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【摘 要】本文论述了在高职微分方程的教学中融入数学建模的思想，通过分析高职学生的数学学习现状，提出了在常微分方程教学中渗透数学建模思想的意义及方法以及常微分方程在数学建模中的应用，使学生能体会应用数学知识解决实际问题的乐趣，全面提高学生的数学素质，达到实现教学改革的目标。
【关键词】高职；常微分方程；数学建模；应用
引言：
常微分方程是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。它已有着300多年的悠久历史，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中，常微分方程的应用范围不断扩大并深入到机械、电讯、化工、生物、经济和其他社会学科的各个领域。作为一门基础课教程，该课程主要介绍常微分方程的一些常用解法和基本理论。这些内容将为数学、力学、物理和计算机系的大学生在后继学习中服务。它们对于数学联系实际和各种数学方法的灵活应用是不可缺少的基本训练，这正是常微分方程课程的一个特色。常微分方程基本理论是该学科的精华所在，其基本理论的教学目的是让学生去体会常微分方程的思想方法，领略数学思想的魅力。然而，很多理工科学生在学习的过程中不了解学这门课程有什么用途而存在偏重方程的解法计算，轻理论分析，死记硬背公式的倾向，以至于学生在运用常微分方程知识建立微分方程数学模型不能获得解析解而无法分析解决实际问题，从而缺乏学习的动力和兴趣，最后逐渐认为这是一门非常枯燥而没用的学科。造成这种倾向的原因是多方面的，基本理论内容比较抽象，教师的课堂教学等都有一定的关系，鉴于此现状，本文从融入数学建模思想这个角度来对常微分方程课程的课堂教学进行分析和探讨。
一、常微分方程与数学建模的关系特点
（一）数学建模
进入20世纪以来，随着数学向一切学科领域的渗透以及计算机应用技术的飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视。通过对实际问题的分析抽象和简化，明确实际问题中最重要的变量和参数，通过系统的变化规律或实验观测数据建立起这些变量和参数之间的量化关系，用精确或近似的数学方法求解，然后把数学结果与实际问题进行比较，用实际数据验证模型的合理性，对模型进行修改和完善，最后将模型用于解决实际问题的过程，这就是数学建模。简而言之，数学建模就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的过程，体现了“用数学”的思想。
（二）常微分方程与数学建模相辅相成
在常微分方程的教学过程中，教师应该先了解学生的专业特点，由于教授这门课程所面向的是成人本科生，学生入学时的知识结构有多不同，因而产生了教学该如何设计的一个特殊性。那么，在授课中从学生的学习需求出发，让学生初步了解微分方程的类型，及其相应的解法特点，有选择性地引入简化的条件特殊化的常微分方程数学模型，在学生熟练掌握特定类型的微分方程的解法后逐步完善数学模型，进而引导学生思考一般化更为复杂的微分方程的模型。下面我们用例子加以说明。
例：国民经济的增长模型
国民收入的主要来源是生产。国民收入主要用于以下三个方面：消费资金、投入再生产的积累资金、公共设施的开支。下面将讨论国民收入与这三者的关系，并建立相应的国民经济的增长模型。
解：假设Y（t）是时刻的国民收入水平，也可用它表示生产水平；C（t）表示时刻消费水平；G表示用于公共设施的开支水平，这里把它看做是常数；I（t）是时刻用于投入再生产的投资水平。
根据实际情况可以看出国民的消费水平与国家生产水平成正比，比例系数为k，即C=Yk，k∈（0，I），称k是消费系数，S=1-k称为积累系数。对于t时刻国民这三方面总的需求水平表示为D（t），则有：D=kY+I+G （1）
通过以上对实际问题的模型建立、分析，很好地运用常微分方程的相应解法计算、讨论，可以看出国民收入与消费资金、投入再生产的积累资金、公共设施的开支，这三者的关系特点，该模型为国家有关部门提供了国民经济增长的一个预测模型，可以很好地制定相关的政策法规，从而有利于国家的发展，创造一个更为和谐的社会。
二、在常微分方程教学中渗透数学建模思想的意义及方法
常微分方程是高等数学教学内容中很重要的一部分，因为它的应用广泛，和专业课紧密联系，同时也是数学建模中处理问题的重要方法之一。在传统的教学模式下，学生在学习常微分方程这部分内容时只知道怎么解题，却不知道有什么用处，缺乏学习的动力和兴趣。很显然这样的教学模式已不适应现代社会发展的需求了。因此，全国高等院校数学课程指导委员会提出，“要加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养与训练”，这说明学生需要将常微分方程，计算机等知识应用于实践，并且通过常微分方程与数学建模的有效结合来解决实际问题，在常微分方程中渗透了建模思想。
用微分方程解决问题有如下几个步骤：①提出实际问题；②根据实际问题列出微分方程，建立数学模型；③对方程进行更深层次的分析或者直接解微分方程；④分析微分方程的解来预测实际问题的发展趋势，即依据数学语言来解释实际现象或者预测实际问题。用数学语言如何阐述实际问题，如何合理假设，依据何种原理来建立微分方程，这些问题在教学讲解分析常微分方程模型时需要着重强调，适当可以利用一些数学软件。目前，我们可以通过建立微分方程模型来研究方程的解以及曲线随自变量的变化情况，逐步改变原有的只注重解题方法的关于微分方程的教学模式。用初等方法难以求出方程的解析解，这是因为模型是由复杂的方程和方程组构成。在此利用一些数学软件（Matlab，Mathematica）来求数值解并作数值模拟，从而可以提高学生灵活运用数学软件去研究和探索实际问题的能力，激发了学生的学习兴趣。
三、教学感悟
常微分方程中许多概念、性质、定理的形成过程本身就融入着数学建模的思想，我们在教学的过程中可以结合实际自然而然地引出课程内容。然而，数学建模思想的培养不是一蹴而就，是长期培养和锻炼才能形成的。因此，首先，教师应树立先进的教育理念，师生共同明确学习常微分方程这门课程的目的；其次，应从学生的专业特点、学习情况、接受情况出发，在课程教学中应注意启发学生的思维，培养学生的创新能力；最后，教师在充分理解教材的基础上，掌握课程特点，适当删减理论性强，冗长繁琐的证明过程，因材施教。此外，还应不断创新教学方法，融入数学建模思想，适当增加一些建模实例，并讲解其中的解题过程，让枯燥难学的数学定理、公式变得简单，生动有趣，这样不仅不会增加学生的学习负担，反而激发他们的学习兴趣，使学生感到课本知识不是生搬硬套规定的，而是与实际生活密切相关的，让学生真正体会到学以致用“生活中处处有数学”。本文只是个人的见解在此亦希望能得到各位同行的指导意见，完善本课程的教学。
参考文献：
[1]高素志，马遵路，曾昭著等.常微分方程[M].北京：北京师范大学出版社，1985.
[2]周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用[M].北京：科学出版社，2003.
[3]熊桂芳，王濤.高职常微分方程教学中数学建模思想的渗透.
作者简介：
白莉红（1978—），女，甘肃张掖人，工作单位：甘肃建筑职业技术学院，职务：教师，研究方向：应用数学。
【关键词】高职；常微分方程；数学建模；应用
引言：
常微分方程是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。它已有着300多年的悠久历史，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中，常微分方程的应用范围不断扩大并深入到机械、电讯、化工、生物、经济和其他社会学科的各个领域。作为一门基础课教程，该课程主要介绍常微分方程的一些常用解法和基本理论。这些内容将为数学、力学、物理和计算机系的大学生在后继学习中服务。它们对于数学联系实际和各种数学方法的灵活应用是不可缺少的基本训练，这正是常微分方程课程的一个特色。常微分方程基本理论是该学科的精华所在，其基本理论的教学目的是让学生去体会常微分方程的思想方法，领略数学思想的魅力。然而，很多理工科学生在学习的过程中不了解学这门课程有什么用途而存在偏重方程的解法计算，轻理论分析，死记硬背公式的倾向，以至于学生在运用常微分方程知识建立微分方程数学模型不能获得解析解而无法分析解决实际问题，从而缺乏学习的动力和兴趣，最后逐渐认为这是一门非常枯燥而没用的学科。造成这种倾向的原因是多方面的，基本理论内容比较抽象，教师的课堂教学等都有一定的关系，鉴于此现状，本文从融入数学建模思想这个角度来对常微分方程课程的课堂教学进行分析和探讨。
一、常微分方程与数学建模的关系特点
（一）数学建模
进入20世纪以来，随着数学向一切学科领域的渗透以及计算机应用技术的飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视。通过对实际问题的分析抽象和简化，明确实际问题中最重要的变量和参数，通过系统的变化规律或实验观测数据建立起这些变量和参数之间的量化关系，用精确或近似的数学方法求解，然后把数学结果与实际问题进行比较，用实际数据验证模型的合理性，对模型进行修改和完善，最后将模型用于解决实际问题的过程，这就是数学建模。简而言之，数学建模就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的过程，体现了“用数学”的思想。
（二）常微分方程与数学建模相辅相成
在常微分方程的教学过程中，教师应该先了解学生的专业特点，由于教授这门课程所面向的是成人本科生，学生入学时的知识结构有多不同，因而产生了教学该如何设计的一个特殊性。那么，在授课中从学生的学习需求出发，让学生初步了解微分方程的类型，及其相应的解法特点，有选择性地引入简化的条件特殊化的常微分方程数学模型，在学生熟练掌握特定类型的微分方程的解法后逐步完善数学模型，进而引导学生思考一般化更为复杂的微分方程的模型。下面我们用例子加以说明。
例：国民经济的增长模型
国民收入的主要来源是生产。国民收入主要用于以下三个方面：消费资金、投入再生产的积累资金、公共设施的开支。下面将讨论国民收入与这三者的关系，并建立相应的国民经济的增长模型。
解：假设Y（t）是时刻的国民收入水平，也可用它表示生产水平；C（t）表示时刻消费水平；G表示用于公共设施的开支水平，这里把它看做是常数；I（t）是时刻用于投入再生产的投资水平。
根据实际情况可以看出国民的消费水平与国家生产水平成正比，比例系数为k，即C=Yk，k∈（0，I），称k是消费系数，S=1-k称为积累系数。对于t时刻国民这三方面总的需求水平表示为D（t），则有：D=kY+I+G （1）
通过以上对实际问题的模型建立、分析，很好地运用常微分方程的相应解法计算、讨论，可以看出国民收入与消费资金、投入再生产的积累资金、公共设施的开支，这三者的关系特点，该模型为国家有关部门提供了国民经济增长的一个预测模型，可以很好地制定相关的政策法规，从而有利于国家的发展，创造一个更为和谐的社会。
二、在常微分方程教学中渗透数学建模思想的意义及方法
常微分方程是高等数学教学内容中很重要的一部分，因为它的应用广泛，和专业课紧密联系，同时也是数学建模中处理问题的重要方法之一。在传统的教学模式下，学生在学习常微分方程这部分内容时只知道怎么解题，却不知道有什么用处，缺乏学习的动力和兴趣。很显然这样的教学模式已不适应现代社会发展的需求了。因此，全国高等院校数学课程指导委员会提出，“要加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养与训练”，这说明学生需要将常微分方程，计算机等知识应用于实践，并且通过常微分方程与数学建模的有效结合来解决实际问题，在常微分方程中渗透了建模思想。
用微分方程解决问题有如下几个步骤：①提出实际问题；②根据实际问题列出微分方程，建立数学模型；③对方程进行更深层次的分析或者直接解微分方程；④分析微分方程的解来预测实际问题的发展趋势，即依据数学语言来解释实际现象或者预测实际问题。用数学语言如何阐述实际问题，如何合理假设，依据何种原理来建立微分方程，这些问题在教学讲解分析常微分方程模型时需要着重强调，适当可以利用一些数学软件。目前，我们可以通过建立微分方程模型来研究方程的解以及曲线随自变量的变化情况，逐步改变原有的只注重解题方法的关于微分方程的教学模式。用初等方法难以求出方程的解析解，这是因为模型是由复杂的方程和方程组构成。在此利用一些数学软件（Matlab，Mathematica）来求数值解并作数值模拟，从而可以提高学生灵活运用数学软件去研究和探索实际问题的能力，激发了学生的学习兴趣。
三、教学感悟
常微分方程中许多概念、性质、定理的形成过程本身就融入着数学建模的思想，我们在教学的过程中可以结合实际自然而然地引出课程内容。然而，数学建模思想的培养不是一蹴而就，是长期培养和锻炼才能形成的。因此，首先，教师应树立先进的教育理念，师生共同明确学习常微分方程这门课程的目的；其次，应从学生的专业特点、学习情况、接受情况出发，在课程教学中应注意启发学生的思维，培养学生的创新能力；最后，教师在充分理解教材的基础上，掌握课程特点，适当删减理论性强，冗长繁琐的证明过程，因材施教。此外，还应不断创新教学方法，融入数学建模思想，适当增加一些建模实例，并讲解其中的解题过程，让枯燥难学的数学定理、公式变得简单，生动有趣，这样不仅不会增加学生的学习负担，反而激发他们的学习兴趣，使学生感到课本知识不是生搬硬套规定的，而是与实际生活密切相关的，让学生真正体会到学以致用“生活中处处有数学”。本文只是个人的见解在此亦希望能得到各位同行的指导意见，完善本课程的教学。
参考文献：
[1]高素志，马遵路，曾昭著等.常微分方程[M].北京：北京师范大学出版社，1985.
[2]周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用[M].北京：科学出版社，2003.
[3]熊桂芳，王濤.高职常微分方程教学中数学建模思想的渗透.
作者简介：
白莉红（1978—），女，甘肃张掖人，工作单位：甘肃建筑职业技术学院，职务：教师，研究方向：应用数学。