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摘 要：无穷小无穷大是高等数学微积分部分的重点。而这部分内容的学习抽象，高职学生数学基础知识比较薄弱，理解和接受能力较差，按照常规的方法讲解，学生接受感到困难，学习效果不佳。教学中首先从复习极限的定义及运算法则入手，尤其要对自变量的几种变化帮助他们归纳总结;在此基础上再介绍无穷小定义并对无穷小定义的注意点逐个举例剖析;最后对它的性质详细地按照学生的加减乘除的思维习惯一一进行举例分析，较好地符合了高职学生的认知规律，经检验学生掌握得较好，学习效果明显。
关键词：极限;运算法则;无穷小;性质;比较;应用
在实际问题中，我们经常遇到极限为零的变量。例如电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋于零;又如单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力和机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零等。无穷小在科学技术和生产实践中应用广泛。
在高等数学的学习中它既是前面函数极限知识的深入又是后续知识无穷小的比较、无穷小及无穷小的等价替换求其它函数极限等的铺垫，在微积分的学习中起到承上启下的连接作用。
高职数学课程标准中也明确规定这部分是微积分学习的重点。而这部分内容的学习抽象，高职学生数学基础知识比较薄弱，理解和接受能力较差，学习感到困难，学习效果不佳。现在教学中首先从复习极限的定义及运算法则入手;其次，把无穷小的定义的自变量的各种变化趋势下的情况及记号一一阐述;再对无穷小定义的注意点逐个举例对比;最后对它的性质详细地按照学生的加减乘除的思维习惯一一进行举例、分析，较好地符合了学生的认知规律。经检验学生掌握得快，学习效果明显。
一、复习（知识准备）
（1）数列极限的定义记号，函数极限的定义记号。
（2）极限的运算法则。
两个函数和或差的极限、两个函数乘积的极限、两个函数商的极限及由它们得到的推论。
二、无穷小的概念
（一）无穷小定义
如果当x→x0（或x→SymboleB@）时，函数fx的极限为零，那么称函数fx当x→x0（或x→SymboleB@）时为无穷小，记为limfx=0。
（二）在自变量的不同的变化趋势下无穷小的几种情况
根据上面所复习的极限的储备知识和介绍的无穷小的定义，举例讲清关于无穷小的六种具体情况：
（1）当自变量无限趋近于一个实数时的情况x→x0、x→x0+及x→x0-。
（2）当自变量x的绝对值无限增大时的情况x→SymboleB@、x→+SymboleB@及x→-SymboleB@。
（三）关于无穷小注意点
1.无穷小与绝对值很小的数的区别
通常无穷小是个变量，极限为零;而绝对值很小的数是常数，常数的极限还是常数。
例1 limx→SymboleB@1x2=0， limx→SymboleB@1×10-100000=1×10-100000
剖析：在x→SymboleB@的过程中1x2的绝对值越来越小，所以极限为0。而1×10-100000是常數，在x的绝对值无限增大的过程中它的值不变，估极限还是1×10-100000本身而不是0，所以不是无穷小。
2.无穷小与常数“0”的区别与联系
例2 limx→SymboleB@1x2=0 limx→SymboleB@0=0
剖析：根据无穷小的定义：1x2是x→SymboleB@时的无穷小，在 x→SymboleB@的过程中是变量;而常数“0”在x→SymboleB@的过程中始终是常数“0”。
3.不可离开自变量的变化趋势而言无穷小
例3 limx→SymboleB@1x2=0 limx→01x2=+SymboleB@
剖析：1x2是 x→SymboleB@时的无穷小量，而当 x→0时就变为无穷大。
三、无穷小的性质
（一）有限个无穷小的代数和为无穷小，无穷多个无穷小的和未必一定是无穷小
例如：x2和sinx是当x→0时的两个无穷小，当x→0时它们的和（x2+sinx）的极限根据运算法则也是0，所以（x2+sinx）也是x→0时的无穷小。
而1n，1n，…，1n都是n→SymboleB@时的无穷多个无穷小，当n→SymboleB@时1n+1n+…+1n的极限却是1，所以这n个无穷小的和不是n→SymboleB@时的无穷小，而是以1为极限的变量。
（二）有限个无穷小的乘积为无穷小，而无穷多个无穷小的积未必一定是无穷小
例如：limx→0（2x·tan2x）=0，即这两个无穷小的积仍为无穷小。而无穷多个数列①1， 12， 13， 14， 15， 16，…，16，…; ②1， 2， 13，14， 15， 16，…，1n，…;③1， 1， 32， 14， 15， 16，…，1n，…;……第n个数列前n-1项为1，第n项为 nn-1，第n项以后为1n+1，1n+2，1（n+3），…。这样n个数列的极限都为0也就是都为无穷小，但是把这n个数列乘起来，得一个新数列，新数列每一项都是1，此数列为1，1，1，…，1，…。所以新数列的极限是1。所以这无穷多个无穷小的乘积的极限是1不是无穷小。 （三）无穷小与有界函数的积为无穷小
例如：limx→0xsin（1x）=0，因为x是x→0时的无穷小，而sin1xSymbolcB@1，所以sin1x是有界函数。根据以上无穷小的性质可知limx→0xsin1x=0。
剖析：①因为虽然limx→0x=0，但 limx→0sin1x不存在，所以不可运用极限的运算法则计算。②提醒学生解此题应掌握什么是有界函数及常见的有界函数有那些必要时可适当记忆。③教给学生利用此性质求极限的说理过程，而不可只写个结论，说不清理由。
（四）常数与无穷小的积仍为无穷小
（五）恒不为零的无穷小的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小
（六）两个无穷小的商未必是无穷小
两个无穷小的和差积仍为无穷小，两个无穷小的商未必是无穷小。下面例举两个无穷小之商的各种情况进行剖析。例如：当 x→0时，5x，2x，x2都是无穷小。而limx→05x2x=52（两个无穷小的商的极限为52≠1）;limx→0x25x=0（两个无穷小的商的极限为0）;limx→05xx2=SymboleB@（两个无穷小的商的极限为SymboleB@）。
可见两个无穷小的商未必是无穷小。它反映了分子分母趋于0的快慢程度的不同。为了对无穷小趋于0的速度有一个定性的准确的描述，我们引出“无穷小的阶”的概念。也就是无穷小的比较：根据两个无穷小的商的极限的结果我们的出结论：（1）两个无穷小的商的極限为常数称两者为同阶无穷小。（2）两个无穷小的商的极限为零称分子是比父母较高阶的无穷小。（3）两个无穷小的商的极限为无穷大称分子是比父母较低阶的无穷小。
四、通过举例讲解应用无穷小的性质求极限、无穷大无穷小的关系求极限、无穷小的比较中等价无穷小量代换求极限，使学生更深入理解有关无穷小的概念
五、布置课后练习巩固有关无穷小的知识点
上述有关无穷小概念及其性质中的各个知识点，不是一层不变的而是需要具体问题具体对待的，除了课上通过具体的进行细致的剖析，课后还得进行一定量的练习才能帮助学生更好地掌握这部分内容。
参考文献：
[1]曹瑞成，姜海勤.大学数学，苏州大学出版社.
[2]教育部职业教育与成人教育司推荐教材五年制高等职业教育文化基础课教学用书.数学二.
[3]骆汝九，曹玉平，姬天富.高职高专规划教材.高等数学，苏州大学出版社.
作者简介：杨云，数学教研组。
关键词：极限;运算法则;无穷小;性质;比较;应用
在实际问题中，我们经常遇到极限为零的变量。例如电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋于零;又如单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力和机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零等。无穷小在科学技术和生产实践中应用广泛。
在高等数学的学习中它既是前面函数极限知识的深入又是后续知识无穷小的比较、无穷小及无穷小的等价替换求其它函数极限等的铺垫，在微积分的学习中起到承上启下的连接作用。
高职数学课程标准中也明确规定这部分是微积分学习的重点。而这部分内容的学习抽象，高职学生数学基础知识比较薄弱，理解和接受能力较差，学习感到困难，学习效果不佳。现在教学中首先从复习极限的定义及运算法则入手;其次，把无穷小的定义的自变量的各种变化趋势下的情况及记号一一阐述;再对无穷小定义的注意点逐个举例对比;最后对它的性质详细地按照学生的加减乘除的思维习惯一一进行举例、分析，较好地符合了学生的认知规律。经检验学生掌握得快，学习效果明显。
一、复习（知识准备）
（1）数列极限的定义记号，函数极限的定义记号。
（2）极限的运算法则。
两个函数和或差的极限、两个函数乘积的极限、两个函数商的极限及由它们得到的推论。
二、无穷小的概念
（一）无穷小定义
如果当x→x0（或x→SymboleB@）时，函数fx的极限为零，那么称函数fx当x→x0（或x→SymboleB@）时为无穷小，记为limfx=0。
（二）在自变量的不同的变化趋势下无穷小的几种情况
根据上面所复习的极限的储备知识和介绍的无穷小的定义，举例讲清关于无穷小的六种具体情况：
（1）当自变量无限趋近于一个实数时的情况x→x0、x→x0+及x→x0-。
（2）当自变量x的绝对值无限增大时的情况x→SymboleB@、x→+SymboleB@及x→-SymboleB@。
（三）关于无穷小注意点
1.无穷小与绝对值很小的数的区别
通常无穷小是个变量，极限为零;而绝对值很小的数是常数，常数的极限还是常数。
例1 limx→SymboleB@1x2=0， limx→SymboleB@1×10-100000=1×10-100000
剖析：在x→SymboleB@的过程中1x2的绝对值越来越小，所以极限为0。而1×10-100000是常數，在x的绝对值无限增大的过程中它的值不变，估极限还是1×10-100000本身而不是0，所以不是无穷小。
2.无穷小与常数“0”的区别与联系
例2 limx→SymboleB@1x2=0 limx→SymboleB@0=0
剖析：根据无穷小的定义：1x2是x→SymboleB@时的无穷小，在 x→SymboleB@的过程中是变量;而常数“0”在x→SymboleB@的过程中始终是常数“0”。
3.不可离开自变量的变化趋势而言无穷小
例3 limx→SymboleB@1x2=0 limx→01x2=+SymboleB@
剖析：1x2是 x→SymboleB@时的无穷小量，而当 x→0时就变为无穷大。
三、无穷小的性质
（一）有限个无穷小的代数和为无穷小，无穷多个无穷小的和未必一定是无穷小
例如：x2和sinx是当x→0时的两个无穷小，当x→0时它们的和（x2+sinx）的极限根据运算法则也是0，所以（x2+sinx）也是x→0时的无穷小。
而1n，1n，…，1n都是n→SymboleB@时的无穷多个无穷小，当n→SymboleB@时1n+1n+…+1n的极限却是1，所以这n个无穷小的和不是n→SymboleB@时的无穷小，而是以1为极限的变量。
（二）有限个无穷小的乘积为无穷小，而无穷多个无穷小的积未必一定是无穷小
例如：limx→0（2x·tan2x）=0，即这两个无穷小的积仍为无穷小。而无穷多个数列①1， 12， 13， 14， 15， 16，…，16，…; ②1， 2， 13，14， 15， 16，…，1n，…;③1， 1， 32， 14， 15， 16，…，1n，…;……第n个数列前n-1项为1，第n项为 nn-1，第n项以后为1n+1，1n+2，1（n+3），…。这样n个数列的极限都为0也就是都为无穷小，但是把这n个数列乘起来，得一个新数列，新数列每一项都是1，此数列为1，1，1，…，1，…。所以新数列的极限是1。所以这无穷多个无穷小的乘积的极限是1不是无穷小。 （三）无穷小与有界函数的积为无穷小
例如：limx→0xsin（1x）=0，因为x是x→0时的无穷小，而sin1xSymbolcB@1，所以sin1x是有界函数。根据以上无穷小的性质可知limx→0xsin1x=0。
剖析：①因为虽然limx→0x=0，但 limx→0sin1x不存在，所以不可运用极限的运算法则计算。②提醒学生解此题应掌握什么是有界函数及常见的有界函数有那些必要时可适当记忆。③教给学生利用此性质求极限的说理过程，而不可只写个结论，说不清理由。
（四）常数与无穷小的积仍为无穷小
（五）恒不为零的无穷小的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小
（六）两个无穷小的商未必是无穷小
两个无穷小的和差积仍为无穷小，两个无穷小的商未必是无穷小。下面例举两个无穷小之商的各种情况进行剖析。例如：当 x→0时，5x，2x，x2都是无穷小。而limx→05x2x=52（两个无穷小的商的极限为52≠1）;limx→0x25x=0（两个无穷小的商的极限为0）;limx→05xx2=SymboleB@（两个无穷小的商的极限为SymboleB@）。
可见两个无穷小的商未必是无穷小。它反映了分子分母趋于0的快慢程度的不同。为了对无穷小趋于0的速度有一个定性的准确的描述，我们引出“无穷小的阶”的概念。也就是无穷小的比较：根据两个无穷小的商的极限的结果我们的出结论：（1）两个无穷小的商的極限为常数称两者为同阶无穷小。（2）两个无穷小的商的极限为零称分子是比父母较高阶的无穷小。（3）两个无穷小的商的极限为无穷大称分子是比父母较低阶的无穷小。
四、通过举例讲解应用无穷小的性质求极限、无穷大无穷小的关系求极限、无穷小的比较中等价无穷小量代换求极限，使学生更深入理解有关无穷小的概念
五、布置课后练习巩固有关无穷小的知识点
上述有关无穷小概念及其性质中的各个知识点，不是一层不变的而是需要具体问题具体对待的，除了课上通过具体的进行细致的剖析，课后还得进行一定量的练习才能帮助学生更好地掌握这部分内容。
参考文献：
[1]曹瑞成，姜海勤.大学数学，苏州大学出版社.
[2]教育部职业教育与成人教育司推荐教材五年制高等职业教育文化基础课教学用书.数学二.
[3]骆汝九，曹玉平，姬天富.高职高专规划教材.高等数学，苏州大学出版社.
作者简介：杨云，数学教研组。