论文部分内容阅读
【摘要】高中数学新课程标准已经颁布多年，新课标实施的关键在于教师，在新课标的指导下如何实施教学改革是教师的重要课题.本文以新课标的实施为背景，以高中数学中导数相关内容教学为例，基于双向互动式教学模式，给出了一些个人观点和认识，并给出了高中数学导数关于“气球膨胀率”教学内容的一些具体教学措施.
【关键词】新课标；导数；双向式教学；教学改革
【基金项目】广东省教育厅2015年教育教学改革课题，项目编号：GDJG2015229.
一、引 言
微积分是否列入高中数学教学内容，之前一直存在争议，在高中数学教材中也经历了几进几出.2003年国家教育部颁布了《普通高中数学课程标准（实验）》，一改之前高中数学课程大纲“体系严密、逻辑性强”的特点，而更重视了信息教育技术的应用，并引入了探究性学习环节，更加重视学习过程和思想方法的体验，注重应用能力和创新能力的培养，对于课程内容的定位也更清晰.“导数及其应用”作为一个内容模块出现在《普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2》的第一章，是新课程改革涉及的重要内容之一，此内容也是沟通高中数学和高等数学的桥梁.当前，由于高考“指挥棒”的导向性，“导数及其应用”这部分内容的教学有着厚重的“教条式”特征，普遍存在学生记公式、套解法的现象，重计算而轻对概念本质的理解，长此以往，对学生的归纳抽象、推理能力和创新能力都是不利的，应引起重视.因此，在导数教学中，应找准教学切入点，突出数学文化本质.
纵观当前关于高中数学导数及应用教学改革研究，其工作主要集中在“老大纲与新课标的比较、新老教材比较、课程建设”等方面，教学研究上又可以归结为“学生的认知规律”和“教学策略或教学设计”这两方面，而且关注点多在学生层面上，对于师生双向研究很少，然而“教学”是“师生”两元素融合渗透共同作用的过程.在新课标实施多年的背景下，本文以双向式教学为切入点，对导数部分教学内容的教学策略进行一些探讨.
二、双向式教学的内涵
双向式教学的主要目就是以课堂回归、以学生为主的展现形式.双向式强调师生信息流通的渠道都应是闭合回路.教学过程对师生两方面来说都是有控制的信息流通过程.教师和学生要分别对教和学实施有效的控制，都要运用反馈原理，也就是发出信息的过程中都要不断地收集反馈信息，以调整教和学的过程，都必须使信息流通的渠道成为闭合回路，如下图所示.
对教师来说，教师向学生发出了新知识的信息后，就应该从学生那里得到理解程度的信息，以便调整后续的教学；对学生来说，学生向教师发出了理解程度的信息后，也应该从教师那里得到评价信息，以便调整后续学习.不论是教师还是学生，如果信息只是单向传递，即没有得到反馈信息，就会影响教或学的质量.反馈信息可以产生“强化效应”.如果反馈信息说明原来的教和学符合或偏离了教学目标，师生就都会继续或调整后续的教与学.不论是“继续”还是“调整”，都是强化效应.
三、双向式教学模式下的导数内容教学策略
为提升课堂教学的时效性，新课程标准把教学看成是师生积极互动、共同发展的过程，只有师生间的互动，才能让课堂焕发活力，为了使课堂更生动更易于学习，首先应该创设问题情境，不断提出问题再解决问题，引导学生突破难点，从而达到教学目标.《普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2》的第一章的第一节为“变化率与导数”，包含了“变化率问题、导数的概念、导数的几何意义”三个内容，高中数学导数概念首先是通过对气球的膨胀率的讨论而提出来的.因此，以下以“气球膨胀率”内容为例，提出一些教学策略.
（一）双向环节1：创设情境
问题1：体验吹气球，气球在膨胀过程中你的感受如何？
问题2：请借助物理知识解释你的感受？
问题3：如何从数学角度而且量化描述气球膨胀的规律？
评析：此环节为了引入变化率而创设了“气球膨胀”情境.学生根据吹气球过程体验的回忆，普遍得出“刚开始吹气球感觉很轻松，而且气球膨胀较快；随着气球的膨胀，吹气球越来越费劲，气球膨胀变缓”这一直观感受，接着在教师引导下，结合物理知识解释这一现象：吹气球过程中球外的压强不变，但球内的压强变大.吹气球时加大了气球内的气体的压强，气球通过增大形变（气球变大）来与之保持平衡.气球形变越大（气球吹得越大），压强越大，这也是气球吹得越大越难吹甚至吹爆（吹气增加的压强超过了气球的张力）的原因.最后，将吹气球这一问题适当简化，提出“如何从数学角度而且量化描述气球膨胀的规律”这一数学问题.其间，教师可以借助多媒体动画技术展示气球膨胀这一过程，不仅让学生看清楚量与量之间的一些变化依赖关系，而且巩固一些物理知识.
（二）双向环节2：共析问题
问题1：假设气球膨胀过程中始终保持一个近似圆球，给出体积的表达式，该表达式中哪些量是变量？
问题2：为了更好描述膨胀现象规律，如何确定体积函数中的因变量和自变量？
问题3：如果选定体积为自变量，半径为因变量，当体积变化1个单位的时候，半径改变量是多少？如何定义它？
评析：当把气球膨胀看作一个数学问题之后，应从3个方面层层揭开数学建模.首先，将气球始终看作圆球时，其体积函数为V（r）=43πr3，体积V随半径r的变化而变化；其次，变量间的依赖关系是可以转化的（自变量和因变量是可以相互转化的），因此，可以将体积关于半径的函数转化为：r（V）=33V4π；最后，将半径改变量与体积改变量做比值ΔrΔV，特别地，取ΔV=1，表示的是当体积改变一个单位时，半径变化的幅度（改变量），在气球膨胀问题中，因为膨胀的指标可以归结为半径，所以将半径变化的幅度称为平均膨胀率.这3个递进式的启发和探索，是一个邏辑结构严谨的问题链，通过教师与学生双向交互式的探讨，不仅学习到了数学知识和用数学知识研究问题的方法，更重要的是体会到了数学的科学价值. （三）双向环节3：求解问题，发现规律
问题1：半径以dm为单位，体积以L为单位，分别计算出体积从0增加到1 L和从1 L增加到2 L时，半径的改变量是多少？平均膨胀率是多少？
问题2：从平均膨胀率的数值来看，你发现了什么现象，是否与之前的物理分析的结果是一致的？
评析：师生共同计算出V从0增加到1 L时的平均膨胀率约为0.62 dm/L，从1 L增加到2 L的平均膨胀率约为0.16 dm/L，体积改变量相等，但是平均变化率却并不相等.可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，从数学角度印证了之前物理分析的结论，这样也让学生体验到数学模型与实际问题的密切关系.
（四）双向环节4：问题延伸
问题1：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率怎么表示？
问题2：如果将上述函数归结为一般的函数y=f（x），ΔyΔx又该怎样定义？
评析：由于有了前面问题的铺垫，学生计算空气容量从V1增加到V2时的膨胀率不会有太大困难，关键在于明确此时的ΔV不一定是1 L，而应表示为ΔV=V2-V1，则此时的平均膨胀率为ΔrΔV=r2-r1V2-V1.而当r（V）=33V4π抽象为一般的函数y=f（x）时，学生可以很自然类比构造出比式ΔyΔx=y2-y1x2-x1这一特定结构，即函数的因变量y随自变量x的平均变化率，简称为变化率.通过师生双向互动由浅入深的合作式探讨，抽象的函数平均变化率概念通过设计上述一系列问题并通过问题的解决而“水到渠成”，教师可以通过继续提问：如何求平均變化率的极限，瞬时变化率又是什么，由此进一步引出瞬时变化率，这样也就理所当然地引出了导数.
四、反 思
随着高中数学课程改革的推进，如何改变教学方式方法的研究越来越受到关注.新课标实施成败的关键在于教师，如果教师仅仅局限于拿着陈年教案或是课堂上实先准备好的课件去授课，而没有以学生学习需求为切入点，没有凸显学生主体地位，则可能出现学生学习轨迹与教师预设思路偏离，而此时教师却无法及时修改和反馈.因此，教师应积极探索适合自己和教学对象的教学方法与策略，在新课标的指导下，构建双向交互式教学的高中数学教学模式，以降低学生的学习困难，提高学生课堂参与性和概念教学的直观化，从而提升教学效果.
【参考文献】
[1]刘嘉祥.导数及其应用的课堂教学案例研究[J].南昌教育学院学报，2010（5）：66.
[2]秦泗伟.高中数学导数教学有效性探究[J].延边教育学院学报，2014（4）：123-124.
【关键词】新课标；导数；双向式教学；教学改革
【基金项目】广东省教育厅2015年教育教学改革课题，项目编号：GDJG2015229.
一、引 言
微积分是否列入高中数学教学内容，之前一直存在争议，在高中数学教材中也经历了几进几出.2003年国家教育部颁布了《普通高中数学课程标准（实验）》，一改之前高中数学课程大纲“体系严密、逻辑性强”的特点，而更重视了信息教育技术的应用，并引入了探究性学习环节，更加重视学习过程和思想方法的体验，注重应用能力和创新能力的培养，对于课程内容的定位也更清晰.“导数及其应用”作为一个内容模块出现在《普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2》的第一章，是新课程改革涉及的重要内容之一，此内容也是沟通高中数学和高等数学的桥梁.当前，由于高考“指挥棒”的导向性，“导数及其应用”这部分内容的教学有着厚重的“教条式”特征，普遍存在学生记公式、套解法的现象，重计算而轻对概念本质的理解，长此以往，对学生的归纳抽象、推理能力和创新能力都是不利的，应引起重视.因此，在导数教学中，应找准教学切入点，突出数学文化本质.
纵观当前关于高中数学导数及应用教学改革研究，其工作主要集中在“老大纲与新课标的比较、新老教材比较、课程建设”等方面，教学研究上又可以归结为“学生的认知规律”和“教学策略或教学设计”这两方面，而且关注点多在学生层面上，对于师生双向研究很少，然而“教学”是“师生”两元素融合渗透共同作用的过程.在新课标实施多年的背景下，本文以双向式教学为切入点，对导数部分教学内容的教学策略进行一些探讨.
二、双向式教学的内涵
双向式教学的主要目就是以课堂回归、以学生为主的展现形式.双向式强调师生信息流通的渠道都应是闭合回路.教学过程对师生两方面来说都是有控制的信息流通过程.教师和学生要分别对教和学实施有效的控制，都要运用反馈原理，也就是发出信息的过程中都要不断地收集反馈信息，以调整教和学的过程，都必须使信息流通的渠道成为闭合回路，如下图所示.
对教师来说，教师向学生发出了新知识的信息后，就应该从学生那里得到理解程度的信息，以便调整后续的教学；对学生来说，学生向教师发出了理解程度的信息后，也应该从教师那里得到评价信息，以便调整后续学习.不论是教师还是学生，如果信息只是单向传递，即没有得到反馈信息，就会影响教或学的质量.反馈信息可以产生“强化效应”.如果反馈信息说明原来的教和学符合或偏离了教学目标，师生就都会继续或调整后续的教与学.不论是“继续”还是“调整”，都是强化效应.
三、双向式教学模式下的导数内容教学策略
为提升课堂教学的时效性，新课程标准把教学看成是师生积极互动、共同发展的过程，只有师生间的互动，才能让课堂焕发活力，为了使课堂更生动更易于学习，首先应该创设问题情境，不断提出问题再解决问题，引导学生突破难点，从而达到教学目标.《普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2》的第一章的第一节为“变化率与导数”，包含了“变化率问题、导数的概念、导数的几何意义”三个内容，高中数学导数概念首先是通过对气球的膨胀率的讨论而提出来的.因此，以下以“气球膨胀率”内容为例，提出一些教学策略.
（一）双向环节1：创设情境
问题1：体验吹气球，气球在膨胀过程中你的感受如何？
问题2：请借助物理知识解释你的感受？
问题3：如何从数学角度而且量化描述气球膨胀的规律？
评析：此环节为了引入变化率而创设了“气球膨胀”情境.学生根据吹气球过程体验的回忆，普遍得出“刚开始吹气球感觉很轻松，而且气球膨胀较快；随着气球的膨胀，吹气球越来越费劲，气球膨胀变缓”这一直观感受，接着在教师引导下，结合物理知识解释这一现象：吹气球过程中球外的压强不变，但球内的压强变大.吹气球时加大了气球内的气体的压强，气球通过增大形变（气球变大）来与之保持平衡.气球形变越大（气球吹得越大），压强越大，这也是气球吹得越大越难吹甚至吹爆（吹气增加的压强超过了气球的张力）的原因.最后，将吹气球这一问题适当简化，提出“如何从数学角度而且量化描述气球膨胀的规律”这一数学问题.其间，教师可以借助多媒体动画技术展示气球膨胀这一过程，不仅让学生看清楚量与量之间的一些变化依赖关系，而且巩固一些物理知识.
（二）双向环节2：共析问题
问题1：假设气球膨胀过程中始终保持一个近似圆球，给出体积的表达式，该表达式中哪些量是变量？
问题2：为了更好描述膨胀现象规律，如何确定体积函数中的因变量和自变量？
问题3：如果选定体积为自变量，半径为因变量，当体积变化1个单位的时候，半径改变量是多少？如何定义它？
评析：当把气球膨胀看作一个数学问题之后，应从3个方面层层揭开数学建模.首先，将气球始终看作圆球时，其体积函数为V（r）=43πr3，体积V随半径r的变化而变化；其次，变量间的依赖关系是可以转化的（自变量和因变量是可以相互转化的），因此，可以将体积关于半径的函数转化为：r（V）=33V4π；最后，将半径改变量与体积改变量做比值ΔrΔV，特别地，取ΔV=1，表示的是当体积改变一个单位时，半径变化的幅度（改变量），在气球膨胀问题中，因为膨胀的指标可以归结为半径，所以将半径变化的幅度称为平均膨胀率.这3个递进式的启发和探索，是一个邏辑结构严谨的问题链，通过教师与学生双向交互式的探讨，不仅学习到了数学知识和用数学知识研究问题的方法，更重要的是体会到了数学的科学价值. （三）双向环节3：求解问题，发现规律
问题1：半径以dm为单位，体积以L为单位，分别计算出体积从0增加到1 L和从1 L增加到2 L时，半径的改变量是多少？平均膨胀率是多少？
问题2：从平均膨胀率的数值来看，你发现了什么现象，是否与之前的物理分析的结果是一致的？
评析：师生共同计算出V从0增加到1 L时的平均膨胀率约为0.62 dm/L，从1 L增加到2 L的平均膨胀率约为0.16 dm/L，体积改变量相等，但是平均变化率却并不相等.可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，从数学角度印证了之前物理分析的结论，这样也让学生体验到数学模型与实际问题的密切关系.
（四）双向环节4：问题延伸
问题1：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率怎么表示？
问题2：如果将上述函数归结为一般的函数y=f（x），ΔyΔx又该怎样定义？
评析：由于有了前面问题的铺垫，学生计算空气容量从V1增加到V2时的膨胀率不会有太大困难，关键在于明确此时的ΔV不一定是1 L，而应表示为ΔV=V2-V1，则此时的平均膨胀率为ΔrΔV=r2-r1V2-V1.而当r（V）=33V4π抽象为一般的函数y=f（x）时，学生可以很自然类比构造出比式ΔyΔx=y2-y1x2-x1这一特定结构，即函数的因变量y随自变量x的平均变化率，简称为变化率.通过师生双向互动由浅入深的合作式探讨，抽象的函数平均变化率概念通过设计上述一系列问题并通过问题的解决而“水到渠成”，教师可以通过继续提问：如何求平均變化率的极限，瞬时变化率又是什么，由此进一步引出瞬时变化率，这样也就理所当然地引出了导数.
四、反 思
随着高中数学课程改革的推进，如何改变教学方式方法的研究越来越受到关注.新课标实施成败的关键在于教师，如果教师仅仅局限于拿着陈年教案或是课堂上实先准备好的课件去授课，而没有以学生学习需求为切入点，没有凸显学生主体地位，则可能出现学生学习轨迹与教师预设思路偏离，而此时教师却无法及时修改和反馈.因此，教师应积极探索适合自己和教学对象的教学方法与策略，在新课标的指导下，构建双向交互式教学的高中数学教学模式，以降低学生的学习困难，提高学生课堂参与性和概念教学的直观化，从而提升教学效果.
【参考文献】
[1]刘嘉祥.导数及其应用的课堂教学案例研究[J].南昌教育学院学报，2010（5）：66.
[2]秦泗伟.高中数学导数教学有效性探究[J].延边教育学院学报，2014（4）：123-124.