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排列组合问题历年高考的必考知识点,而问题本身是极其灵活多变,是平时复习的一大难点,这就要求我们在解决问题的过程中,认真审题,抓住问题的本质,灵活运用基本原理和公式进行解答,同时还要注意一些常见的策略和方法技巧,使得复杂的问题迎刃而解。
一、优先安排的策略
例 用 五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有多少个?
解:由于该三位数为偶数,则末尾数字必为偶数,
又由 不能排首位,故 就是其中的特殊元素,
则应优先安排 ,按 排在个位和不排在个位分为两类:
⑴ 在个位时,共有 个;
⑵ 不在个位时,则有 个.
由分类加法计数原理,共有偶数 个.
点评:对于带有特殊元素的排列问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素.
二、捆绑处理的策略
例 用 组成没有重复数字的八位数,要求 与 相邻, 与 相邻, 与 相邻,这样的八位数共有多少个?
解:把相邻的两个数捆绑在一起,看做一个整体,共有三个整体,与剩下的 和 一共五个进行全排共有 种排法,每个整体内部共有 种排法,由分步乘法计数原理可得共有 个八位数.
点评:相邻问题利用捆绑法应分两步来完成,先将相邻的看做一整体与剩下的全排,再对相邻的内部全排.
三、插空处理的策略
例 某电视台举办的晚会的节目有 个舞蹈, 个小品, 个相声, 个独唱,要求各个舞蹈节目不相邻,则节目单共有多少种不同的排法?
解:问题解决可分两步来完成:先排 个小品, 个相声, 个独唱,共有 种排法;再将 个舞蹈节目插入前面排列的 个空挡中,共有
种排法,最后由分步乘法计数原理可得共有 种排法.
点评:对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端插空.
四、先整体后局部的处理策略
例 参加完国庆阅兵的 名女兵,站成一排,其中甲、乙之间恰好隔 人,一共有多少种战法?
解:甲、乙及间隔 人看成一个“小团体”,這 人可从剩下 人中选,共有 种选法,这个“小团体”与剩下的 人共 个元素全排列共有
种排法,而小团体”内部甲、乙两人共有 种排法,最后由分步乘法计数原理可得共有 种站法.
点评:对于局部排列问题,可先将局部看做一个“小团体”与剩下元素一同排列,然后再进行局部排列.
五、顺序固定除法处理的策略
例 从 中任取 个数字组成无重复数字的三位数,其中若有 和 时, 必须排在 的前面,若只有 或 其中一个时,它们应排在其它数字的前面,这样不同的三位数共有多少个?
解:由题意应分三种情况:
⑴没有 和 时,共有 种排法;
⑵只有 或 其中一个时,共有 种排法;
⑶ 和 同时出现时,“ 排在 的前面”与“ 排在 的前面”机会均等,如不考虑“ 排在 的前面”的限制,则有 种排法,则考虑限制条件的排法有 种.
最后由分类加法计算原理可得共有 种不同的排法.
点评:本题解答中的⑵和⑶属顺序固定的数字问题,这类问题一般用“除法”处理解决.即某几个元素按一定顺序排列的问题,可先不考虑顺序,然后用总数除以这几个元素的全排列数.
一、优先安排的策略
例 用 五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有多少个?
解:由于该三位数为偶数,则末尾数字必为偶数,
又由 不能排首位,故 就是其中的特殊元素,
则应优先安排 ,按 排在个位和不排在个位分为两类:
⑴ 在个位时,共有 个;
⑵ 不在个位时,则有 个.
由分类加法计数原理,共有偶数 个.
点评:对于带有特殊元素的排列问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素.
二、捆绑处理的策略
例 用 组成没有重复数字的八位数,要求 与 相邻, 与 相邻, 与 相邻,这样的八位数共有多少个?
解:把相邻的两个数捆绑在一起,看做一个整体,共有三个整体,与剩下的 和 一共五个进行全排共有 种排法,每个整体内部共有 种排法,由分步乘法计数原理可得共有 个八位数.
点评:相邻问题利用捆绑法应分两步来完成,先将相邻的看做一整体与剩下的全排,再对相邻的内部全排.
三、插空处理的策略
例 某电视台举办的晚会的节目有 个舞蹈, 个小品, 个相声, 个独唱,要求各个舞蹈节目不相邻,则节目单共有多少种不同的排法?
解:问题解决可分两步来完成:先排 个小品, 个相声, 个独唱,共有 种排法;再将 个舞蹈节目插入前面排列的 个空挡中,共有
种排法,最后由分步乘法计数原理可得共有 种排法.
点评:对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端插空.
四、先整体后局部的处理策略
例 参加完国庆阅兵的 名女兵,站成一排,其中甲、乙之间恰好隔 人,一共有多少种战法?
解:甲、乙及间隔 人看成一个“小团体”,這 人可从剩下 人中选,共有 种选法,这个“小团体”与剩下的 人共 个元素全排列共有
种排法,而小团体”内部甲、乙两人共有 种排法,最后由分步乘法计数原理可得共有 种站法.
点评:对于局部排列问题,可先将局部看做一个“小团体”与剩下元素一同排列,然后再进行局部排列.
五、顺序固定除法处理的策略
例 从 中任取 个数字组成无重复数字的三位数,其中若有 和 时, 必须排在 的前面,若只有 或 其中一个时,它们应排在其它数字的前面,这样不同的三位数共有多少个?
解:由题意应分三种情况:
⑴没有 和 时,共有 种排法;
⑵只有 或 其中一个时,共有 种排法;
⑶ 和 同时出现时,“ 排在 的前面”与“ 排在 的前面”机会均等,如不考虑“ 排在 的前面”的限制,则有 种排法,则考虑限制条件的排法有 种.
最后由分类加法计算原理可得共有 种不同的排法.
点评:本题解答中的⑵和⑶属顺序固定的数字问题,这类问题一般用“除法”处理解决.即某几个元素按一定顺序排列的问题,可先不考虑顺序,然后用总数除以这几个元素的全排列数.