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摘 要：数列问题在高中数学中一直占有重要地位，知识点也总是高考的重要考点之一，而数列求和更是数列问题中的关键。本文将对数列求和中的解题要点和易错点进行简单分析和总结。
关键词：高中数学；数列求和；解题思路
数列求和这一内容蕴含着多种数学思想及方法，而且基本概念、公式本身也包含着丰富的数学方法，故在高中数学中占据重要地位。但是由于数列题型的多变性以及对数列求和问题没有系统的概念和流畅的思路，并且没有习惯去总结相似题目的解题规律，使得数列问题成为困扰我们高中生的拦路虎。为此，掌握与数列相关的解题方法与解题技巧，并根据不同的题目采用不同的方法，是我们解决数列求和问题的关键。针对这一问题，以下将简单地分析总结有关数列求和的解题要点和易错点。
一、 错位相减法求和
错位相减法不但是等比数列推导前n项和公式经常使用的方法，而且是求通项公式以等差数列的一次函数乘以等比数列的积的形式存在的数列的和的重要方法，所以错位相减法基本适用于等比数列的推广以及各项是由一个等比数列和一个等差数列的对应项之积组成的数列。通过在已知的求和式的两边同时乘以这个数列组成中的等比数列的公比，再将这个构造的新式与原式并立，减去原来的求和的式子，就可以化为一个同倍数的等比数列；最后利用等比数列求和公式，就可以求得原来数列各项的和。并且，在一些特殊的数列求和时，除了手动乘或除上公比，还可以利用系数构造错位相减的条件，例如3n 3n-1×2 3n-2×22 …… 3×2n-1 2n的问题，公比似乎无处可乘，但如果利用“1”的妙处，将1×（3n 3n-1×2 3n-2×22 …… 3×2n-1 2n）转化为（3-2）×（3n 3n-1×2 3n-2×22 …… 3×2n-1 2n），再展开后，将中间项全部消去，即可得到答案为3n 1-2n 1。
错位相减法能准确地解决等差与等比混合类型数列的题目，是解决混合数列求和的一大步骤，但要正确运用，还要注意一些问题，例如在两式相减时漏掉最后一项，最后求和时搞错项数或者相除时正负变化等。
二、 倒序相加法求和
倒序相加最基本的应用是推导等差数列前n项和的公式，除此以外，从等差数列求和拓展开来，在首末等距两项之和相同的数列求和中，也经常使用这种方法。把数列倒过来写，然后把正反两列相加，得到一个常数序列，然后计算出总和是多少。在面对一些项数很多又存在类似规律的数列时，乍一看十分棘手，但如果认真观察项数与项数之间等距和的规律，利用这个偏技巧性的规律，往往能减少运算量，节省时间。在观察数列首末等距项之和规律，运用倒序相加法时，还要注意首末项和的值以及写成新的数列时项数多少等问题。
三、 等差等比数列的基本求和公式求和
由于等差等比数列的求和公式也是从倒序相加法、错位相减法中歸纳出来的，并且单单等差等比求和而不结合其他知识点的题目也不占多数，故在此不赘述。
四、 裂项相消法求和
裂项相消一般运用于分式数列求和，把题目中数列的一项拆成两项之差的形式（例如1n（n 1）=1n-1（n 1）、12n（2n-1）=12n-1-12n），在求和的过程中，利用中间的大部分项可以相互抵消掉的特点，简单快速的求得其数列的和。裂项相消变化多样，有很多不同的形式，非常灵活，适用范围也非常广。运用裂项相消求和，能够将冗杂的多项数列消为只有前后几项的数，还可以根据需要调节所剩项的数目，减少运算量。解决分式类的数列求和问题用裂项相消法可以把问题简单化，更快捷准确计算出问题，但也要注意：裂项相消之后所得的项不一定只有两项或三项，但必定是前后所剩的数目相同，正负性相反的；有些时候需要先求得数列的通项，观察能否裂项，如何裂项，裂项后能否一一相消，再采取方法；裂项为两个差时需要检查和原来的式子是否相等，如果不等就要及时调整系数，这样才能保证裂项后前后两个等式一致并相等的前提。
五、 高次项累加法求低次项数列之和
以求12 22 …… n2为例：
通过（n 1）3-n3=3n2 3n 1得出了二次方项数和三次方项数差之间的关系
∴（n 1）3-n3=3n2 3n 1、n3-（n-1）3=3（n-1）2 3（n-1） 1
∴（n 1）3-n3 n3-（n-1）3 （n-1）3-……-23 23-13=3（12 22 …… n2） 3（1 2 …… n） n，1 2 …… n由等差数列求和公式可知为n（n 1）2，所以可得12 22 …… n2=n（n 1）（2n 1）6。
虽然12 22 …… n2、13 23 …… n3的结果更多是当作定值为更复杂的求和服务，但是这种用高次算低次的思路还是广泛应用于数列求和。
六、 并项和分组求和
并项一般运用在相邻之间有规律，并且整个数列都存在以两个或三个相邻项为单位之间关系，比如和为定值等的数列。而分组则是当碰到一些既不是等差，也不是等比的数列，但若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列。二者有相通之处，也有不同之处，可以用来解决同一问题，如求2-1 4-3 6-5 ……n 1-n时，可以用并组的方法，将2-1、4-3、6-5、n 1-n看为一项，利用差值相同，从而化为常数项再根据项数求和；也可以用分组的方法，将偶数看为一组数列，奇数看为一组数列，转化为两个等差数列，利用公式求和之后再相减即可得解。同时二者也可用来解决不同问题，这样的例子很多。但无论如何，还是要根据具体题目具体分析，根据出题方向和简便程度来判断解题该用并项还是分组。
七、 总结
综上所述，数列求和作为当今高考的热门，对于我们解题能力的考察也不断深入。针对繁多的数列求和问题，也有许多相应的解题方法，体现着不同的数学思维。但是就像分组和合并一样，具体该采取怎样的方法，还是要根据不同的题型，采取最简便省时的方法，在面对一些较复杂的数列求和时，也要综合运用裂项相消、错位相减等多种方法。本文将部分高中数列求和方法要点进行了归纳总结，希望对我们高中生解决相关问题有所帮助和启发。
作者简介：
冯新扬，浙江省临海市，浙江省台州中学。
关键词：高中数学；数列求和；解题思路
数列求和这一内容蕴含着多种数学思想及方法，而且基本概念、公式本身也包含着丰富的数学方法，故在高中数学中占据重要地位。但是由于数列题型的多变性以及对数列求和问题没有系统的概念和流畅的思路，并且没有习惯去总结相似题目的解题规律，使得数列问题成为困扰我们高中生的拦路虎。为此，掌握与数列相关的解题方法与解题技巧，并根据不同的题目采用不同的方法，是我们解决数列求和问题的关键。针对这一问题，以下将简单地分析总结有关数列求和的解题要点和易错点。
一、 错位相减法求和
错位相减法不但是等比数列推导前n项和公式经常使用的方法，而且是求通项公式以等差数列的一次函数乘以等比数列的积的形式存在的数列的和的重要方法，所以错位相减法基本适用于等比数列的推广以及各项是由一个等比数列和一个等差数列的对应项之积组成的数列。通过在已知的求和式的两边同时乘以这个数列组成中的等比数列的公比，再将这个构造的新式与原式并立，减去原来的求和的式子，就可以化为一个同倍数的等比数列；最后利用等比数列求和公式，就可以求得原来数列各项的和。并且，在一些特殊的数列求和时，除了手动乘或除上公比，还可以利用系数构造错位相减的条件，例如3n 3n-1×2 3n-2×22 …… 3×2n-1 2n的问题，公比似乎无处可乘，但如果利用“1”的妙处，将1×（3n 3n-1×2 3n-2×22 …… 3×2n-1 2n）转化为（3-2）×（3n 3n-1×2 3n-2×22 …… 3×2n-1 2n），再展开后，将中间项全部消去，即可得到答案为3n 1-2n 1。
错位相减法能准确地解决等差与等比混合类型数列的题目，是解决混合数列求和的一大步骤，但要正确运用，还要注意一些问题，例如在两式相减时漏掉最后一项，最后求和时搞错项数或者相除时正负变化等。
二、 倒序相加法求和
倒序相加最基本的应用是推导等差数列前n项和的公式，除此以外，从等差数列求和拓展开来，在首末等距两项之和相同的数列求和中，也经常使用这种方法。把数列倒过来写，然后把正反两列相加，得到一个常数序列，然后计算出总和是多少。在面对一些项数很多又存在类似规律的数列时，乍一看十分棘手，但如果认真观察项数与项数之间等距和的规律，利用这个偏技巧性的规律，往往能减少运算量，节省时间。在观察数列首末等距项之和规律，运用倒序相加法时，还要注意首末项和的值以及写成新的数列时项数多少等问题。
三、 等差等比数列的基本求和公式求和
由于等差等比数列的求和公式也是从倒序相加法、错位相减法中歸纳出来的，并且单单等差等比求和而不结合其他知识点的题目也不占多数，故在此不赘述。
四、 裂项相消法求和
裂项相消一般运用于分式数列求和，把题目中数列的一项拆成两项之差的形式（例如1n（n 1）=1n-1（n 1）、12n（2n-1）=12n-1-12n），在求和的过程中，利用中间的大部分项可以相互抵消掉的特点，简单快速的求得其数列的和。裂项相消变化多样，有很多不同的形式，非常灵活，适用范围也非常广。运用裂项相消求和，能够将冗杂的多项数列消为只有前后几项的数，还可以根据需要调节所剩项的数目，减少运算量。解决分式类的数列求和问题用裂项相消法可以把问题简单化，更快捷准确计算出问题，但也要注意：裂项相消之后所得的项不一定只有两项或三项，但必定是前后所剩的数目相同，正负性相反的；有些时候需要先求得数列的通项，观察能否裂项，如何裂项，裂项后能否一一相消，再采取方法；裂项为两个差时需要检查和原来的式子是否相等，如果不等就要及时调整系数，这样才能保证裂项后前后两个等式一致并相等的前提。
五、 高次项累加法求低次项数列之和
以求12 22 …… n2为例：
通过（n 1）3-n3=3n2 3n 1得出了二次方项数和三次方项数差之间的关系
∴（n 1）3-n3=3n2 3n 1、n3-（n-1）3=3（n-1）2 3（n-1） 1
∴（n 1）3-n3 n3-（n-1）3 （n-1）3-……-23 23-13=3（12 22 …… n2） 3（1 2 …… n） n，1 2 …… n由等差数列求和公式可知为n（n 1）2，所以可得12 22 …… n2=n（n 1）（2n 1）6。
虽然12 22 …… n2、13 23 …… n3的结果更多是当作定值为更复杂的求和服务，但是这种用高次算低次的思路还是广泛应用于数列求和。
六、 并项和分组求和
并项一般运用在相邻之间有规律，并且整个数列都存在以两个或三个相邻项为单位之间关系，比如和为定值等的数列。而分组则是当碰到一些既不是等差，也不是等比的数列，但若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列。二者有相通之处，也有不同之处，可以用来解决同一问题，如求2-1 4-3 6-5 ……n 1-n时，可以用并组的方法，将2-1、4-3、6-5、n 1-n看为一项，利用差值相同，从而化为常数项再根据项数求和；也可以用分组的方法，将偶数看为一组数列，奇数看为一组数列，转化为两个等差数列，利用公式求和之后再相减即可得解。同时二者也可用来解决不同问题，这样的例子很多。但无论如何，还是要根据具体题目具体分析，根据出题方向和简便程度来判断解题该用并项还是分组。
七、 总结
综上所述，数列求和作为当今高考的热门，对于我们解题能力的考察也不断深入。针对繁多的数列求和问题，也有许多相应的解题方法，体现着不同的数学思维。但是就像分组和合并一样，具体该采取怎样的方法，还是要根据不同的题型，采取最简便省时的方法，在面对一些较复杂的数列求和时，也要综合运用裂项相消、错位相减等多种方法。本文将部分高中数列求和方法要点进行了归纳总结，希望对我们高中生解决相关问题有所帮助和启发。
作者简介：
冯新扬，浙江省临海市，浙江省台州中学。