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思维，被恩格斯誉为“世间最美丽的花朵”，无论是学生的学习活动，还是人类的一切发明创造活动，都离不开思维，数学是思维的体操，数学思维的深刻性是数学思维品质的基础，是数学观念，数学意识的集中反映，数学思维的深刻性是指数学思维活动的抽象程度和概括水平，涉及思维活动的深度、广度和难度，经集中表现在对于数学问题的思考，能抓住问题的本质和规律，深入细致地加入以分析和解决，而不被一些表面的现象所迷惑。平时笔者经常能听到“我太粗心这题才错的”、“公式定理我记错了这题才错的”等等这类话，笔者认为这些都是学生思维的深刻性不够造成的，因此在新课程理念的指导下有效进行数学教学必须要培养学生的学习内容非常重要。
在数学教学中，当师生共同深入探究一个数学问题时，总会碰到“山重水复疑无路”的尴尬或困惑，而“柳暗花明又一村”又让我们感到欣喜甚至手舞足蹈，进一步深入探究时，我们又发现山外竟然还有更高的山，楼外还有更美的楼，数学的层次感和尝试恰恰匹配了我们思维的无极限和它螺旋式上升认识事物的过程，因此，在数学教学活动的各个方面都有必要采用层层递进的方法来深化学生的思维，以达到培养学生思维的深刻性之功效。
1、概念层层递进，知识本质逐步揭示
数学知识中最普遍的形式是数学概念，所以数学概念学习是数学学习的核心，有些概念内涵丰富、外延广泛，很难一步到位，教师可根据知识结构的繁简和理解程度的难易，把包含在概念内的复杂和隐蔽的内涵及外延，层层剥离，进行多层面的展开，逐级推进和激发，既使教学由表及里，深入清晰地揭示出整体知识的本质和人在的规律，又可训练学生思维的广阔性的深刻性，如三角涵数的定义； 可进行以下三个循序渐进、不断深化的剖析开端：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。并由此概念衍生出：（1）三角函数的值在各个象限的符号；（2）三角函数线；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）三角函数的图象与性质；（5）三角函数的诱导公式等。由此可见，三角函数的定义是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容，中学生也可以深刻理解数学概念是如何层层递进地建立以形成一个整体的。
2.题组层层递进，认识能力逐层深化
心理学研究表明：人的认识是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复杂的，因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步的多层级的获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，如在讲二次函数在闭区间上的最大的专题复习时，可设计如下题组：
题组一（巩固型题组，为熟悉基本知识，方法而设置）：
1、设f（x）=x2-x+2，求f（x）的最值
2、设f（x）=x2-x+2，x∈[-1，1]，求的最值
题组二（提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置）
1、已知x1 x2，是方程2x2-4mx+（5m2-9m-12）=0的两个实数根，求y=x12+x22的最值。
2、题组三（发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置）
1、已知f（x）=x2-2x+2，，若在f（x）區间[t，t+1] t∈R f（x）=x2-x+2上的最小值记g（x）为求g（x）的表达式
2、求f（x）=x2-2ax+2（a∈R） 在区间[0，2]上的最大值
3、设函数f（x）=-1-2a-2acosx-2sin2x的最大值g（a） （a∈R），（1）求；g（a）（2）当g（a）=1/2时，求a的值，并求此时f（x）的最大值
对例习题由浅入深，层导层递进，环环相扣，把思维逐渐引向深入，使学生既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，训练了学生的数学思维。
3、化归层层递进，转换能力逐层加强。
化归法是指把问题进行变形，使之转化，化归方向是由未知到已知、由难到易、由繁到简，而问题的突质不变，以便从不同的角度、不同的方向说明问题的本质，使本质的东西更全面更突出地显露出来，用哲学的观点来分析，化归是一种运动，只有在不断的运动中，矛盾才能解决，美国著名的数学家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。”化归就是要求我们换一个角度观察，换一种方式思考，换一种语言叙述，用另一种观点处理问题。
3.1正向化归
例1 解不等式
解析：此题若用常规方法以（平方、移项、合并同类项等 机械策略）来求解，其复杂性是显而易见的注意到不等式左边的结构特点，即可化归为
，这时化静为动，得一个平面区域，这是一个a=4，c=3，的椭圆内部区域。
（代数语言转化为几何语言），再以静制动，令y=2，可得不等式的解为≦x≦
3.2逆向化归
例2 已知实数a>b>e，其中e是自然对数的底，证明ab 解析：因为a>b>e>1，所以，由ab 语义转换就是函数f（x）=
在（e +∞）是减函数，从而化归判定在（e +∞）上函数导数f（x）=
的符号问题
通过化归可以使一个问题与有关的问题联系起来，中以问题的层层转换，使学生的思维不断深化要，这样既可以培养学生思维的深刻性，又可以培养学生思维的敏捷性。
4、变式层层递进，理解能力螺旋上升。
所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，“变中求同”、“同中求异”的变式问题有助于数学知识的灵活迁移，在平常的课堂教学中，教师可根据知识间的内在联系，由浅入深，由表及里，由简到繁，由易到难去设计多层次练习题，进行一题多变的训练，加深对知识的理解和掌握知识的内在联系，从而达到培养这生的思维深刻性的目的。 例如：在学习完圆锥曲线的交点问题中，可以先进行复习巩固再进行变式探索。
练习：已知直线y=kx-2与抛物线y2=x没有一个公共点，求斜率K的取值范围。
变式1：已知直线与y=kx-2抛物线y2=x，（1）有两个公共点，（2）只有一个公共点，分别求斜率K的取值范围。
变式2：已知直线y=kx-2与曲线y=-只有一个公共点，求斜率K的取值范围。
变式3：已知直线y=kx-2与双曲线x2-y2=1左支有两个公共点，求斜率K的取值范围。
變式4：已知直线y=kx-2与曲线y=只有一个公共点，求斜率K的取值范围。
通过这一组变题，层层推进，使学生对直线和曲线的位置关系本质的认识和理解呈螺旋式上升，从而对知识的理解更深刻，达到以一胜多的功效，培养了学生思维的深度与广度。
5.反思层层递进，概括能力逐步增强
波利亚说进：没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经地充分的探讨总会有点滴发现，而且在任何情况下，我们总得提高息对这个解答的理解水平，波利亚在这里所说剩下些工作，就是解题后的反思，波斯纳提出个人成长的公式为经验+反思=成长。
例3：过抛物线的准线上任意一点p作抛物线而条切线···
证明：设p（t -p/2），A（x1，y1），B（x2，y2），求导y，= 得所以切线PA、PB的方程 x1x-py-py1=0 x2x-py-py2=0
因为点P在两切线上，所以tx1-py1+p2/2=0 tx2-py2+p2/2=0
因而点A、B都在直线上直线AB就是直线l，显然直线过焦点F（0，p/2）
层次1：反思解题规律
（1）本题中用导数来求切线斜率
（2）求直线方程用到了直线方程和设而不的方法
（3）过定点问题可转化为求含单参数直线方程的问题
层次2：反思引申与探索：
（1）能否用类似方法将抛物线拓展到一般的圆锥曲线？
（2）原命题的逆命题为：设线段AB为抛物线x2=2py焦点弦，分别过点A、B作抛物线切线，则 切线的交点在相 应准线上。请问逆命题是否正确？可否用类似方法证明？
（3）原命题的逆命题能否由抛物线拓展到一般的圆锥曲线？
通过数学问题的证明，总结，探索与引申与探索题的解决，学生掌握了这一类问题的解题规律与内在联系，加深了对此类问题的理解，养成了探索问题的习惯，逐步增强由特殊到一般的抽象概括能力，培养了学生思维的深刻性。
总之，只要我们时刻意识到思维培养是我们数学教学的中心任务，时刻意识到提高学生思维深刻性是我们数学教学的根本所在，有了这种意识，在数学的各个环境就能把学生思维深刻性的培养与提高放在首位，从而确切保障，把培养与提高学生思维深刻的任务落到实处思维的汒生提高了学生也就能从题海中解脱出来。
在数学教学中，当师生共同深入探究一个数学问题时，总会碰到“山重水复疑无路”的尴尬或困惑，而“柳暗花明又一村”又让我们感到欣喜甚至手舞足蹈，进一步深入探究时，我们又发现山外竟然还有更高的山，楼外还有更美的楼，数学的层次感和尝试恰恰匹配了我们思维的无极限和它螺旋式上升认识事物的过程，因此，在数学教学活动的各个方面都有必要采用层层递进的方法来深化学生的思维，以达到培养学生思维的深刻性之功效。
1、概念层层递进，知识本质逐步揭示
数学知识中最普遍的形式是数学概念，所以数学概念学习是数学学习的核心，有些概念内涵丰富、外延广泛，很难一步到位，教师可根据知识结构的繁简和理解程度的难易，把包含在概念内的复杂和隐蔽的内涵及外延，层层剥离，进行多层面的展开，逐级推进和激发，既使教学由表及里，深入清晰地揭示出整体知识的本质和人在的规律，又可训练学生思维的广阔性的深刻性，如三角涵数的定义； 可进行以下三个循序渐进、不断深化的剖析开端：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。并由此概念衍生出：（1）三角函数的值在各个象限的符号；（2）三角函数线；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）三角函数的图象与性质；（5）三角函数的诱导公式等。由此可见，三角函数的定义是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容，中学生也可以深刻理解数学概念是如何层层递进地建立以形成一个整体的。
2.题组层层递进，认识能力逐层深化
心理学研究表明：人的认识是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复杂的，因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步的多层级的获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，如在讲二次函数在闭区间上的最大的专题复习时，可设计如下题组：
题组一（巩固型题组，为熟悉基本知识，方法而设置）：
1、设f（x）=x2-x+2，求f（x）的最值
2、设f（x）=x2-x+2，x∈[-1，1]，求的最值
题组二（提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置）
1、已知x1 x2，是方程2x2-4mx+（5m2-9m-12）=0的两个实数根，求y=x12+x22的最值。
2、题组三（发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置）
1、已知f（x）=x2-2x+2，，若在f（x）區间[t，t+1] t∈R f（x）=x2-x+2上的最小值记g（x）为求g（x）的表达式
2、求f（x）=x2-2ax+2（a∈R） 在区间[0，2]上的最大值
3、设函数f（x）=-1-2a-2acosx-2sin2x的最大值g（a） （a∈R），（1）求；g（a）（2）当g（a）=1/2时，求a的值，并求此时f（x）的最大值
对例习题由浅入深，层导层递进，环环相扣，把思维逐渐引向深入，使学生既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，训练了学生的数学思维。
3、化归层层递进，转换能力逐层加强。
化归法是指把问题进行变形，使之转化，化归方向是由未知到已知、由难到易、由繁到简，而问题的突质不变，以便从不同的角度、不同的方向说明问题的本质，使本质的东西更全面更突出地显露出来，用哲学的观点来分析，化归是一种运动，只有在不断的运动中，矛盾才能解决，美国著名的数学家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。”化归就是要求我们换一个角度观察，换一种方式思考，换一种语言叙述，用另一种观点处理问题。
3.1正向化归
例1 解不等式
解析：此题若用常规方法以（平方、移项、合并同类项等 机械策略）来求解，其复杂性是显而易见的注意到不等式左边的结构特点，即可化归为
，这时化静为动，得一个平面区域，这是一个a=4，c=3，的椭圆内部区域。
（代数语言转化为几何语言），再以静制动，令y=2，可得不等式的解为≦x≦
3.2逆向化归
例2 已知实数a>b>e，其中e是自然对数的底，证明ab
在（e +∞）是减函数，从而化归判定在（e +∞）上函数导数f（x）=
的符号问题
通过化归可以使一个问题与有关的问题联系起来，中以问题的层层转换，使学生的思维不断深化要，这样既可以培养学生思维的深刻性，又可以培养学生思维的敏捷性。
4、变式层层递进，理解能力螺旋上升。
所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，“变中求同”、“同中求异”的变式问题有助于数学知识的灵活迁移，在平常的课堂教学中，教师可根据知识间的内在联系，由浅入深，由表及里，由简到繁，由易到难去设计多层次练习题，进行一题多变的训练，加深对知识的理解和掌握知识的内在联系，从而达到培养这生的思维深刻性的目的。 例如：在学习完圆锥曲线的交点问题中，可以先进行复习巩固再进行变式探索。
练习：已知直线y=kx-2与抛物线y2=x没有一个公共点，求斜率K的取值范围。
变式1：已知直线与y=kx-2抛物线y2=x，（1）有两个公共点，（2）只有一个公共点，分别求斜率K的取值范围。
变式2：已知直线y=kx-2与曲线y=-只有一个公共点，求斜率K的取值范围。
变式3：已知直线y=kx-2与双曲线x2-y2=1左支有两个公共点，求斜率K的取值范围。
變式4：已知直线y=kx-2与曲线y=只有一个公共点，求斜率K的取值范围。
通过这一组变题，层层推进，使学生对直线和曲线的位置关系本质的认识和理解呈螺旋式上升，从而对知识的理解更深刻，达到以一胜多的功效，培养了学生思维的深度与广度。
5.反思层层递进，概括能力逐步增强
波利亚说进：没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经地充分的探讨总会有点滴发现，而且在任何情况下，我们总得提高息对这个解答的理解水平，波利亚在这里所说剩下些工作，就是解题后的反思，波斯纳提出个人成长的公式为经验+反思=成长。
例3：过抛物线的准线上任意一点p作抛物线而条切线···
证明：设p（t -p/2），A（x1，y1），B（x2，y2），求导y，= 得所以切线PA、PB的方程 x1x-py-py1=0 x2x-py-py2=0
因为点P在两切线上，所以tx1-py1+p2/2=0 tx2-py2+p2/2=0
因而点A、B都在直线上直线AB就是直线l，显然直线过焦点F（0，p/2）
层次1：反思解题规律
（1）本题中用导数来求切线斜率
（2）求直线方程用到了直线方程和设而不的方法
（3）过定点问题可转化为求含单参数直线方程的问题
层次2：反思引申与探索：
（1）能否用类似方法将抛物线拓展到一般的圆锥曲线？
（2）原命题的逆命题为：设线段AB为抛物线x2=2py焦点弦，分别过点A、B作抛物线切线，则 切线的交点在相 应准线上。请问逆命题是否正确？可否用类似方法证明？
（3）原命题的逆命题能否由抛物线拓展到一般的圆锥曲线？
通过数学问题的证明，总结，探索与引申与探索题的解决，学生掌握了这一类问题的解题规律与内在联系，加深了对此类问题的理解，养成了探索问题的习惯，逐步增强由特殊到一般的抽象概括能力，培养了学生思维的深刻性。
总之，只要我们时刻意识到思维培养是我们数学教学的中心任务，时刻意识到提高学生思维深刻性是我们数学教学的根本所在，有了这种意识，在数学的各个环境就能把学生思维深刻性的培养与提高放在首位，从而确切保障，把培养与提高学生思维深刻的任务落到实处思维的汒生提高了学生也就能从题海中解脱出来。