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本文以铝及其化合物和较活泼金属与酸反应的有关计算为例，分析简述数形结合思想的应用。
一、铝盐与强碱的反应
例1向30 mL 1 mol/L的AlCl3溶液中逐滴加入浓度为4 mol/L的NaOH溶液，若产生0.78 g白色沉淀，请用图示法计算加入的氢氧化钠的体积。
图1
解题思想如图1 x表示加入NaOH的体积，y表示沉淀的物质的量，从图中很快就可以得知加入的NaOH的体积有：
V1=30/4 mL；V2=110/4 mL。
反思如果不用画图的解题方法，学生在刚开始学习这部分知识时很容易只考虑第一种情况，忽视将铝离子沉淀完全，然后沉淀部分溶解的情况。但是学生如果画了图，图中曲线的交点非常明确告诉学生这里有两个值。
变题练习1将AlCl3溶液和NaOH溶液等体积混合，得到的沉淀物中和溶液中所含的铝元素的质量相等，则原AlCl3溶液和NaOH溶液的物质的量浓度之比可能是，画图解题（B、D）。
A.1∶3 B. 2∶3 C. 1∶4 D. 2∶7
二、偏铝酸盐和酸反应
例2向100 mL 0.25 mol·L-1的AlCl3溶液中加入金属钠完全反应，
（1）恰好生成只含NaCl和NaAlO2的澄清溶液，则加入金属钠的质量是多少？
（2）得到沉淀最大值是需金属钠的物质的量是多少？同时生成氢气标准状况体积多少升？
（3）在（1）的溶液中滴加盐酸，如果得到沉淀最大值时需HCl的物质的量多少？如果将一半铝元素生成沉淀，则需HCl的物质的量又是多少？
图2
解题思想（1）（2）应用守恒法可求解。（3）以横坐标表示氢氧化钠的物质的量，纵坐标表示得到沉淀的物质的量作图（见图2）。图中A点是沉淀最大值点，对应横坐标的氢氧化钠物质的量
为0.075 mol，此时需要金属钠的物质的量为0.075 mol；B点是生成只含NaCl和NaAlO2的澄清溶液点，对应横坐标氢氧化钠的物质的量为0.1 mol，金属钠的物质的量为0.1 mol；C和D点对应的纵坐标是沉淀一半铝元素的点，同时也可以在横坐标上找到加入盐酸反应的氢氧化钠的物质的量。再利用元素物质的量守恒原理很快就可以得到各小题答案：
（1）Na的物质的量是0.1 mol；质量为2.3 g。
（2）沉淀最大时，钠的物质的量是3×0.025=0.075mol，产生标准状况氢气：0.0375×22.4=0.84L；
（3）铝元素一半沉淀时加入盐酸可以从图中BD段和BC段
对应横坐标的物质的量进行寻找。因此得到沉淀一半时加入盐酸分别是：0.0125mol和0.0625mol。
反思：在教学中不采用数形结合思想，有几个方面会导致学生思维混乱：①该题中的反应较多；学生不知从何入手。②开始是从金属钠出发，而且第一小题问题是直接到NaCl
和NaAlO2，跨度有点大；③题中提出问题：反加盐酸，学生思维转变不到位等等。这样学生的解题是在写出很多方程式的基础上进行，繁、乱、不全面是必然的。
当然对题中信息处理作图是一个需要学生体现能力的过程，学生必须要对题中信息进行处理，找到可以作图的物理量，而且可以通过图中横纵坐标代表的物理量将题目信息体
现出来，题目问题体现出来，这样才能离答案越来越近。这是这一思想解题的关键。教师必须认真引导，学生练习掌握。
变题练习2在下列各选项中填入适当的序号。
A.x轴代表在搅拌情况下向NaOH溶液中加入铝盐物质的量，y轴代表混合物中沉淀量的变化，那么该坐标图应是 ④ ；
B.x轴代表在搅拌情况下向铝盐溶液中加入NaOH物质的量，y轴代表混合物中沉淀量的变化，那么该坐标图应是 ② ；
C.x轴代表在搅拌情况下向偏铝酸钠溶液中加入盐酸物质的量，y轴代表混合物中沉淀量的变化，那么该坐标图应是 ③ ；
D.坐标图 ⑥ 可以表示在搅拌情况下向MgCl2和AlCl3的混合溶液中加入NaOH物质的量（x轴）和产生沉淀量（y轴）的变化关系。
图3
变题练习3把镁铝合金用稀硫酸溶解，加入氢氧化钠溶液的体积与生成沉淀的质量关系如图3，则合金中镁和铝的质量比是（B）。
A.2∶3 B. 8∶9 C.4∶3 D.4∶9
三、较活泼金属和酸反应的题型
例3有质量都为A g的金属钠、镁、铝、铁四种金属，分别和0.5 L 2 mol/L的稀盐酸反应，试讨论A的不同取值范围时， 生成氢气体积大小的顺序。（同温同压）
解题思想对题中信息分析以横坐标代表金属质量，纵坐标代表生成氢气的物质的量作图（见图4）。图中OA段是铝和盐酸反应曲线；OB段是镁和盐酸反应的曲线；OC直线是钠和盐酸反应的曲线：OD段是铁和盐酸反应的曲线。
图4
作图的思路先计算酸完全反应是消
耗各金属的质量，铝是9 g，镁是12 g，钠金属活泼，酸完全反应消耗钠23 g，但钠会继续和水反应，因此曲线是OC的直线延长；铁是28 g。
图示分析：从图中曲线可知：
（1）当0镁>钠>铁；
（2）当12≤A<23时，放出氢气的情况是：铝=镁>钠>铁；
（3）当A=23时，放出氢气的情况是：铝=镁=钠>铁；
（4）当23镁=铝>铁；
（5）当28≤A时，放出氢气的情况是：钠>镁=铝=铁。
反思此类题型主要是比较的物质有多种，而且讨论的区间有交叉的区域，如果学生单从化学方程式的反应比例进行讨论，会出现：①讨论的物质多，思维容易乱；②讨论区间交叉处不能理清；③容易漏某些讨论区间等问题。因此，这时解题思想的引导对解决此类题型非常重要，而且数形结合思想对学生的掌握没有障碍，只要教师适当指点，同学们很容易学会解题。
此类题型作图的关键是：要找准横纵坐标的物理量，不然图作出后，图中曲线不具有解决题中问题的功能。这是教师在指导学生解题时要特别强调的。
（收稿日期：2014-09-10）
一、铝盐与强碱的反应
例1向30 mL 1 mol/L的AlCl3溶液中逐滴加入浓度为4 mol/L的NaOH溶液，若产生0.78 g白色沉淀，请用图示法计算加入的氢氧化钠的体积。
图1
解题思想如图1 x表示加入NaOH的体积，y表示沉淀的物质的量，从图中很快就可以得知加入的NaOH的体积有：
V1=30/4 mL；V2=110/4 mL。
反思如果不用画图的解题方法，学生在刚开始学习这部分知识时很容易只考虑第一种情况，忽视将铝离子沉淀完全，然后沉淀部分溶解的情况。但是学生如果画了图，图中曲线的交点非常明确告诉学生这里有两个值。
变题练习1将AlCl3溶液和NaOH溶液等体积混合，得到的沉淀物中和溶液中所含的铝元素的质量相等，则原AlCl3溶液和NaOH溶液的物质的量浓度之比可能是，画图解题（B、D）。
A.1∶3 B. 2∶3 C. 1∶4 D. 2∶7
二、偏铝酸盐和酸反应
例2向100 mL 0.25 mol·L-1的AlCl3溶液中加入金属钠完全反应，
（1）恰好生成只含NaCl和NaAlO2的澄清溶液，则加入金属钠的质量是多少？
（2）得到沉淀最大值是需金属钠的物质的量是多少？同时生成氢气标准状况体积多少升？
（3）在（1）的溶液中滴加盐酸，如果得到沉淀最大值时需HCl的物质的量多少？如果将一半铝元素生成沉淀，则需HCl的物质的量又是多少？
图2
解题思想（1）（2）应用守恒法可求解。（3）以横坐标表示氢氧化钠的物质的量，纵坐标表示得到沉淀的物质的量作图（见图2）。图中A点是沉淀最大值点，对应横坐标的氢氧化钠物质的量
为0.075 mol，此时需要金属钠的物质的量为0.075 mol；B点是生成只含NaCl和NaAlO2的澄清溶液点，对应横坐标氢氧化钠的物质的量为0.1 mol，金属钠的物质的量为0.1 mol；C和D点对应的纵坐标是沉淀一半铝元素的点，同时也可以在横坐标上找到加入盐酸反应的氢氧化钠的物质的量。再利用元素物质的量守恒原理很快就可以得到各小题答案：
（1）Na的物质的量是0.1 mol；质量为2.3 g。
（2）沉淀最大时，钠的物质的量是3×0.025=0.075mol，产生标准状况氢气：0.0375×22.4=0.84L；
（3）铝元素一半沉淀时加入盐酸可以从图中BD段和BC段
对应横坐标的物质的量进行寻找。因此得到沉淀一半时加入盐酸分别是：0.0125mol和0.0625mol。
反思：在教学中不采用数形结合思想，有几个方面会导致学生思维混乱：①该题中的反应较多；学生不知从何入手。②开始是从金属钠出发，而且第一小题问题是直接到NaCl
和NaAlO2，跨度有点大；③题中提出问题：反加盐酸，学生思维转变不到位等等。这样学生的解题是在写出很多方程式的基础上进行，繁、乱、不全面是必然的。
当然对题中信息处理作图是一个需要学生体现能力的过程，学生必须要对题中信息进行处理，找到可以作图的物理量，而且可以通过图中横纵坐标代表的物理量将题目信息体
现出来，题目问题体现出来，这样才能离答案越来越近。这是这一思想解题的关键。教师必须认真引导，学生练习掌握。
变题练习2在下列各选项中填入适当的序号。
A.x轴代表在搅拌情况下向NaOH溶液中加入铝盐物质的量，y轴代表混合物中沉淀量的变化，那么该坐标图应是 ④ ；
B.x轴代表在搅拌情况下向铝盐溶液中加入NaOH物质的量，y轴代表混合物中沉淀量的变化，那么该坐标图应是 ② ；
C.x轴代表在搅拌情况下向偏铝酸钠溶液中加入盐酸物质的量，y轴代表混合物中沉淀量的变化，那么该坐标图应是 ③ ；
D.坐标图 ⑥ 可以表示在搅拌情况下向MgCl2和AlCl3的混合溶液中加入NaOH物质的量（x轴）和产生沉淀量（y轴）的变化关系。
图3
变题练习3把镁铝合金用稀硫酸溶解，加入氢氧化钠溶液的体积与生成沉淀的质量关系如图3，则合金中镁和铝的质量比是（B）。
A.2∶3 B. 8∶9 C.4∶3 D.4∶9
三、较活泼金属和酸反应的题型
例3有质量都为A g的金属钠、镁、铝、铁四种金属，分别和0.5 L 2 mol/L的稀盐酸反应，试讨论A的不同取值范围时， 生成氢气体积大小的顺序。（同温同压）
解题思想对题中信息分析以横坐标代表金属质量，纵坐标代表生成氢气的物质的量作图（见图4）。图中OA段是铝和盐酸反应曲线；OB段是镁和盐酸反应的曲线；OC直线是钠和盐酸反应的曲线：OD段是铁和盐酸反应的曲线。
图4
作图的思路先计算酸完全反应是消
耗各金属的质量，铝是9 g，镁是12 g，钠金属活泼，酸完全反应消耗钠23 g，但钠会继续和水反应，因此曲线是OC的直线延长；铁是28 g。
图示分析：从图中曲线可知：
（1）当0
（2）当12≤A<23时，放出氢气的情况是：铝=镁>钠>铁；
（3）当A=23时，放出氢气的情况是：铝=镁=钠>铁；
（4）当23
（5）当28≤A时，放出氢气的情况是：钠>镁=铝=铁。
反思此类题型主要是比较的物质有多种，而且讨论的区间有交叉的区域，如果学生单从化学方程式的反应比例进行讨论，会出现：①讨论的物质多，思维容易乱；②讨论区间交叉处不能理清；③容易漏某些讨论区间等问题。因此，这时解题思想的引导对解决此类题型非常重要，而且数形结合思想对学生的掌握没有障碍，只要教师适当指点，同学们很容易学会解题。
此类题型作图的关键是：要找准横纵坐标的物理量，不然图作出后，图中曲线不具有解决题中问题的功能。这是教师在指导学生解题时要特别强调的。
（收稿日期：2014-09-10）