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［摘要］在教学中，因势利导地组织学生参与教学活动，突出学生的能动性、创造性和差异性，是数学教学的动态建构与发展的核心。为此，在课堂上，一要通过强化学生主体参与，创设教学动态建构；二要引伸自主探究，提升学生的知识建构；三要重视学生思维资源，展现课堂教学的灵活性；四要促进合作交流，提升学生发展的平台。
［关键词］数学教学 动态建构 学生发展
［作者简介］张瑾（1951- ），女，安徽寿县人，郑州师范高等专科学校副教授，研究方向为数学教育；马燕文（1977- ），男，河北三河人，郑州师范高等专科学校，研究方向为教育管理。（河南 郑州 450044）
［中图分类号］G424［文献标识码］A ［文章编号］1004-3985（2008）12-0073-02
新课程的核心理念是：为了每一位学生的发展。建构动态生成的课堂正是为实现这一目标而进行的教学实践。动态生成性是对教学生动可变性的概括，是对以往强调过程的预设性、计划性、规定性的重要补充和修正。真实的教学过程是渐进的、多层次的和多角度的，是师生及多种因素间动态的相互作用的推进过程。它不可能完全按预定的轨道动作，常会生成一些意料之外的、有意义或无意义的、重要或不重要的新信息、新情景、新思维和新方法。尤其当师生的主动性、积极性得到充分发挥时，实际的教学过程远比预定的、计划的要生动、活泼、丰富得多。教师在课堂教学中不应该是机械地执行预设方案，而是要注重学生的发展，突出学生在课堂上的能动性、创造性和差异性，尊重学生的独立人格，在课堂特定的生态环境中，根据师生、生生互动的情况，把握学生的思路，因势利导地组织适合学生参与的、自主创新的教学活动，使学生在获取知识的同时，产生自己的学习经验，获得丰富的情感体验。
一、强化学生主体参与，创设教学的动态建构
发展是学生主体在活动中的发展，因此数学课堂要真正获得发展，唯有在学生主体积极参与开展的数学活动中才能实现。发展数学活动是学生在已有经验的基础上，对课程资源的加工和重组，由此数学教学过程中调集学生已有的经验，并促成其与要学习的内容间发生相互作用而建立起实质性的联系就显得尤为重要。教师在教学方案的预先设计中，可能已经对学生的直接经验有所估计，但只有在与学生的教学交往中，才能对学生拥有的直接经验的状况做出准确判断。如果课堂中获取的反馈与预先估计有不一致时，我们应该对教学做出调整，使教学成为学生已有直接经验的逻辑归纳和引伸，增加教学的体验性和生成性。
以往的课堂教学中由于受教学活动计划性、预设性的影响，学生的思维与活动总是被限制在教的束缚中。动态生成的教学不再是教师为主宰、学生跟着走，而是根据学生的具体情况，随时调整教学过程，真正使学生成为学习的主人。
例如：在简单几何体的教学中，教师可先让学生观察周围的物体，并思考所见过的几何体中有哪些是熟悉的？是叫得出名字的？哪些是没注意过的，叫不出名字的？它们的共性是什么？有什么特征？怎样用数学语言描述它？这些问题会引导学生对以前学过的知识产生新的疑问和感悟。如：正方体、长方体又叫什么？它们是棱柱吗？是平行六面体吗？对不熟悉的内容有了兴趣，他们就会想去探求和了解。如：棱柱、直棱柱、长方体和正方体之间有什么关系？棱柱、棱锥有什么关系？各有什么性质？各有什么实际应用？经过引导，学生会在教与学的过程中逐渐把新旧知识联系起来，建构出新的知识体系，完成知识的重组和提升。教学中，还可以引导学生观察教师出示的投影图形，對不同的棱柱、平行六面体、棱锥等简单几何体的直观图形，进行讨论、对比、归纳、确认，并实际观察、触摸感受一下教具模型，让模型带给他们一些更真切、实在的体会。在丰富的感性知识的基础上，引导学生再去理解定义并认识图形的性质，就是水到渠成的事了。学习完这个单元以后，再组织学生动手制作一些简单几何体的模型，如棱锥、长方体、正多面体等，使学生对凸多面体的面、棱、顶点、形状等结构关系加深理解。在这个动手实际操作的活动中，他们的思维和操作是在自己的计划中进行着（自己可以设计作品的大小、色彩和配图），这样就使学生在“做数学”的过程中，享受数学带给他们的成功愉悦，体会到一种创造性的情感快乐，从而提升学习数学的兴趣。
体现学生的主体性是数学教学中的自然要求，不应该是教学形式所迫，也不应该是牵强的人为行动。所以，学生的讨论可以是有组织的、分组的、相互的提问和作答，也可以是自发的、个体的、探究式的思考和阐述。教师心中时时装着学生，站在他们的角度去备课、去教学、去思考问题的话，就会主动地在课堂上或课外建构出不同特色的数学活动，充分调动学生的积极性。
二、引伸自主探究，引导学生建构知识
教师真正把学生作为课堂学习的主体，就会确立为学生的数学学习服务的意识，就会在课堂中尽可能多地创造人人可以独立操作、充分参与的学习机会，让学生更多地先尝试再分析，先猜想再验证，让学生主动地发现问题、提出问题、探究新知。同时，教师要留心捕捉和筛选学生在学习活动中反馈出来的有利于促进学生进一步发展的鲜活的课程资源，据此来调整教学行为，提升数学情趣，帮助学生建构新知。
如学习了两角和与差的余弦公式后，两角和与差的正弦、正切公式均可在教师的稍加引导下分组讨论得出。这时，利用上述公式可以对三角式或三角等式进行化简和证明，但三角函数化简、计算或证明的方法常常不唯一，所以在应用训练时也可向学生提出小组合作交流的学习要求。例如对式子cos215°- sin215°的计算，就在学生的讨论中得出了多种方法：（1）用分解因式的方法得出两因式积（cos15°+ sin15°）（cos15°- sin15°） ,将正弦、余弦值代入计算；（2）用正、余弦的平方关系得出的1-2 sin215°或2cos215°-1，再将正弦或余弦值代入计算；（3）将正弦、余弦值直接代入cos215°-sin215°计算；（4）cos215°-sin215°=cos15°cos15°-sin15°sin15°=cos（15°+15°）=cos30°=2分之根号３。
小结发言中学生指出：（1）（2）（3）都是将式子变形后，再将正弦、余弦的15°值直接带入计算得出结果，而（4）的分解计算过程比较新颖独特。很多学生眼睛一亮：这不是两角和的余弦公式中两角相等的情形吗？这时，教师及时引伸，就可以引导学生建构余弦的2倍角公式，并引导得出正弦、正切函数的2倍角公式。分析中大家还发现4种解法中，（4）的解法因为避免了 sin15°，cos15°的平方等的复杂计算，所以最简洁。因为学生自己发现了公式之间的关系，所以学习兴趣会得到很大促进。问题的多种解法，甚至超出教师的预设方案，也表现了学生在动态活动中更能达到对知识的解析和深化。
现代数学教学理念要求赋予学生更多的思考、动手和交流的机会，要求学生积极参与，亲自经历探究知识的过程。在这个过程中如果教师与学生平等地交流和给予恰到好处的点拨，做学生数学活动的引导者，启发学生关注问题的重要方面，学生的思维就会在一次次的困惑中逐渐清晰。他们会用自己的语言表达想法，对认知活动进行自我监控，并做出相应的调适。在学习过程中，他们也会思想集中，感情投入，不时获得积极的情感体验。事实证明，引伸自主探究，能够更好地开发学生智慧的潜能，促进学生思维的良性发展，使教学过程再现动态的灵性。
三、重视学生思维资源，加强课堂教学的灵活性
动态建构的课堂是真实、活跃、积极的课堂。教学中师生应平等对话、相互尊重，教师应该不管是多数学生的“优选法”，还是个别学生的“偏、怪、奇”，都要加以重视。因为我们常常看到，很多时候“真理往往掌握在少数人手里”，正是个别学生的奇思妙想帮助教师引导其他学生“踏入正途”，解决了问题。其实学生间的差异是教学的资源，课堂上学生正确的回答、精彩的見解、独特的解题思路，以及在学习过程中出现的错误和认识障碍等都是教学中可以利用的资源，教师要巧用资源促进学生思维创新。
例如：寻找类似命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”“x，y不全为0，则x2+y2≠0”的逆否命题时，通过讨论交流，学生不仅要自己将四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）用语言表达清楚并正确地叙述出来，为了分辨四种命题关系，如前一个命题，还要列举出a，b是否偶数的全部情况（4种）。讨论过程中他们争论、举例，在课本要求的基础上延伸着思维和知识的内容。有的学生不理解“都是”“都不是”“不都是”的关系，提出异议。经过讨论最后确认：“a，b都是偶数”的否命题不是“a，b都不是偶数”，而是“a，b不都是偶数”。它包含了“有的是有的不是”“都不是”两类。而“a，b都不是偶数”的否命题是“a，b不都不是偶数”，它包含了“有的是有的不是”“都是”两类。
学生在自主探索的过程中，不但发现了很多有价值的数学信息，而且还发展了教师的教学活动。学生进行数学问题思考时，在动用心智的建构中获得深刻的感觉，真正生成新经验。那种束缚学生思维、强制学生跟着走的教学，学生的思维被教师的思维代替或控制的方式是必须改变的。我们的教学对象是有情感、有想法的“人”，承认差异，承认个性，就是对学生最大的尊重，也只有这样才能通过数学教学，影响和帮助学生树立正确道德情感、良好品质。
四、促进合作交流，搭建学生发展的平台
小组合作交流的学习形式，是新课程标准倡导的一种学习方式。它在世界各国研究与开发的几十年中，受到普遍青睐。合作学习在改善课堂内的社会心理气氛，大面积提高学生的学业成绩，促进学生形成良好非认知品质的发展等方面显示出积极作用，成为目前普遍认可的教学策略之一，同时也被人们誉为“近十几年来最重要和最成功的教学改革”。
我们知道，教师与学生是教学过程中的主要动态因素，是构建动态教学的双方。合作学习要求教学过程中的所有动态因素都应当保持互动，这种合作性的互动正是推进教学过程良性发展的有效力量。师生间的这种互动一般指师生互动、生生互动。新课程标准的基本理念指出：教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。这就是说互动的主体是学生，主导是教师，教师对合作学习的理解与教学目标的达成成为教学过程中的关键。教师应在课前设置预案：（1）选择本课主要合作形式（同桌、前后桌、分小组，单向、双向、多向）。（2）选择进行合作学习的数学问题。对不同的问题要有针对性地选择合作形式。（3）考虑如何促进学生合作交流。要使每个学生都既有个体责任又有积极互靠，既有面对面的讨论又有促进性的互助。（4）预测学生可能产生的问题，如工具上的、交流上的、延伸性的等。（5）预定控制教学进程的方法。如时间控制、进度控制、方法控制等。当然，教学预案设置得越细致、周全，教学的过程就会越顺利，教学效果就会越好。
新教材为合作交流学习提供了广泛的素材。教学内容中分层次的探究学习过程，章节后的数学活动、观察与讨论、研究性课题学习、实验与研究等，都是学生进行合作学习、提升发展的平台。还有教材中处处充满人情味的提示语：“请你与同学讨论一下。”“你能与同学说一说你的想法吗？”“你是怎样得到上面的结果的？”等等，使数学教学过程中的互动、交流自然而有趣，使构建动态的数学教学浑然天成。
在课程标准的新理念指导下，数学教师要重新审视自己的教学，吸收各种教学方法的精华，构建动态的课堂教学行为，使我们的数学课堂成为在新价值观引导下学生自己建构知识的过程，成为真实自然的师生互动过程，成为促进学生全面发展和教师教育智慧展现的场所；使学生在数学课堂上有多方面、多层次的收获，同时也要有或多或少的人生感悟和价值观、世界观的提炼，这正是我们的教育目标也是数学教学的真谛所在。
［参考文献］
［1］钟启泉.新课程师资培训精要［M］.北京：北京大学出版社，2003.
［2］叶尧城，向鹤梅.数学课程标准教师读本［M］.武汉：华中师范大学出版社，2003.
［关键词］数学教学 动态建构 学生发展
［作者简介］张瑾（1951- ），女，安徽寿县人，郑州师范高等专科学校副教授，研究方向为数学教育；马燕文（1977- ），男，河北三河人，郑州师范高等专科学校，研究方向为教育管理。（河南 郑州 450044）
［中图分类号］G424［文献标识码］A ［文章编号］1004-3985（2008）12-0073-02
新课程的核心理念是：为了每一位学生的发展。建构动态生成的课堂正是为实现这一目标而进行的教学实践。动态生成性是对教学生动可变性的概括，是对以往强调过程的预设性、计划性、规定性的重要补充和修正。真实的教学过程是渐进的、多层次的和多角度的，是师生及多种因素间动态的相互作用的推进过程。它不可能完全按预定的轨道动作，常会生成一些意料之外的、有意义或无意义的、重要或不重要的新信息、新情景、新思维和新方法。尤其当师生的主动性、积极性得到充分发挥时，实际的教学过程远比预定的、计划的要生动、活泼、丰富得多。教师在课堂教学中不应该是机械地执行预设方案，而是要注重学生的发展，突出学生在课堂上的能动性、创造性和差异性，尊重学生的独立人格，在课堂特定的生态环境中，根据师生、生生互动的情况，把握学生的思路，因势利导地组织适合学生参与的、自主创新的教学活动，使学生在获取知识的同时，产生自己的学习经验，获得丰富的情感体验。
一、强化学生主体参与，创设教学的动态建构
发展是学生主体在活动中的发展，因此数学课堂要真正获得发展，唯有在学生主体积极参与开展的数学活动中才能实现。发展数学活动是学生在已有经验的基础上，对课程资源的加工和重组，由此数学教学过程中调集学生已有的经验，并促成其与要学习的内容间发生相互作用而建立起实质性的联系就显得尤为重要。教师在教学方案的预先设计中，可能已经对学生的直接经验有所估计，但只有在与学生的教学交往中，才能对学生拥有的直接经验的状况做出准确判断。如果课堂中获取的反馈与预先估计有不一致时，我们应该对教学做出调整，使教学成为学生已有直接经验的逻辑归纳和引伸，增加教学的体验性和生成性。
以往的课堂教学中由于受教学活动计划性、预设性的影响，学生的思维与活动总是被限制在教的束缚中。动态生成的教学不再是教师为主宰、学生跟着走，而是根据学生的具体情况，随时调整教学过程，真正使学生成为学习的主人。
例如：在简单几何体的教学中，教师可先让学生观察周围的物体，并思考所见过的几何体中有哪些是熟悉的？是叫得出名字的？哪些是没注意过的，叫不出名字的？它们的共性是什么？有什么特征？怎样用数学语言描述它？这些问题会引导学生对以前学过的知识产生新的疑问和感悟。如：正方体、长方体又叫什么？它们是棱柱吗？是平行六面体吗？对不熟悉的内容有了兴趣，他们就会想去探求和了解。如：棱柱、直棱柱、长方体和正方体之间有什么关系？棱柱、棱锥有什么关系？各有什么性质？各有什么实际应用？经过引导，学生会在教与学的过程中逐渐把新旧知识联系起来，建构出新的知识体系，完成知识的重组和提升。教学中，还可以引导学生观察教师出示的投影图形，對不同的棱柱、平行六面体、棱锥等简单几何体的直观图形，进行讨论、对比、归纳、确认，并实际观察、触摸感受一下教具模型，让模型带给他们一些更真切、实在的体会。在丰富的感性知识的基础上，引导学生再去理解定义并认识图形的性质，就是水到渠成的事了。学习完这个单元以后，再组织学生动手制作一些简单几何体的模型，如棱锥、长方体、正多面体等，使学生对凸多面体的面、棱、顶点、形状等结构关系加深理解。在这个动手实际操作的活动中，他们的思维和操作是在自己的计划中进行着（自己可以设计作品的大小、色彩和配图），这样就使学生在“做数学”的过程中，享受数学带给他们的成功愉悦，体会到一种创造性的情感快乐，从而提升学习数学的兴趣。
体现学生的主体性是数学教学中的自然要求，不应该是教学形式所迫，也不应该是牵强的人为行动。所以，学生的讨论可以是有组织的、分组的、相互的提问和作答，也可以是自发的、个体的、探究式的思考和阐述。教师心中时时装着学生，站在他们的角度去备课、去教学、去思考问题的话，就会主动地在课堂上或课外建构出不同特色的数学活动，充分调动学生的积极性。
二、引伸自主探究，引导学生建构知识
教师真正把学生作为课堂学习的主体，就会确立为学生的数学学习服务的意识，就会在课堂中尽可能多地创造人人可以独立操作、充分参与的学习机会，让学生更多地先尝试再分析，先猜想再验证，让学生主动地发现问题、提出问题、探究新知。同时，教师要留心捕捉和筛选学生在学习活动中反馈出来的有利于促进学生进一步发展的鲜活的课程资源，据此来调整教学行为，提升数学情趣，帮助学生建构新知。
如学习了两角和与差的余弦公式后，两角和与差的正弦、正切公式均可在教师的稍加引导下分组讨论得出。这时，利用上述公式可以对三角式或三角等式进行化简和证明，但三角函数化简、计算或证明的方法常常不唯一，所以在应用训练时也可向学生提出小组合作交流的学习要求。例如对式子cos215°- sin215°的计算，就在学生的讨论中得出了多种方法：（1）用分解因式的方法得出两因式积（cos15°+ sin15°）（cos15°- sin15°） ,将正弦、余弦值代入计算；（2）用正、余弦的平方关系得出的1-2 sin215°或2cos215°-1，再将正弦或余弦值代入计算；（3）将正弦、余弦值直接代入cos215°-sin215°计算；（4）cos215°-sin215°=cos15°cos15°-sin15°sin15°=cos（15°+15°）=cos30°=2分之根号３。
小结发言中学生指出：（1）（2）（3）都是将式子变形后，再将正弦、余弦的15°值直接带入计算得出结果，而（4）的分解计算过程比较新颖独特。很多学生眼睛一亮：这不是两角和的余弦公式中两角相等的情形吗？这时，教师及时引伸，就可以引导学生建构余弦的2倍角公式，并引导得出正弦、正切函数的2倍角公式。分析中大家还发现4种解法中，（4）的解法因为避免了 sin15°，cos15°的平方等的复杂计算，所以最简洁。因为学生自己发现了公式之间的关系，所以学习兴趣会得到很大促进。问题的多种解法，甚至超出教师的预设方案，也表现了学生在动态活动中更能达到对知识的解析和深化。
现代数学教学理念要求赋予学生更多的思考、动手和交流的机会，要求学生积极参与，亲自经历探究知识的过程。在这个过程中如果教师与学生平等地交流和给予恰到好处的点拨，做学生数学活动的引导者，启发学生关注问题的重要方面，学生的思维就会在一次次的困惑中逐渐清晰。他们会用自己的语言表达想法，对认知活动进行自我监控，并做出相应的调适。在学习过程中，他们也会思想集中，感情投入，不时获得积极的情感体验。事实证明，引伸自主探究，能够更好地开发学生智慧的潜能，促进学生思维的良性发展，使教学过程再现动态的灵性。
三、重视学生思维资源，加强课堂教学的灵活性
动态建构的课堂是真实、活跃、积极的课堂。教学中师生应平等对话、相互尊重，教师应该不管是多数学生的“优选法”，还是个别学生的“偏、怪、奇”，都要加以重视。因为我们常常看到，很多时候“真理往往掌握在少数人手里”，正是个别学生的奇思妙想帮助教师引导其他学生“踏入正途”，解决了问题。其实学生间的差异是教学的资源，课堂上学生正确的回答、精彩的見解、独特的解题思路，以及在学习过程中出现的错误和认识障碍等都是教学中可以利用的资源，教师要巧用资源促进学生思维创新。
例如：寻找类似命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”“x，y不全为0，则x2+y2≠0”的逆否命题时，通过讨论交流，学生不仅要自己将四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）用语言表达清楚并正确地叙述出来，为了分辨四种命题关系，如前一个命题，还要列举出a，b是否偶数的全部情况（4种）。讨论过程中他们争论、举例，在课本要求的基础上延伸着思维和知识的内容。有的学生不理解“都是”“都不是”“不都是”的关系，提出异议。经过讨论最后确认：“a，b都是偶数”的否命题不是“a，b都不是偶数”，而是“a，b不都是偶数”。它包含了“有的是有的不是”“都不是”两类。而“a，b都不是偶数”的否命题是“a，b不都不是偶数”，它包含了“有的是有的不是”“都是”两类。
学生在自主探索的过程中，不但发现了很多有价值的数学信息，而且还发展了教师的教学活动。学生进行数学问题思考时，在动用心智的建构中获得深刻的感觉，真正生成新经验。那种束缚学生思维、强制学生跟着走的教学，学生的思维被教师的思维代替或控制的方式是必须改变的。我们的教学对象是有情感、有想法的“人”，承认差异，承认个性，就是对学生最大的尊重，也只有这样才能通过数学教学，影响和帮助学生树立正确道德情感、良好品质。
四、促进合作交流，搭建学生发展的平台
小组合作交流的学习形式，是新课程标准倡导的一种学习方式。它在世界各国研究与开发的几十年中，受到普遍青睐。合作学习在改善课堂内的社会心理气氛，大面积提高学生的学业成绩，促进学生形成良好非认知品质的发展等方面显示出积极作用，成为目前普遍认可的教学策略之一，同时也被人们誉为“近十几年来最重要和最成功的教学改革”。
我们知道，教师与学生是教学过程中的主要动态因素，是构建动态教学的双方。合作学习要求教学过程中的所有动态因素都应当保持互动，这种合作性的互动正是推进教学过程良性发展的有效力量。师生间的这种互动一般指师生互动、生生互动。新课程标准的基本理念指出：教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。这就是说互动的主体是学生，主导是教师，教师对合作学习的理解与教学目标的达成成为教学过程中的关键。教师应在课前设置预案：（1）选择本课主要合作形式（同桌、前后桌、分小组，单向、双向、多向）。（2）选择进行合作学习的数学问题。对不同的问题要有针对性地选择合作形式。（3）考虑如何促进学生合作交流。要使每个学生都既有个体责任又有积极互靠，既有面对面的讨论又有促进性的互助。（4）预测学生可能产生的问题，如工具上的、交流上的、延伸性的等。（5）预定控制教学进程的方法。如时间控制、进度控制、方法控制等。当然，教学预案设置得越细致、周全，教学的过程就会越顺利，教学效果就会越好。
新教材为合作交流学习提供了广泛的素材。教学内容中分层次的探究学习过程，章节后的数学活动、观察与讨论、研究性课题学习、实验与研究等，都是学生进行合作学习、提升发展的平台。还有教材中处处充满人情味的提示语：“请你与同学讨论一下。”“你能与同学说一说你的想法吗？”“你是怎样得到上面的结果的？”等等，使数学教学过程中的互动、交流自然而有趣，使构建动态的数学教学浑然天成。
在课程标准的新理念指导下，数学教师要重新审视自己的教学，吸收各种教学方法的精华，构建动态的课堂教学行为，使我们的数学课堂成为在新价值观引导下学生自己建构知识的过程，成为真实自然的师生互动过程，成为促进学生全面发展和教师教育智慧展现的场所；使学生在数学课堂上有多方面、多层次的收获，同时也要有或多或少的人生感悟和价值观、世界观的提炼，这正是我们的教育目标也是数学教学的真谛所在。
［参考文献］
［1］钟启泉.新课程师资培训精要［M］.北京：北京大学出版社，2003.
［2］叶尧城，向鹤梅.数学课程标准教师读本［M］.武汉：华中师范大学出版社，2003.