理解。类似的还有总星系、银河系、太阳系、地月系等。②并列关系的概念。例如，降水、降雨、降雪等。有些学生总是把降水与降雨、降雪混淆，特别是降水与降雨常常混用。这是不科学的。事实上，降雨、降雪只是降水的两个并列独立子集，用集合表示就很直观。类似的还有银河系和河外星系、淡水与各种陆地淡水资源的关系等。
二、突破难点，提升教学效果
高中《地理Ⅰ》属自然地理范畴，逻辑性强，教学难点多，突破难点是完成教学目标的关键。从以往经验看，如果抓不住造成学生学习困难的关键点，难点就不能被有效突破，学生就会觉得哪儿都难。关键点突破了，学生就会感到豁然开朗，难点也就迎刃而解了。比如，地方时是地球自转的地理意义中的一个教学难点，而通过建立时区数轴，可以避免学生在时区换算及日界线问题上的混乱。如图1所示：
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图1 理论时区和日界线
由于地球自转运动和太阳光照的空间关系，引起了以太阳日（24小时）为周期的昼夜交替现象。由于东边的地点比西边的地点先迎来日出，因此东边的地点比西边的地点时间要早。越往东，时间越早，我们可把东时区看作正时区；越往西，时间越晚，可把西时区看作负时区。每向东一个时区，时间增加一个小时，东12区比西12区早24小时；每向西一个时区，时间减少一个小时。在计算时，我们可直接利用数轴下方的时区标注数值来计算时区差，要求的时区放在前面，减去已知的时区，带正负号计算。计算的时区差为正的，就加；为负的，就减。例如，当西5区为10月10日15点时，西1区要比西5区早4个小时（西1 区为-1，西5区为-5，两者相减即得4），加上4个小时，为10月10日19点；西7区要比西5区晚2个小时（西7区为-7，西5区为-5，两者相减即得-2），减去2个小时，为10月10日13点。实际上，这种计算方法也考虑了日界线问题。若计算结果大于24，则时刻需减去24，而把日期加上一天；若计算结果小于0，则时刻需加上24，而把日期减去一天。例如，当西5区为10月10日15点时，东8区要比西5区早13个小时（东8区为+8，西5区为-5，两者相减即得13），加上13个小时，为10月11日4点（计算结果为28，大于24，减去24，把日期加上一天）；当东8 区为10月11日4点时，零时区要比东8区晚8个小时（零时区为0，东8区为+8，两者相减即得-8），减去8个小时，为10月10日20点（计算结果为-4，小于0，加上24，把日期减去一天）。
再如，正弦曲线图可以用来显示太阳直射点的南北移动和昼夜长短的季节变化。以显示昼夜长短的季节变化为例，见图2。
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图2 昼夜长短随时间的变化
图中y=昼长-夜长。以北半球为例，若y>0，即昼长夜短，为北半球夏半年。y 值越大，昼越长，夜越短。6月22日，y值达到最大值，这一天北半球昼最长，夜最短，为北半球夏至日。若y=0，即昼夜等长，为春分日、秋分日。若y<0，即昼短夜长，为北半球冬半年。y 值越小，昼越短，夜越长。12月22日，y值达到最小值，这一天北半球昼最短，夜最长，为北半球冬至日。南半球情况与此相反。
又如，在讲到正午太阳高度的纬度变化和季节变化时，可以纬度为横轴，正午太阳高度为纵轴构建坐标系，画出二分二至日正午太阳高度的纬度分布图，给学生一个非常直观的认识，如图3所示。
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图3 二分二至日正午太阳高度的纬度分布
根据图中三条曲线变化规律，可以很容易归纳与总结正午太阳高度分布规律：（1）冬至日，太阳直射点位于23°26′S，正午太阳高度由南回归线向南北两侧递减，南回归线以南各纬度正午太阳高度达到一年中的最大值，赤道及北半球各纬度的正午太阳高度达到一年中的最小值。（2）夏至日，太阳直射点位于23°26′N，正午太阳高度由北回归线向南北两侧递减，北回归线以北各纬度正午太阳高度达到一年中的最大值，赤道及南半球各纬度正午太阳高度达到一年中的最小值。（3）二分（春分和秋分）日，太阳直射在赤道，正午太阳高度由赤道向南北两侧递减。（4）南北回归线之间的地区，太阳直射时达到最大值，一年有两次。南北回归线上一年一次。（5）赤道上一年有两次最小值，其他地区一年一次。 三、拓宽视野，激发学习兴趣
中学地理学习中需要数学相关基础知识，而有的数学知识已经在高中数学新课程中难觅踪影，但这部分知识又是地理学习中需要的知识，因此，这部分知识需要我们补充给学生。另外，一些知识虽然在数学教材中有的，也是重点知识，学生也是已经掌握了的，但是换了一个学科的学习环境，学生很难主动去应用这些数学知识和原理。对此，我们应该先创设一个和谐的环境，做好数学知识的铺垫，把地理知识和原理建立在学生的数学原点之上，来构建我们的地理教学与学习环境，让我们的学生在自己已经具有知识的基础上构建地理的学习基石和成功的大厦。
例如，在学习“太阳是地球能量的主要来源”时，学生对太阳巨大的能量辐射并没有一个清晰的认识。这时，我们可以在学习了太阳常数后， 让学生计算太阳每分钟向宇宙空间辐射的能量有多少。基本的计算思路是，设想太阳辐射是“空间均匀”的，即按各向同性均匀地辐射到太空中。那么，这个辐射到达地球时，是均匀地分布在一个以太阳为球心，以日地平均距离（1天文单位）为半径的球面上。因此，太阳每分钟向宇宙空间辐射的能量就可用太阳常数乘以一个以太阳中心为球心，日地平均距离为半径的球的表面积来计算。在计算出太阳每分钟向宇宙空间辐射的能量有2.32×1028焦耳后，强调一下也就是每分钟2.32万亿亿亿焦耳。如果太阳表层有12米厚的0°C的冰层，太阳一分钟所辐射出来的能量，能够把它融化成为0°C的水。这不仅使学生对太阳巨大的辐射能量有了较为直观的认识，还激发了学生进一步了解如此巨大的太阳辐射能量是如何产生的学习热情。
通过对数学知识的简单过滤和提及，去激发学生回忆和搜寻曾经学过的数学知识，对学生的数学知识是一种巩固，同时也把地理知识纳入到学生以前的知识体系中去，进行融会贯通，弥补了学生分科学习的鸿沟，同时对学生主动去应用所学到的知识也是一种很好的帮助。
四、拓展思维，提升解题能力
在地球运动的地理意义中，正午太阳高度角的计算是教学的重点和难点。在以前的地理教学中，我经常使用一些教辅书中提供的正午太阳高度角计算公式进行教学，即H=90°-|当地地理纬度±直射点地理纬度|。其中，H代表当地正午太阳高度角，当地地理纬度是指所求地点的地理纬度，直射点地理纬度是指此时太阳直射点所在地点的地理纬度。如果两地在同一半球，用减号，在不同半球，用加号。如果计算结果超过90°，就再用180°减去它。应该说，套用这样的公式进行计算还是比较方便的。但在实际的解题过程中，不少学生在使用公式时常会出现记忆上的差错，或是在面对变换了的题目时发生公式套反的情况。仔细分析起来，实际上还是学生并没有真正理解公式的本质，而只是对公式进行了机械的记忆。因此，我对正午太阳高度角的计算公式进行了进一步的数学分析，并把它简化为H=90°-夹角。这里的“夹角”是所求的地点与太阳直射点之间的夹角。这个简化公式是这样推导得来的，如图4、图5所示。对此，我分两种情况进行了分析。
1.当太阳直射点与所求地点在同一半球或其中一点在赤道上时。如图4所示，A点为太阳直射点，B点为所求地点，∠1为A、B两点的夹角（锐角）。在B点作地平线，则角H即为所求地点的正午太阳高度角。
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图4
由于太阳光线可以看成是一组平行光线，根据两直线平行同位角相等的平行线性质，可得∠2=∠1，则角H=（90°-∠2）=（90°-∠1）。也就是正午太阳高度角等于90°减去A、B两点的夹角，即H=90°-夹角。
2.当太阳直射点与所求地点在不同半球时。如图5所示，当A点为太阳直射点，B点为所求地点时，∠1为A、B两点的夹角（锐角）。在B点作地平线，则角H即为所求地点的正午太阳高度角。
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根据两直线平行同位角相等的平行线性质，同样可得∠2=∠1，则角H=（90°-∠2）=（90°-∠1）。也就是正午太阳高度角等于90°减去A、B两点的夹角，即H=90°-夹角。
实际上，在图4和图5中，还可以利用平行线的另一个性质，两直线平行内错角相等来证明H=90°-夹角。如图可得，角H=∠3=（180°-90°-∠1）=（90°-∠1），也就是正午太阳高度角等于90°减去A、B两点的夹角，即H=90°-夹角。在这里要特别注意的是，当∠1大于90°时，说明此时B点处于极夜。
总之，地理是一门综合性很强的学科，要学好地理知识，不仅需要学生有好的记忆力，还需要有对地理知识的充分理解。因此，在地理教学过程中，教师恰当地运用一些数学思想方法，可以帮助学生更好地学习地理。“运用之妙，存乎一心”，数学思想方法在地理教学过程中还有很多运用，需要我们在教学过程中逐步去体会。
参考文献：
[1]钱学森.谈地理科学的内容及研究方法[J].地理学报，1991（3）.
[2]王湛.建立具有中国特色的基础教育课程体系[J].异步教学研究，2002（5）.
[3]保尔·拉法格.回忆马克思恩格斯[M].北京：人民出版社，1973.
[4]吴建新.利用正弦曲线图进行“地球公转”的教学[J].地理教学，2009（6）.
[5]金祖孟.地球概论[M].上海：高等教育出版社，1986.（责编 张翼翔）