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摘 要 函数是高中后续课程导数的研究对象，是高中教学的重点之一。借助建系，引导学生用集合观点理解曲线方程的思想，进而找出曲线与方程的对应关系。牢记求曲线方程的一般步骤，遵循建系原则，通过反复磨课与点评，作为老师在授课“求精”层次获得历练与提升，作为学生在听课“到位”层次得到知新与拓展。以众多题例与变式的引入，旨在打造高中生函数问题解决能力的提高，重在锤炼老师用解析法求曲线方程的教学行为。
关键词 高中教学；曲线方程；问题解决；教学行为
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）36-0186-03
函数作为学生高考的重要内容，几乎贯穿了整个数学高考试卷，函数的教学质量可以说是直接关系着學生的高考数学成绩。而曲线方程作为函数中的一项重要组成部分，是函数问题由简单过渡到复杂的分界线，也是学生未来学习函数的基础。因此，在这种情况下，我们就需要重视函数曲线方程的教学质量，运用合适的教学方法来提高学生的曲线方程学习水平。
一、教材分析
（一）教材地位和作用
“求曲线的方程”是人教A版选修2-1《圆锥曲线与方程》的重点内容之一，是在介绍了“直线的方程”之后，对一般曲线（也包括直线）与二元方程的关系作进一步的研究。这部分内容从理论上揭示几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为后续圆锥曲线的研究作先期铺垫，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时体现解析几何的基本思想，丰富了解析几何的理论内涵[1]。
（二）教学重点和难点
重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法。
难点：在理解层面，曲线和方程的概念比较抽象，高二生抽象思维能力还不是很强，他们对曲线和方程关系的“纯粹性”与“完备性”的理解不够明晰，弄不清它们之间的区别与联系，易产生“为什么要规定这样两个关系”的疑问。所以，对概念的理解，尤其“两个关系”是认知难点。
二、研修背景
自2010年以来，数学组骨干教师每学期都要进行“问题解决的数学课堂”的主题式课例研修。研修依据行动教育（以课例为载体、以问题为抓手，在教学行动中开展包括专业理论学习在内的教学研修活动规范式的探索），以课堂为目标，以校本研修为路径，收获了“品?为师、学?为师、高?为师、胜?为师、乐?为师”课例研修成果和“研修范式”经验。研修行动证明：课例研修是教师学会教学、提升效果、强化学科建设的捷径，能够实现教师发展、教学改进、质量提高的共赢。
三、课例研修实施阶段
（一）第一轮课堂实录
[幻灯片2]
（1）求曲线的方程
学习目标
1.了解求曲线方程的步骤；2.会求简单曲线的方程。
[幻灯片3]
回顾：
证明曲线C和二元方程f（x，y）=0的对应关系，必须同时具备哪两个条件？请用文字语言叙述后，用数学（符号）语言描写。
1.若P（x0，y0）∈C，则f（x0，y0）=0成立
2.若f（x0，y0）=0，则P（x0，y0）∈C
[幻灯片4]
例已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
[幻灯片5]
图1
解：如图1，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建坐标系xOy。
设点M（x，y）是曲线上任意一点，作 轴于B，那么点M属于集合
由两点间的距离公式，得 ，移项两边平方得 。
化简整理得 ，因为曲线在x轴上方，则y>0，虽然原点O（0，0）是该方程的解，但不属于已知曲线，所以满足条件的曲线方程是 。
[幻灯片6]
知识梳理
（1）根据以上解题过程，请同学总结求曲线（图形）方程的一般步骤（教材P-36）：
（1）建系，设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）列式（找等量关系）：写出适合条件p的点M的集合P{M|p（M）}；
（3）代换：用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；
（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；
（5）检验：说明方程的解，是否都满足曲线要求，在判断时，需同时判断方程的解不比曲线上的点多，曲线上的点不比方程的解多。
[幻灯片7]
重难剖析
【要点】2.如何建立直角坐标系？
【剖析】在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”原则：①要有良好的对称性；②尽可能少引入字母；一般地，我们按以下几个原则来建立直角坐标系：
（1）若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；
（2）若已知两定点，常以两定点的中点（或其中一个定点）为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
[幻灯片8]
（3）若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
（4）若已知一定点和一条直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为x轴正方向建立直角坐标系；
（5）若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系。
[幻灯片9]
练习圆心C的坐标（6，0），半径R=4，求此圆的方程。
问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面部分的方程。 探究：若∣AB∣=4，如何建立坐标系求AB的中垂线的方程。
[幻灯片10]
题型探析
题型1判断曲线与方程的对应关系
例1：下面的曲线C的方程是否为所列方程，为什么？
图2
（1）如图2，曲线C为△ABC的中线AO，方程：x=0；
思维突破：曲线的方程需要满足以下两个条件：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
自主解答：①不是。不符合上面的；②，如P（0，-1）在x=0上，却不在曲线C上。
[幻灯片11]
例1：下面的曲线C的方程是否为所列方程，为什么？
（2）曲线C是到坐标轴距离相等的点组成的直线，方程：x-y=0.
思维突破：曲线的方程需要满足以下两个条件：
①曲线上的點的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
自主解答：2）不是。不符合上面的①，如P（-1，1）在曲线C上，却不在方程x-y=0上。
[幻灯片12]
【变式与拓展】[2]
图3
1.如图3所示的曲线方程是（B）
A. B. C. D.
[幻灯片13]
2.下列方程与图形对应的是（C）
【解析】选C，选项A中不对应，应为整个圆；选项B中应还有一条直线y=-x；选项D中需要x>0，y>0.
[幻灯片14]
⒊方程 表示的图形是
【解析】由
故，方程 表示的图形是四个点。
[幻灯片15]
⒋试画出方程 所表示的曲线。
【解析】由原方程知
由原方程得 ，则 ，所以 。
故原方程等价于 ，（其中 ），其图象如图4。
图4
[幻灯片16]
题型2求曲线的方程
例2动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，求动圆圆心C的轨迹方程。
解：设动圆圆心C（x，y），直线与圆相交，依题意得
，化简得动圆C轨迹方程 。
[幻灯片17]
【变式与拓展】[2]
5.有一曲线，曲线上每一点到x轴的距离等于这点到A（0，3）的距离的2倍，试求曲线方程。
练习：点P（a，b）到x轴的距离是；点P（a，b）到y轴的距离是；点P（1，b）到直线x y-1=0轴的距离是；
[幻灯片18]
本节小结：
1.回顾上述解题过程，请同学总结求曲线（图形）方程的一般步骤（教材P-36）：
（1）建系，设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）列式（找等量关系）：写出适合条件p的点M的集合P{M|p（M）}；
（3）代换：用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；
（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；
（5）检验：说明方程的解，是否都满足曲线要求，在判断时，需同时判断方程的解不比曲线上的点多，曲线上的点不比方程的解多。
[幻灯片19]
2.建立好的坐标系要具有以下条件：
（1）要有良好的对称性；
（2）尽可能少引入字母。
3.描述曲线与方程的关系必须说：
（1）曲线上点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上，两点缺一不可。
[幻灯片20]
作业：课本P-37（共四题）练习3；A组3、4；B组2
五、问题讨论
（一）教师也需要“动手做，动脑想”
教学实践是复杂的，教师必须对不确定、不可预测的教学情境作出解释和决策。教学工作需要“边做边想”是由教学工作本身的性质所决定的。教师的专业成长体现为其策略、案例知识的增加，融合为教学的实践智慧，它存在于个人经验，镶嵌在教学行为和教学情景之中。因此我们教师是否也应提倡“动手做，动脑想”，在行动中反思？
（二）教学的“归位”
课程改革提出“以学生发展为本”，这句话已朗朗上口，但是否已真正深入人心？在课例的实施过程中，反思困惑我们的始终是：眼中只有“知识”而不是“学生”[3]。而几次行为跟进的方向都是一致的：回归“学生为本”，回归“科学的本质”。
六、课例研修反思
这次研修课活动无疑给了我有益的启示：善于运用数学的观点、思想、方法指导教学设计，中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展。
七、课例研修结论
（一）传统解题教学富有成效
从课堂实录和课后访谈的分析表明，学生在解决常规问题时表现出来的共同策略是：寻找一个熟悉的问题原型，然后按照已知的“模式”或“套路”来解决问题。就[幻灯片9]-练习而言，学生能够通过不同的策略进行联系与化归（分别从式的或形的角度），这从一定意义上表明我们传统解题教学的成功之处。
（二）合理呈现和有效组织问题是进行非常规题教学的基本前提
学生初次遇到“操作题”，感到陌生、好奇，依赖性较强，不知从何下手。正如[幻灯片10]-[幻灯片11]-例1被访学生所讲，他们相信按照教师给出的操作步骤，一步一步做，通过小组合作与交流，一定会发现结论的，即使他们自己发现不了，也可以从其他同学中学会。因此他们对解决这类问题是有信心的。这从另一个侧面表明，在初次遭遇这些非常规题时，教师提供必要的“脚手架”（如提示或操作步骤），以及合作交流形式是十分有益的。
八、结束语
基于真实情景的“问题-解决”教学模式本身而言，合适的真实情景的创设、课堂教学过程中高度的开放性和灵活性、对教师知识结构的高水平要求等，都使这种教学模式具有极大的挑战性。
然而，“教育是教人们掌握如何运用知识的艺术。”（《教育的目的》诺斯·怀特海）虽然这是一门很难的艺术，但却具有教育的真正价值！
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验稿）[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]贾凤山，肖晓强.高中新课程学习指导?成才之路（人教A版选修2-1）[M].北京：中国和平出版社，2015.
[3]张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005（8）：1-4.
[4]刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养[M].山东教育出版社，2001.
基金项目：本文系：广西教育科学“十二五”规划2015年度C类自筹经费一般课题“高中生在导数问题解决中的学习研究——以广西北海为例”（批准文号：桂教科学【2015】11号，立项号：2015C114）的阶段性成果。
关键词 高中教学；曲线方程；问题解决；教学行为
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）36-0186-03
函数作为学生高考的重要内容，几乎贯穿了整个数学高考试卷，函数的教学质量可以说是直接关系着學生的高考数学成绩。而曲线方程作为函数中的一项重要组成部分，是函数问题由简单过渡到复杂的分界线，也是学生未来学习函数的基础。因此，在这种情况下，我们就需要重视函数曲线方程的教学质量，运用合适的教学方法来提高学生的曲线方程学习水平。
一、教材分析
（一）教材地位和作用
“求曲线的方程”是人教A版选修2-1《圆锥曲线与方程》的重点内容之一，是在介绍了“直线的方程”之后，对一般曲线（也包括直线）与二元方程的关系作进一步的研究。这部分内容从理论上揭示几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为后续圆锥曲线的研究作先期铺垫，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时体现解析几何的基本思想，丰富了解析几何的理论内涵[1]。
（二）教学重点和难点
重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法。
难点：在理解层面，曲线和方程的概念比较抽象，高二生抽象思维能力还不是很强，他们对曲线和方程关系的“纯粹性”与“完备性”的理解不够明晰，弄不清它们之间的区别与联系，易产生“为什么要规定这样两个关系”的疑问。所以，对概念的理解，尤其“两个关系”是认知难点。
二、研修背景
自2010年以来，数学组骨干教师每学期都要进行“问题解决的数学课堂”的主题式课例研修。研修依据行动教育（以课例为载体、以问题为抓手，在教学行动中开展包括专业理论学习在内的教学研修活动规范式的探索），以课堂为目标，以校本研修为路径，收获了“品?为师、学?为师、高?为师、胜?为师、乐?为师”课例研修成果和“研修范式”经验。研修行动证明：课例研修是教师学会教学、提升效果、强化学科建设的捷径，能够实现教师发展、教学改进、质量提高的共赢。
三、课例研修实施阶段
（一）第一轮课堂实录
[幻灯片2]
（1）求曲线的方程
学习目标
1.了解求曲线方程的步骤；2.会求简单曲线的方程。
[幻灯片3]
回顾：
证明曲线C和二元方程f（x，y）=0的对应关系，必须同时具备哪两个条件？请用文字语言叙述后，用数学（符号）语言描写。
1.若P（x0，y0）∈C，则f（x0，y0）=0成立
2.若f（x0，y0）=0，则P（x0，y0）∈C
[幻灯片4]
例已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
[幻灯片5]
图1
解：如图1，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建坐标系xOy。
设点M（x，y）是曲线上任意一点，作 轴于B，那么点M属于集合
由两点间的距离公式，得 ，移项两边平方得 。
化简整理得 ，因为曲线在x轴上方，则y>0，虽然原点O（0，0）是该方程的解，但不属于已知曲线，所以满足条件的曲线方程是 。
[幻灯片6]
知识梳理
（1）根据以上解题过程，请同学总结求曲线（图形）方程的一般步骤（教材P-36）：
（1）建系，设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）列式（找等量关系）：写出适合条件p的点M的集合P{M|p（M）}；
（3）代换：用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；
（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；
（5）检验：说明方程的解，是否都满足曲线要求，在判断时，需同时判断方程的解不比曲线上的点多，曲线上的点不比方程的解多。
[幻灯片7]
重难剖析
【要点】2.如何建立直角坐标系？
【剖析】在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”原则：①要有良好的对称性；②尽可能少引入字母；一般地，我们按以下几个原则来建立直角坐标系：
（1）若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；
（2）若已知两定点，常以两定点的中点（或其中一个定点）为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
[幻灯片8]
（3）若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
（4）若已知一定点和一条直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为x轴正方向建立直角坐标系；
（5）若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系。
[幻灯片9]
练习圆心C的坐标（6，0），半径R=4，求此圆的方程。
问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面部分的方程。 探究：若∣AB∣=4，如何建立坐标系求AB的中垂线的方程。
[幻灯片10]
题型探析
题型1判断曲线与方程的对应关系
例1：下面的曲线C的方程是否为所列方程，为什么？
图2
（1）如图2，曲线C为△ABC的中线AO，方程：x=0；
思维突破：曲线的方程需要满足以下两个条件：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
自主解答：①不是。不符合上面的；②，如P（0，-1）在x=0上，却不在曲线C上。
[幻灯片11]
例1：下面的曲线C的方程是否为所列方程，为什么？
（2）曲线C是到坐标轴距离相等的点组成的直线，方程：x-y=0.
思维突破：曲线的方程需要满足以下两个条件：
①曲线上的點的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
自主解答：2）不是。不符合上面的①，如P（-1，1）在曲线C上，却不在方程x-y=0上。
[幻灯片12]
【变式与拓展】[2]
图3
1.如图3所示的曲线方程是（B）
A. B. C. D.
[幻灯片13]
2.下列方程与图形对应的是（C）
【解析】选C，选项A中不对应，应为整个圆；选项B中应还有一条直线y=-x；选项D中需要x>0，y>0.
[幻灯片14]
⒊方程 表示的图形是
【解析】由
故，方程 表示的图形是四个点。
[幻灯片15]
⒋试画出方程 所表示的曲线。
【解析】由原方程知
由原方程得 ，则 ，所以 。
故原方程等价于 ，（其中 ），其图象如图4。
图4
[幻灯片16]
题型2求曲线的方程
例2动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，求动圆圆心C的轨迹方程。
解：设动圆圆心C（x，y），直线与圆相交，依题意得
，化简得动圆C轨迹方程 。
[幻灯片17]
【变式与拓展】[2]
5.有一曲线，曲线上每一点到x轴的距离等于这点到A（0，3）的距离的2倍，试求曲线方程。
练习：点P（a，b）到x轴的距离是；点P（a，b）到y轴的距离是；点P（1，b）到直线x y-1=0轴的距离是；
[幻灯片18]
本节小结：
1.回顾上述解题过程，请同学总结求曲线（图形）方程的一般步骤（教材P-36）：
（1）建系，设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）列式（找等量关系）：写出适合条件p的点M的集合P{M|p（M）}；
（3）代换：用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；
（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；
（5）检验：说明方程的解，是否都满足曲线要求，在判断时，需同时判断方程的解不比曲线上的点多，曲线上的点不比方程的解多。
[幻灯片19]
2.建立好的坐标系要具有以下条件：
（1）要有良好的对称性；
（2）尽可能少引入字母。
3.描述曲线与方程的关系必须说：
（1）曲线上点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上，两点缺一不可。
[幻灯片20]
作业：课本P-37（共四题）练习3；A组3、4；B组2
五、问题讨论
（一）教师也需要“动手做，动脑想”
教学实践是复杂的，教师必须对不确定、不可预测的教学情境作出解释和决策。教学工作需要“边做边想”是由教学工作本身的性质所决定的。教师的专业成长体现为其策略、案例知识的增加，融合为教学的实践智慧，它存在于个人经验，镶嵌在教学行为和教学情景之中。因此我们教师是否也应提倡“动手做，动脑想”，在行动中反思？
（二）教学的“归位”
课程改革提出“以学生发展为本”，这句话已朗朗上口，但是否已真正深入人心？在课例的实施过程中，反思困惑我们的始终是：眼中只有“知识”而不是“学生”[3]。而几次行为跟进的方向都是一致的：回归“学生为本”，回归“科学的本质”。
六、课例研修反思
这次研修课活动无疑给了我有益的启示：善于运用数学的观点、思想、方法指导教学设计，中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展。
七、课例研修结论
（一）传统解题教学富有成效
从课堂实录和课后访谈的分析表明，学生在解决常规问题时表现出来的共同策略是：寻找一个熟悉的问题原型，然后按照已知的“模式”或“套路”来解决问题。就[幻灯片9]-练习而言，学生能够通过不同的策略进行联系与化归（分别从式的或形的角度），这从一定意义上表明我们传统解题教学的成功之处。
（二）合理呈现和有效组织问题是进行非常规题教学的基本前提
学生初次遇到“操作题”，感到陌生、好奇，依赖性较强，不知从何下手。正如[幻灯片10]-[幻灯片11]-例1被访学生所讲，他们相信按照教师给出的操作步骤，一步一步做，通过小组合作与交流，一定会发现结论的，即使他们自己发现不了，也可以从其他同学中学会。因此他们对解决这类问题是有信心的。这从另一个侧面表明，在初次遭遇这些非常规题时，教师提供必要的“脚手架”（如提示或操作步骤），以及合作交流形式是十分有益的。
八、结束语
基于真实情景的“问题-解决”教学模式本身而言，合适的真实情景的创设、课堂教学过程中高度的开放性和灵活性、对教师知识结构的高水平要求等，都使这种教学模式具有极大的挑战性。
然而，“教育是教人们掌握如何运用知识的艺术。”（《教育的目的》诺斯·怀特海）虽然这是一门很难的艺术，但却具有教育的真正价值！
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验稿）[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]贾凤山，肖晓强.高中新课程学习指导?成才之路（人教A版选修2-1）[M].北京：中国和平出版社，2015.
[3]张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005（8）：1-4.
[4]刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养[M].山东教育出版社，2001.
基金项目：本文系：广西教育科学“十二五”规划2015年度C类自筹经费一般课题“高中生在导数问题解决中的学习研究——以广西北海为例”（批准文号：桂教科学【2015】11号，立项号：2015C114）的阶段性成果。