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学习数学，离不开想象.数学中的想象，能够有助于寻觅解题思路，发现数学结论.爱因斯坦说过，想象比知识更重要。当然，想象有时也难免出现虚假，这又是我们在数学学习中需要避免的。下面拟通过对几个典型的由想象产生虚假的例子的剖析，以资参考。
一、直觉虚假
直觉虚假，指的是在解题时，由直觉想象引起的虚假现象。直觉虚假表现的常见形式就是图形虚假，如由于描图的粗糙，使得对某些位置关系的判断失真形成虚假
例1 （08年上海高考文科题）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）.如果P（x，y）是ΔABC围成的区域（含边界）上的点，那么当u=xy取到最大值时，点P的坐标是 .
想象 由图形直观可知，当点P与点C（2，6）重合时，w=xy的最大值为12.
真实 从表面上看，上述解法似乎无懈可击，但仔细想来，这种解法是靠想象得来的，属于定性的，某种程度是不一定可靠的，有可能是虚假的.请看下面的定量分析：
由题意可得线段BC的方程为：y=-2x+10（2？燮x？燮4），代入u=xy可得
u=x（-2x+10）=-2x-■■+■.
当x=■时，u最大值为■.
故点P的真实坐标是■，5.此时，线段BC与双曲线y=■相切.
评注 本例提醒我们，在解题中，由直觉产生的想象有可能是虚假的。这也印证了华罗庚先生一句经典的话：数缺形时少直观，形少数时难入微。
二、概念虚假
概念虚假，指的是在解题时，由于对相关数学概念的理解不到位，凭想象而产生的虚假现象。
例2 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1， log■x，x？叟1是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）.
A. （0，■） B. （■，1） C.[■，■） D.[■，1）
想象 根据题意，只要确保函数f（x）分别在（-∞，1），以及[-∞，1）是减函数即可，故由
3a-1>1，0 故选B.
真实 依据题设，要使分段函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，除要确保函数f（x）分别在（-∞，1），以及[1，+∞）是减函数外，还应满足在分点处x=1时，有
（3a-1）×1+4a？叟log■1？圯a？叟■.②
综合①②可得■？燮a<1.
故正确答案应选C.
评注 在本题的想象中，错误地认为，如果函数f（x）分别在（-∞，m），[m，+∞）上单调递减，则函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减.这显然是一个凭想象得出的虚假概念。因为对于分段函数f（x）而言，其在（-∞，+∞）上单调性，还与其分点x=m处函数值有关。
三、条件虚假
条件虚假，指的是在解题时，由于忽视对某些数学结论成立时所满足的条件的正确理解，形成想象中的虚假，并由此导致解题中的失误。
例3 已知（x）=x2-16x+q+3，若函数f（x）在[-1，9]上存在零点，求实数q的取值范围。
想象 ∵f（x）在[-1，9]上存在零点，由函数在某闭区间存在零点定理，
∴f（-1）·f（9）？燮0？圯（q+20）·（q-60）？燮0？圯-20？燮q？燮60.
真实 ∵f（x）=（x-8）2+q-61，x∈[-1，9].
∴fmin（x）=f（8）=q-61，fmax（x）=f（-1）=q+20.
由f（-1）·f（8）？燮0？圯（q+20）·（q-61）？燮0？圯-20？燮q？燮61.
剖析 众所周知，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点.但条件f（a）·f（b）<0是y=f（x）在区间（a，b）有零点的充分条件，并非必要条件。
限于篇幅，本文仅列举上述几类由想象不慎所导致虚假的例子，更多的例子可以在教学中归纳总结。
由上可知，肤浅的想象容易出现虚假，但这并不能否认数学中想象的重要作用，相反，从另一个侧面给我们以启示：在解题时，可以充分发挥数学想象重要的引领作用，在加上缜密的反思，一个个精彩的解法就可能跃然纸上，由此数学能力就会逐渐得以提高。
（作者单位：江西省赣县中学北校区）
一、直觉虚假
直觉虚假，指的是在解题时，由直觉想象引起的虚假现象。直觉虚假表现的常见形式就是图形虚假，如由于描图的粗糙，使得对某些位置关系的判断失真形成虚假
例1 （08年上海高考文科题）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）.如果P（x，y）是ΔABC围成的区域（含边界）上的点，那么当u=xy取到最大值时，点P的坐标是 .
想象 由图形直观可知，当点P与点C（2，6）重合时，w=xy的最大值为12.
真实 从表面上看，上述解法似乎无懈可击，但仔细想来，这种解法是靠想象得来的，属于定性的，某种程度是不一定可靠的，有可能是虚假的.请看下面的定量分析：
由题意可得线段BC的方程为：y=-2x+10（2？燮x？燮4），代入u=xy可得
u=x（-2x+10）=-2x-■■+■.
当x=■时，u最大值为■.
故点P的真实坐标是■，5.此时，线段BC与双曲线y=■相切.
评注 本例提醒我们，在解题中，由直觉产生的想象有可能是虚假的。这也印证了华罗庚先生一句经典的话：数缺形时少直观，形少数时难入微。
二、概念虚假
概念虚假，指的是在解题时，由于对相关数学概念的理解不到位，凭想象而产生的虚假现象。
例2 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1， log■x，x？叟1是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）.
A. （0，■） B. （■，1） C.[■，■） D.[■，1）
想象 根据题意，只要确保函数f（x）分别在（-∞，1），以及[-∞，1）是减函数即可，故由
3a-1>1，0
真实 依据题设，要使分段函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，除要确保函数f（x）分别在（-∞，1），以及[1，+∞）是减函数外，还应满足在分点处x=1时，有
（3a-1）×1+4a？叟log■1？圯a？叟■.②
综合①②可得■？燮a<1.
故正确答案应选C.
评注 在本题的想象中，错误地认为，如果函数f（x）分别在（-∞，m），[m，+∞）上单调递减，则函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减.这显然是一个凭想象得出的虚假概念。因为对于分段函数f（x）而言，其在（-∞，+∞）上单调性，还与其分点x=m处函数值有关。
三、条件虚假
条件虚假，指的是在解题时，由于忽视对某些数学结论成立时所满足的条件的正确理解，形成想象中的虚假，并由此导致解题中的失误。
例3 已知（x）=x2-16x+q+3，若函数f（x）在[-1，9]上存在零点，求实数q的取值范围。
想象 ∵f（x）在[-1，9]上存在零点，由函数在某闭区间存在零点定理，
∴f（-1）·f（9）？燮0？圯（q+20）·（q-60）？燮0？圯-20？燮q？燮60.
真实 ∵f（x）=（x-8）2+q-61，x∈[-1，9].
∴fmin（x）=f（8）=q-61，fmax（x）=f（-1）=q+20.
由f（-1）·f（8）？燮0？圯（q+20）·（q-61）？燮0？圯-20？燮q？燮61.
剖析 众所周知，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点.但条件f（a）·f（b）<0是y=f（x）在区间（a，b）有零点的充分条件，并非必要条件。
限于篇幅，本文仅列举上述几类由想象不慎所导致虚假的例子，更多的例子可以在教学中归纳总结。
由上可知，肤浅的想象容易出现虚假，但这并不能否认数学中想象的重要作用，相反，从另一个侧面给我们以启示：在解题时，可以充分发挥数学想象重要的引领作用，在加上缜密的反思，一个个精彩的解法就可能跃然纸上，由此数学能力就会逐渐得以提高。
（作者单位：江西省赣县中学北校区）