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[摘 要] 复习是知识的再学习，它是学生巩固所学知识、构建科学的知识网络、提高问题解决能力的重要手段。通过认真研究和反复实践构建出复习课的新模式，即知识结构-知识要点-方法意识-样例分析-检测评鉴-总结反思。在实施过程中节约了学习时间成本，提高了学生学习的主动性和热情，培养了学生的思考力和解题能力，从而提高了课堂教学效率。
[关键词] 复习课模式；建构；反思
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634（2013）05-0113-04
1 问题提出
美国数学家斯蒂恩认为，“数学是模式的科学，数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式”。数学是通过建构相对独立的量化模式并以此为直接对象从事客观世界量性规律研究的，而且现代数学的研究对象也已经从具有明显直观意义的量化模式扩展到了可能的量化模式[1]。数学是模式的科学，数学教学也应具有模式化。数学教学模式是在一定教学思想指导下，围绕教学活动中的某一主题所形成的相对稳定的、系统化和理论化的教学范型[2]。它既体现一定的理论背景，同时也反映可操作性，是理论与实践结合的产物[3]。目前，数学教学模式异彩纷呈。涂荣豹、杨骞、王光明通过系统地研究，总结出20多种数学教学模式[4]。
如何构建有效的复习课新模式呢？张奠宙、赵小平先生指出，现在的公开课中难见好的复习课，大多是大容量、快节奏、高密度的解题训练课，目的是熟练，让学生做到“一看就会，一做就对”。然而复习课的首要目的是提炼数学思想方法，启示如何熟能生巧，上升到新的境界[5]。张奠宙一针见血地指出了当前复习课存在的弊端：大容量、快节奏、高密度的解题训练，“做题、讲题、再做题”的题海怪圈，不注重提炼数学思想方法，认识达不到新的境界。那么怎样才能既提高解题能力又提高思想认识，从而达到复习课应有的目标呢？
2 模式建构
根据教学系统设计论原理，教学设计主要是运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标、教学内容、教学方法和教学策略、教学评价等环节进行具体计划、创设教与学的系统“过程”或“程序”，而创设教与学系统的根本目的是促进学习者的学习[6]。皮连生先生设计的“六步三阶段教学”模型认为，学习有自身的独立过程。教本无独立过程，它是学习的外部条件，为学服务。离开了学，就没有教[7]。因此，复习课模式的建构也要体现“以学为中心”，有利于形成一个相对完善的知识和方法系统。在此基础上，笔者多年深入研究、实践，不断修正、实验，得出复习课教学模式，见图1。
1）知识结构——人的脊梁。知识结构是指知识点之间的关系与联系的一种形式。丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件[8]。学完每章（节）后，把知识点串起来，形成一个相互关联、层次分明的网络结构，像人体的脊梁，从“主干”上去整体把握。结构化的知识更容易理解和记忆，从而能够使学生掌握知识的来龙去脉，更好地促进运用和迁移。这是因为结构具备的根本性功能是利用关系、层次的形式，合理地将要素分清主次、明确地位、按层次入座，便于人的思维在有限的短时记忆中同时加工处理，一揽子把握，确切地组织它，建构概念意义[9]。
2）要点提炼——人的脏腑。知识点分散于各小节当中，它们如同人体的脏腑器官，担负着“发动机”作用。因此，在学完每部分（阶段）时，都必须及时地进行梳理、归类和提炼。用简洁明快的数字或字母及顺口溜、谚语、诗词等来提炼、概括。
3）方法意识——人的脉络。数学方法是数学的灵魂，是人们对数学知识本质的认识，是对数学知识熟练掌握和应用的基础上更高层次的抽象与概括。它像人的脉络一样贯穿于数学的每一部分内容之中。数学方法就是数学思想的具体化，是数学思想的外壳和物质形式[10]。意识是有目的、自觉的、能为意识主体所感知的心理活动[11]。而意识的形成关键在于经验的积累、思想方法的悟透，它属于更高层次的思维形态。看到什么条件，就能意识到相应的解决方法。
4）样例分析——人的血肉。罗增儒教授指出：分析典型例题的解题过程是学好数学、学会解题的一条有效途径[12]。典型的例题就像人的血肉，它把各个部分内容、知识点组织在一起，形成一个较为完整的知识链。已有大量的实验证明，样例学习法能促进图示知识的形成，并能节约教学时间[13]。通过对样例的分析，使学生懂得如何解读条件，找到条件之间的关系，转化为数学关系式，确立解题的突破口和思路，从而提高学生的解题能力。
5）检测评鉴——人的四肢。检测实际上就是一种测量工具或技术，运用量化行为或分数，帮助教师理解或预测学生的行为[14]。通过对学生的检测结果或过程进行形成性评价和鉴赏，发现他们的不足之处，欣赏他们的独到魅力，激励他们勇于创新、张扬个性。这一环节就像人的四肢，没有它，将无所事事，寸步难行。
6）总结反思——人的大脑。总结是对重要知识点进行贯穿、提炼，重组学生已形成的知识结构并内化为学生头脑中的认知结构，因为结构化了的知识更有利于储存、转换、自我调节和提取[15]。反思即元认知，是人们以自己的认识活动过程及结果为认识对象的认识活动。作为对认识的认识，反思较一般思维活动层次更高。通过反思，人们获得不同于感觉所得来的内部经验，使自己的认识得以升华，使自己的实践行为趋于合理，同时在反思过程中自我得到发展，特别是形成一种反思的能力[16]。
3 模式运用
如果说理念是丛书的灵魂，那么课例就是承载理念的载体，是理念的外化形式[17]。李士锜说过，三个好的案例就是一篇很好的论文。郑毓信指出：案例研究应当被看成教学研究的一个基本形式。再好的教学设计如果不能在教学实际中运用，那只是一种设想。下面为北京师范大学版必修4《平面向量》一章复习课案例的教学设计。 1）知识结构。
师：学完平面向量，你能根据知识呈现的顺序用图或表的形式把本章的知识内容罗列出来吗？
生1：可以。（生1画出了知识结构框图）
师：很好。如何概括本章的知识要点呢？
2）要点提炼。
生2：一个概念：向量；两个定理：向量共线定理和平面向量基本定理；三个区别：零与零向量，与，相等向量与相反向量；四种运算：向量的加、减、数乘及数量积运算；数量积的五条性质：（1）==cos<，>（为单位向量）；（2）==；（3）=0；（4）cos<，>=；（5）。
师：生2的概括是否全面准确？说出理由。
生3：我认为生2说的一个概念不准确，应该是与向量有关的一组概念：向量、向量的模、零向量、相等向量、相反向量、共线向量、向量的夹角。只说一个向量概念，不全面。
师：生2同学把本章的知识点概括得非常好，生3的补充也很恰当。请大家再全面推敲一下，把你认为不精准的地方说出来。
生4： 我认为三个区别中后两个不妥当，因为我们很容易区分。应该是向量共线与点共线和向量的夹角与内积取值的范围。
师：为什么？
生4：因为向量的共线包括向量的平行，而点共线必须要求所有的点都在一条直线上。由于向量的夹角可以是锐角、直角和钝角，相应的内积必须是正数、零和负数，但反过来，除直角外，另外两种未必成立，还需要注意到共线的情况。这一点最容易忽视。
师：同学们都听清楚了吗？生4同学的回答真是太精彩了！掌声在哪里？（于是，全班响起热烈的掌声。正当大家都非常高兴的时候，生5举手。）
评注：布鲁纳认为，在教学过程中，学生是一个积极的探究者。教师的作用是要形成一种学生能独立探究的情境，而不是提供现成的知识[18]。要培养学生自主探究、意义结构和归类、概括的能力，而不是“越俎代庖”、“全盘授予”。
生5：老师，前面几个同学把本章的知识点概括得非常全面，我很赞同！不过，我想再增加一些书外的内容，就是老师常说的一些“高级规则”。
师：很好！说说看。
生5：为了保持顺序一致，就叫“六个高级规则”：（1）已知、是不共线向量，且=+，若A、B、C三点共线，则+=1。反之也成立。（2）O为内一点，若++=，则∶∶=c∶a∶b。（3）若G是的重心，则++=，反之亦然。（4） 若O是的垂心，则==。（5）若O是的内心，则++=。（6）若O、H分别是的外心和垂心，则=++。
师：同学们，听明白了吗？生5同学给了我们太多的意外，其实也是意料之中。这与生5同学在课堂上认真听讲、课外深入钻研分不开啊！希望还有疑问的同学课下认真钻研，弄个水落石出。向量兼具“数”、“形”两个特征，本章应该掌握哪些数学思想方法，形成哪些数学意识呢？试举例说明。
评注：教师的教不等于包办代替，教学要留下适当的“空白”，由学生在课下自主探究、相互交流，在“恍然大悟”或“慢慢醒悟”中建构完成。 3）方法意识。
生6：应该是数形结合思想，它包含两种意识：建系意识（坐标意识）和几何意识。例如：若等边的边长为，平面内一点M满足=+，则通过建系很容易得出结果。这样的例子有很多，我发现如果是特殊图形，建系非常有效；如果条件特殊或条件的几何意义明显，则构造出的相应几何图形也很容易找到答案。
（过了几秒钟，课堂上响起了雷鸣般的掌声。等到掌声渐渐平息，生7举起了手）
生7：我认为是分类与整合的思想，如在直角中，，，求k的值，这里就要分为直角、为直角、为直角三种情况讨论解决。
师：说得好！当我们面临的问题比较复杂，用传统的方法无法进行下去时，就要考虑对象包含了哪些情况，然后分而治之。但要注意两点：一是标准统一，不重不漏；二是整合解题的结果。还有什么需要补充的吗？
生8：我认为还应该掌握“算两次”的方法，本章的核心是向量运算，对于向量的加、减、数乘、内积运算都有“规定运算”与“坐标运算”两种方式，这两种方式是针对同一种运算而言的。如求证 ，要注意到从 联想到向量的内积，从 联想到向量的模，可以构造向量利用“算两次”的方法进行证明（生8同学展示了自己的证明过程）。
师：生8同学的展示很简练，推理很严谨，用事实说明了“算两次”方法的应用价值，应该引起大家的重视。我们要从思想方法的高度培养自己“算两次”的解题意识。还有什么需要补充的吗？
生7：根据内积的几何意义，数量积等于的长度与 在 的方向上的投影的乘积。因此，题目中只要含有“垂直”这个信息，就要联想到用内积的几何意义解题，这就是投影意识。例如在平行四边形中，，垂足为，且，求的值，见图2。
分析：过C作交的延长线于，则，（注意到在方向上的投影为）。除此之外，我认为还应该有对应意识，因为向量的坐标运算都要求“对应”。还有结构意识（见模必平方）、细节意识（三种区分）都需要关注。
师：以上三个同学提出了数形结合、分类整合、算两次的数学思想方法，还强调了要形成建系意识（坐标意识）、几何意识、投影意识、结构意识、细节意识。将本章的特点概括得非常准确、完整。让我们以热烈的掌声再一次表示祝贺！
评注：教学中一直关注数学思想方法，而对数学意识及潜意识（直觉）的认识往往不足，常常被忽略。研究发现，全球具有伟大成就的成功人士，直觉准确率平均高达95%以上，普通人的直觉有60%都是错的。通过直觉，不仅可以应对未知的变化，辨识机遇与陷阱，从而做出正确的选择，还可以认识自身的各个维度，修炼强大的自我[19]。因此，在每一节课中，要求学生不仅能说出本章应该掌握哪些数学思想方法、形成哪些数学意识，还要求他们举出具体的例子，这是因为恰当的举例事实上也可被看成各人对于相关理论是否达到了真正理解的直接标志[20]。
4）样例分析（例题略）。
[关键词] 复习课模式；建构；反思
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634（2013）05-0113-04
1 问题提出
美国数学家斯蒂恩认为，“数学是模式的科学，数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式”。数学是通过建构相对独立的量化模式并以此为直接对象从事客观世界量性规律研究的，而且现代数学的研究对象也已经从具有明显直观意义的量化模式扩展到了可能的量化模式[1]。数学是模式的科学，数学教学也应具有模式化。数学教学模式是在一定教学思想指导下，围绕教学活动中的某一主题所形成的相对稳定的、系统化和理论化的教学范型[2]。它既体现一定的理论背景，同时也反映可操作性，是理论与实践结合的产物[3]。目前，数学教学模式异彩纷呈。涂荣豹、杨骞、王光明通过系统地研究，总结出20多种数学教学模式[4]。
如何构建有效的复习课新模式呢？张奠宙、赵小平先生指出，现在的公开课中难见好的复习课，大多是大容量、快节奏、高密度的解题训练课，目的是熟练，让学生做到“一看就会，一做就对”。然而复习课的首要目的是提炼数学思想方法，启示如何熟能生巧，上升到新的境界[5]。张奠宙一针见血地指出了当前复习课存在的弊端：大容量、快节奏、高密度的解题训练，“做题、讲题、再做题”的题海怪圈，不注重提炼数学思想方法，认识达不到新的境界。那么怎样才能既提高解题能力又提高思想认识，从而达到复习课应有的目标呢？
2 模式建构
根据教学系统设计论原理，教学设计主要是运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标、教学内容、教学方法和教学策略、教学评价等环节进行具体计划、创设教与学的系统“过程”或“程序”，而创设教与学系统的根本目的是促进学习者的学习[6]。皮连生先生设计的“六步三阶段教学”模型认为，学习有自身的独立过程。教本无独立过程，它是学习的外部条件，为学服务。离开了学，就没有教[7]。因此，复习课模式的建构也要体现“以学为中心”，有利于形成一个相对完善的知识和方法系统。在此基础上，笔者多年深入研究、实践，不断修正、实验，得出复习课教学模式，见图1。
1）知识结构——人的脊梁。知识结构是指知识点之间的关系与联系的一种形式。丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件[8]。学完每章（节）后，把知识点串起来，形成一个相互关联、层次分明的网络结构，像人体的脊梁，从“主干”上去整体把握。结构化的知识更容易理解和记忆，从而能够使学生掌握知识的来龙去脉，更好地促进运用和迁移。这是因为结构具备的根本性功能是利用关系、层次的形式，合理地将要素分清主次、明确地位、按层次入座，便于人的思维在有限的短时记忆中同时加工处理，一揽子把握，确切地组织它，建构概念意义[9]。
2）要点提炼——人的脏腑。知识点分散于各小节当中，它们如同人体的脏腑器官，担负着“发动机”作用。因此，在学完每部分（阶段）时，都必须及时地进行梳理、归类和提炼。用简洁明快的数字或字母及顺口溜、谚语、诗词等来提炼、概括。
3）方法意识——人的脉络。数学方法是数学的灵魂，是人们对数学知识本质的认识，是对数学知识熟练掌握和应用的基础上更高层次的抽象与概括。它像人的脉络一样贯穿于数学的每一部分内容之中。数学方法就是数学思想的具体化，是数学思想的外壳和物质形式[10]。意识是有目的、自觉的、能为意识主体所感知的心理活动[11]。而意识的形成关键在于经验的积累、思想方法的悟透，它属于更高层次的思维形态。看到什么条件，就能意识到相应的解决方法。
4）样例分析——人的血肉。罗增儒教授指出：分析典型例题的解题过程是学好数学、学会解题的一条有效途径[12]。典型的例题就像人的血肉，它把各个部分内容、知识点组织在一起，形成一个较为完整的知识链。已有大量的实验证明，样例学习法能促进图示知识的形成，并能节约教学时间[13]。通过对样例的分析，使学生懂得如何解读条件，找到条件之间的关系，转化为数学关系式，确立解题的突破口和思路，从而提高学生的解题能力。
5）检测评鉴——人的四肢。检测实际上就是一种测量工具或技术，运用量化行为或分数，帮助教师理解或预测学生的行为[14]。通过对学生的检测结果或过程进行形成性评价和鉴赏，发现他们的不足之处，欣赏他们的独到魅力，激励他们勇于创新、张扬个性。这一环节就像人的四肢，没有它，将无所事事，寸步难行。
6）总结反思——人的大脑。总结是对重要知识点进行贯穿、提炼，重组学生已形成的知识结构并内化为学生头脑中的认知结构，因为结构化了的知识更有利于储存、转换、自我调节和提取[15]。反思即元认知，是人们以自己的认识活动过程及结果为认识对象的认识活动。作为对认识的认识，反思较一般思维活动层次更高。通过反思，人们获得不同于感觉所得来的内部经验，使自己的认识得以升华，使自己的实践行为趋于合理，同时在反思过程中自我得到发展，特别是形成一种反思的能力[16]。
3 模式运用
如果说理念是丛书的灵魂，那么课例就是承载理念的载体，是理念的外化形式[17]。李士锜说过，三个好的案例就是一篇很好的论文。郑毓信指出：案例研究应当被看成教学研究的一个基本形式。再好的教学设计如果不能在教学实际中运用，那只是一种设想。下面为北京师范大学版必修4《平面向量》一章复习课案例的教学设计。 1）知识结构。
师：学完平面向量，你能根据知识呈现的顺序用图或表的形式把本章的知识内容罗列出来吗？
生1：可以。（生1画出了知识结构框图）
师：很好。如何概括本章的知识要点呢？
2）要点提炼。
生2：一个概念：向量；两个定理：向量共线定理和平面向量基本定理；三个区别：零与零向量，与，相等向量与相反向量；四种运算：向量的加、减、数乘及数量积运算；数量积的五条性质：（1）==cos<，>（为单位向量）；（2）==；（3）=0；（4）cos<，>=；（5）。
师：生2的概括是否全面准确？说出理由。
生3：我认为生2说的一个概念不准确，应该是与向量有关的一组概念：向量、向量的模、零向量、相等向量、相反向量、共线向量、向量的夹角。只说一个向量概念，不全面。
师：生2同学把本章的知识点概括得非常好，生3的补充也很恰当。请大家再全面推敲一下，把你认为不精准的地方说出来。
生4： 我认为三个区别中后两个不妥当，因为我们很容易区分。应该是向量共线与点共线和向量的夹角与内积取值的范围。
师：为什么？
生4：因为向量的共线包括向量的平行，而点共线必须要求所有的点都在一条直线上。由于向量的夹角可以是锐角、直角和钝角，相应的内积必须是正数、零和负数，但反过来，除直角外，另外两种未必成立，还需要注意到共线的情况。这一点最容易忽视。
师：同学们都听清楚了吗？生4同学的回答真是太精彩了！掌声在哪里？（于是，全班响起热烈的掌声。正当大家都非常高兴的时候，生5举手。）
评注：布鲁纳认为，在教学过程中，学生是一个积极的探究者。教师的作用是要形成一种学生能独立探究的情境，而不是提供现成的知识[18]。要培养学生自主探究、意义结构和归类、概括的能力，而不是“越俎代庖”、“全盘授予”。
生5：老师，前面几个同学把本章的知识点概括得非常全面，我很赞同！不过，我想再增加一些书外的内容，就是老师常说的一些“高级规则”。
师：很好！说说看。
生5：为了保持顺序一致，就叫“六个高级规则”：（1）已知、是不共线向量，且=+，若A、B、C三点共线，则+=1。反之也成立。（2）O为内一点，若++=，则∶∶=c∶a∶b。（3）若G是的重心，则++=，反之亦然。（4） 若O是的垂心，则==。（5）若O是的内心，则++=。（6）若O、H分别是的外心和垂心，则=++。
师：同学们，听明白了吗？生5同学给了我们太多的意外，其实也是意料之中。这与生5同学在课堂上认真听讲、课外深入钻研分不开啊！希望还有疑问的同学课下认真钻研，弄个水落石出。向量兼具“数”、“形”两个特征，本章应该掌握哪些数学思想方法，形成哪些数学意识呢？试举例说明。
评注：教师的教不等于包办代替，教学要留下适当的“空白”，由学生在课下自主探究、相互交流，在“恍然大悟”或“慢慢醒悟”中建构完成。 3）方法意识。
生6：应该是数形结合思想，它包含两种意识：建系意识（坐标意识）和几何意识。例如：若等边的边长为，平面内一点M满足=+，则通过建系很容易得出结果。这样的例子有很多，我发现如果是特殊图形，建系非常有效；如果条件特殊或条件的几何意义明显，则构造出的相应几何图形也很容易找到答案。
（过了几秒钟，课堂上响起了雷鸣般的掌声。等到掌声渐渐平息，生7举起了手）
生7：我认为是分类与整合的思想，如在直角中，，，求k的值，这里就要分为直角、为直角、为直角三种情况讨论解决。
师：说得好！当我们面临的问题比较复杂，用传统的方法无法进行下去时，就要考虑对象包含了哪些情况，然后分而治之。但要注意两点：一是标准统一，不重不漏；二是整合解题的结果。还有什么需要补充的吗？
生8：我认为还应该掌握“算两次”的方法，本章的核心是向量运算，对于向量的加、减、数乘、内积运算都有“规定运算”与“坐标运算”两种方式，这两种方式是针对同一种运算而言的。如求证 ，要注意到从 联想到向量的内积，从 联想到向量的模，可以构造向量利用“算两次”的方法进行证明（生8同学展示了自己的证明过程）。
师：生8同学的展示很简练，推理很严谨，用事实说明了“算两次”方法的应用价值，应该引起大家的重视。我们要从思想方法的高度培养自己“算两次”的解题意识。还有什么需要补充的吗？
生7：根据内积的几何意义，数量积等于的长度与 在 的方向上的投影的乘积。因此，题目中只要含有“垂直”这个信息，就要联想到用内积的几何意义解题，这就是投影意识。例如在平行四边形中，，垂足为，且，求的值，见图2。
分析：过C作交的延长线于，则，（注意到在方向上的投影为）。除此之外，我认为还应该有对应意识，因为向量的坐标运算都要求“对应”。还有结构意识（见模必平方）、细节意识（三种区分）都需要关注。
师：以上三个同学提出了数形结合、分类整合、算两次的数学思想方法，还强调了要形成建系意识（坐标意识）、几何意识、投影意识、结构意识、细节意识。将本章的特点概括得非常准确、完整。让我们以热烈的掌声再一次表示祝贺！
评注：教学中一直关注数学思想方法，而对数学意识及潜意识（直觉）的认识往往不足，常常被忽略。研究发现，全球具有伟大成就的成功人士，直觉准确率平均高达95%以上，普通人的直觉有60%都是错的。通过直觉，不仅可以应对未知的变化，辨识机遇与陷阱，从而做出正确的选择，还可以认识自身的各个维度，修炼强大的自我[19]。因此，在每一节课中，要求学生不仅能说出本章应该掌握哪些数学思想方法、形成哪些数学意识，还要求他们举出具体的例子，这是因为恰当的举例事实上也可被看成各人对于相关理论是否达到了真正理解的直接标志[20]。
4）样例分析（例题略）。