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学习数学,离不开想象.数学中的想象,能够有助于寻觅解题思路,发现数学结论.爱因斯坦说过,想象比知识更重要。当然,想象有时也难免出现虚假,这又是我们在数学学习中需要避免的。下面拟通过对几个典型的由想象产生虚假的例子的剖析,以资参考。
一、直觉虚假
直觉虚假,指的是在解题时,由直觉想象引起的虚假现象。直觉虚假表现的常见形式就是图形虚假,如由于描图的粗糙,使得对某些位置关系的判断失真形成虚假
例1 (08年上海高考文科题)在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6).如果P(x,y)是ΔABC围成的区域(含边界)上的点,那么当u=xy取到最大值时,点P的坐标是 .
想象 由图形直观可知,当点P与点C(2,6)重合时,w=xy的最大值为12.
真实 从表面上看,上述解法似乎无懈可击,但仔细想来,这种解法是靠想象得来的,属于定性的,某种程度是不一定可靠的,有可能是虚假的.请看下面的定量分析:
由题意可得线段BC的方程为:y=-2x+10(2?燮x?燮4),代入u=xy可得
u=x(-2x+10)=-2x-■■+■.
当x=■时,u最大值为■.
故点P的真实坐标是■,5.此时,线段BC与双曲线y=■相切.
评注 本例提醒我们,在解题中,由直觉产生的想象有可能是虚假的。这也印证了华罗庚先生一句经典的话:数缺形时少直观,形少数时难入微。
二、概念虚假
概念虚假,指的是在解题时,由于对相关数学概念的理解不到位,凭想象而产生的虚假现象。
例2 已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1, log■x,x?叟1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( ).
A. (0,■) B. (■,1) C.[■,■) D.[■,1)
想象 根据题意,只要确保函数f(x)分别在(-∞,1),以及[-∞,1)是减函数即可,故由
3a-1>1,0 故选B.
真实 依据题设,要使分段函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,除要确保函数f(x)分别在(-∞,1),以及[1,+∞)是减函数外,还应满足在分点处x=1时,有
(3a-1)×1+4a?叟log■1?圯a?叟■.②
综合①②可得■?燮a<1.
故正确答案应选C.
评注 在本题的想象中,错误地认为,如果函数f(x)分别在(-∞,m),[m,+∞)上单调递减,则函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.这显然是一个凭想象得出的虚假概念。因为对于分段函数f(x)而言,其在(-∞,+∞)上单调性,还与其分点x=m处函数值有关。
三、条件虚假
条件虚假,指的是在解题时,由于忽视对某些数学结论成立时所满足的条件的正确理解,形成想象中的虚假,并由此导致解题中的失误。
例3 已知(x)=x2-16x+q+3,若函数f(x)在[-1,9]上存在零点,求实数q的取值范围。
想象 ∵f(x)在[-1,9]上存在零点,由函数在某闭区间存在零点定理,
∴f(-1)·f(9)?燮0?圯(q+20)·(q-60)?燮0?圯-20?燮q?燮60.
真实 ∵f(x)=(x-8)2+q-61,x∈[-1,9].
∴fmin(x)=f(8)=q-61,fmax(x)=f(-1)=q+20.
由f(-1)·f(8)?燮0?圯(q+20)·(q-61)?燮0?圯-20?燮q?燮61.
剖析 众所周知,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.但条件f(a)·f(b)<0是y=f(x)在区间(a,b)有零点的充分条件,并非必要条件。
限于篇幅,本文仅列举上述几类由想象不慎所导致虚假的例子,更多的例子可以在教学中归纳总结。
由上可知,肤浅的想象容易出现虚假,但这并不能否认数学中想象的重要作用,相反,从另一个侧面给我们以启示:在解题时,可以充分发挥数学想象重要的引领作用,在加上缜密的反思,一个个精彩的解法就可能跃然纸上,由此数学能力就会逐渐得以提高。
(作者单位:江西省赣县中学北校区)
一、直觉虚假
直觉虚假,指的是在解题时,由直觉想象引起的虚假现象。直觉虚假表现的常见形式就是图形虚假,如由于描图的粗糙,使得对某些位置关系的判断失真形成虚假
例1 (08年上海高考文科题)在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6).如果P(x,y)是ΔABC围成的区域(含边界)上的点,那么当u=xy取到最大值时,点P的坐标是 .
想象 由图形直观可知,当点P与点C(2,6)重合时,w=xy的最大值为12.
真实 从表面上看,上述解法似乎无懈可击,但仔细想来,这种解法是靠想象得来的,属于定性的,某种程度是不一定可靠的,有可能是虚假的.请看下面的定量分析:
由题意可得线段BC的方程为:y=-2x+10(2?燮x?燮4),代入u=xy可得
u=x(-2x+10)=-2x-■■+■.
当x=■时,u最大值为■.
故点P的真实坐标是■,5.此时,线段BC与双曲线y=■相切.
评注 本例提醒我们,在解题中,由直觉产生的想象有可能是虚假的。这也印证了华罗庚先生一句经典的话:数缺形时少直观,形少数时难入微。
二、概念虚假
概念虚假,指的是在解题时,由于对相关数学概念的理解不到位,凭想象而产生的虚假现象。
例2 已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1, log■x,x?叟1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( ).
A. (0,■) B. (■,1) C.[■,■) D.[■,1)
想象 根据题意,只要确保函数f(x)分别在(-∞,1),以及[-∞,1)是减函数即可,故由
3a-1>1,0 故选B.
真实 依据题设,要使分段函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,除要确保函数f(x)分别在(-∞,1),以及[1,+∞)是减函数外,还应满足在分点处x=1时,有
(3a-1)×1+4a?叟log■1?圯a?叟■.②
综合①②可得■?燮a<1.
故正确答案应选C.
评注 在本题的想象中,错误地认为,如果函数f(x)分别在(-∞,m),[m,+∞)上单调递减,则函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.这显然是一个凭想象得出的虚假概念。因为对于分段函数f(x)而言,其在(-∞,+∞)上单调性,还与其分点x=m处函数值有关。
三、条件虚假
条件虚假,指的是在解题时,由于忽视对某些数学结论成立时所满足的条件的正确理解,形成想象中的虚假,并由此导致解题中的失误。
例3 已知(x)=x2-16x+q+3,若函数f(x)在[-1,9]上存在零点,求实数q的取值范围。
想象 ∵f(x)在[-1,9]上存在零点,由函数在某闭区间存在零点定理,
∴f(-1)·f(9)?燮0?圯(q+20)·(q-60)?燮0?圯-20?燮q?燮60.
真实 ∵f(x)=(x-8)2+q-61,x∈[-1,9].
∴fmin(x)=f(8)=q-61,fmax(x)=f(-1)=q+20.
由f(-1)·f(8)?燮0?圯(q+20)·(q-61)?燮0?圯-20?燮q?燮61.
剖析 众所周知,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.但条件f(a)·f(b)<0是y=f(x)在区间(a,b)有零点的充分条件,并非必要条件。
限于篇幅,本文仅列举上述几类由想象不慎所导致虚假的例子,更多的例子可以在教学中归纳总结。
由上可知,肤浅的想象容易出现虚假,但这并不能否认数学中想象的重要作用,相反,从另一个侧面给我们以启示:在解题时,可以充分发挥数学想象重要的引领作用,在加上缜密的反思,一个个精彩的解法就可能跃然纸上,由此数学能力就会逐渐得以提高。
(作者单位:江西省赣县中学北校区)