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摘 要：数学教师需要具备这样的能力，能够把学生内心的想法真正引导出来，帮助学生生成恰当的解题过程。“启发性”是衡量教师教学水平的重要方面。初中数学教学中，面对学生错误的回答或解题时，教师应帮助学生对错误原因进行研究和分析，找出问题所在，贯注方法引导，以培养学生的创新性思维、发散性思维、逻辑性思维。
关键词：数学教学；方法引导；学生思维
中图分类号：O226文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）11-0072-02
教师给学生示范正确的解题过程固然重要，但教师在分析学生解题思路的基础上，结合教学重难点，对解题方法进行引导，使学生能动地生成恰当的解题过程，发展学生的思维能力就更为重要了。学生的错误解题是数学教学的重要资源，充分挖掘利用，可以使教学思路清晰同时使学生对题目有充分的认识，数学思维能力有所提高。本文通过一道运动讨论试题的解答为例来做些研究与反思。
题目（苏科版《义务教育教科书，数学》七年级下册试题）：如图1，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，∠ADC=70°.（1）则∠EDC的度数为；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）。
一、引导鼓励，探寻答案的多种可能
问题（1）比较容易，根据角平分线的性质，可知∠EDC=12∠ADC=35°。问题（2）可以用三角形内角和以及对顶角的知识来解决，抓住∠EBC+∠BED=∠EDC+∠BCD，求得∠BED=12n°+35°；或者过点E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，结合平行线的性质和角平分线的性质，即可求出结果。在问题（3）的解答中，发现班里有位同学是分两种情形进行思考的：
情形一：如图2，∠BED=∠EDF+∠EFD，根据角平分线的性质可得∠EDF=12∠ADC=35°，∠ABF=12∠ABC=12n°，再根据平行线的性质可得∠EFD=180°-∠ABF=180°-12n°，所以∠BED=35°+180°-12n°=215°-12n°。
情形二：如图3，∠BED=∠BFC-∠FDE，由角平分线的性质，可得∠ABF=12∠ABC=12n°，∠GDC=12∠ADC=35°，根据平行线的性质，∠BFC=∠ABF=12n°，因为∠FDE=∠GDC，所以∠FDE=35°，所以∠BED=12n°-35°。
第三小题是一道运动讨论问题，这类题是运用运动变化的观点分析几何图形的变化规律。通过平移、翻折、旋转等方法，带动图中一些元素（点、线、角等）发生变化。这类题综合了函数、方程、不等式等方面知识，蕴含着分类讨论、数形结合等数学方法。运动讨论问题对学生的思想能力要求比较高，需要学生对图形运动过程做整体分析。这位同学分两种情形进行分析，探寻答案的多种可能，首先是要鼓励的。当学生从多种角度对问题进行分析时，对这道题的认识会越来越深刻。做一道题，不仅是巩固题中包含的知识方法，更重要的是培养学生思维的广阔性、逻辑的严谨性。虽然这位同学的解答最终是扣分的，但是这种解题思路还是值得鼓励的，这种探究精神以及体验成功的愿望是值得尊重的。反思这道题做错的原因，更是让教与学都有收获，学生的思维得到了锻炼，教师的教学有了着力点。
数学教学不仅仅是教会学生解题，更重要的是贯注方法引导，发展学生数学思维。方法引导首先是尊重学生的思路、方法，无论正确与否，都是一种思考，有了思考，数学思维就得到锻炼。与此同时，教师能够了解教与学的效果，改进教学方式，思考如何给予方法引导。为了让教学更顺畅而撇开学生的想法，学生的想法将得不到鼓励，学习会少了份动力。在课堂上如果学生的思路一时半会儿难说清楚，我们在课后也须要一同分析，这是对数学思维的尊重，也是发展数学思维的途径。尊重之后再谈方法引导，不然不会知道哪走偏了，也就不会知道如何引导。
如何才能调动学生思考的积极性，首先想到的可能是“你说我听”，耐心听学生的思路，无论学生想到哪我都尊重着听，可是这也会和课堂效率有矛盾，毕竟数学课堂时间是有限的。所以数学课堂上应该做些有意义的事情，尊重并不等于随便说。要真正的调动学生思考的积极性，关键还在于当学生的思路出现问题时教师如何引导让学生的思路得以完善，在于当学生一点主意都没有时教师如何引导让学生逐渐想到些什么。尊重的基础上引导学生发现问题解决问题。
二、认清变量，明确分类讨论的依据
分类是一种重要的数学思想，学习数学的过程中经常需要分类讨论。数学中的分类包含了数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在一些数学问题中，会因为变量的取值不同而导致结果不同，这时需要进行分类讨论。在运用分类思想进行分类讨论时，要根据学生已有经验和认知规律，认清运动讨论问题中隐含的变量，对问题结论进行动态研究，得出结论。培养学生由特殊到一般、运动变化等学习数学的基本素养，培养学生思维的连贯有序。认清变量，是做到对此类问题分类讨论时不重复、不遗漏的基础。
例题中学生想到了第二种情形，是因为他有运用分类讨论思维方法的意识，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线的交点好像不一定在两条平行线之间，情形二好像可以存在。在这里就要引导他认清题中的变量。图形是给定的，题中∠ADC=70°是给定的，两条平行线之间的距离是给定的，点B在点A的右侧是给定的，线段BC的斜率也是给定的，那么，在平移BC的过程中，我们要考虑的变量就只剩点B与点A之间距离这一变量。能够推翻情形二最直截了当的方法是看AD与BE的斜率，也就是看∠ABE的大小有没有大于70°，如果大于70°，射线BE就不会与线段AD相交。而题中平移后∠ABC的度数不变大约150°，所以∠ABE大于70°，情形二不会出现。 参考答案就是情形一这一种情况，但是我们继续研究点B与点A之间距离这一变量可以发现虽然学生解题中的情形二不会出现，但是当点B继续向右移动时会出现图4这种情形，此时∠BED=∠ABF-∠EGB=12n°-35°。借助几何画板我给学生做了演示，然后我变动两条平行线之间的距离进一步探索了这道题的奥秘。认清主导图形运动的变量，找到使问题发生质变的节点，鼓励学生质疑、探究，层层深入，培养学生敏锐的观察力以及抽象概括能力。
顺着学生的思路，我对题目本身的严密性有了质疑，比如直线BC的斜率应该有个范围，也就是说图中n应该是有范围的；顺着学生的思路，我们纠正了错误得到了新的情形；顺着学生的思路，我们增加了变量，一起玩起来。
分类讨论思想是一种重要的数学思想，厘清问题中的变量，找准引起分类的原因，列出所有可能的情况，再一一求解，最后对求解做出归纳。在日常教学中训练数学分类讨论思想，首先应当是静下心来分析问题的变量，摸索由量变到质变的过程。
三、以静制动，注意前后方法的类比
类比法是通过对某一事物的认识来认识与它在某方面具有相似属性的另一事物。相似的两道题他们的解题思路可能也会相似，那么由特殊情况拓展到一般情况的题目，其中的解题方法往往是类似的。类比这一推理方法可以使我们的思路清晰，提高解题效率。例题中的第（3）小题也可以像第（2）小题那样过点E作EG∥AB，利用平行线的性质来求解。思路：如图5，过点E作EG∥AB，因为AB∥CD，所以EG∥CD，根据平行线的性质可得∠BEG+∠ABE=180°，∠GED=∠EDF，所以∠BEG=180°-∠ABE=180°-12n°，∠GED=12×70°=35°，于是∠BED=∠BEG+∠GED=180°-12n°+35°=215°-12n°。
数学家拉普拉斯说过：类比和归纳一样，是探索数学真理、发现数学真理的主要工具之一。运动讨论问题给人的感觉就是复杂，我们需要以静制动，观察每种状态之间的内在联系以及解题方法的相似性。锁定我们需要考虑的元素，撇开一些干扰的元素，将复杂的问题简单化。
要进行分类讨论的数学题，它的每一种情形在求解上往往有着很多的相似之处。注重方法的类比，可以使解答方便。这就需要我们引导学生在平时有意识的去归纳总结。
四、独立思考，着重读题能力的提高
链接中考，越来越注重学生读题能力，从题目中提炼出有用信息和关键信息，甚至从题目中读懂解题方法。作为数学教师，交给学生最重要的是数学思维方式。让学生自己独立思考，是获得数学思维方式的重要途径，是培养理性、务实、逻辑性强等品质的方法。在数学学习中，独立思考就是从读题开始的。我们经常碰见学生在做应用题时没经过思考就把题目中出现的阿拉伯数字通过运算符号串联起来，这正是没有好好读题，忽略了好好读题，是因为缺乏独立思考的经验。通过独立思考，我们发现案例中的题目注重的是图形的内涵和拓展，只是在问题的呈现方式上有一些不严密。在后期的学习中，有一天学生拿着一道题目欣喜地跑到我身边，这是一道和案例中类似的题，而出题人给定了一幅图，在题目中加了“如图”二字，将题目限定在“情形一”中，比较妥当。我和学生看到这“如图”二字很是触动，因为我们独立思考过了，我们真正读懂了这道题，感觉和出题人找到了共鸣。
引导鼓励，探寻答案的多种可能；认清变量，明确分类讨论的依据；以静制动，注意前后方法的类比；独立思考，着重读题能力的提高。在教学过程中，贯注方法引导，发展数学思维，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，培养学生的创新意识和科学态度。
（作者单位：苏州市吴江区桃源中学）
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1：8-9.
[2]吴海华.分类讨论思想在初中数学解题中的应用[J].江南大学学报（教育科学版），2008.28（3）：95-97.
[3]何念如.类比法在中学数学教学中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2006.20（1）：13-15.
关键词：数学教学；方法引导；学生思维
中图分类号：O226文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）11-0072-02
教师给学生示范正确的解题过程固然重要，但教师在分析学生解题思路的基础上，结合教学重难点，对解题方法进行引导，使学生能动地生成恰当的解题过程，发展学生的思维能力就更为重要了。学生的错误解题是数学教学的重要资源，充分挖掘利用，可以使教学思路清晰同时使学生对题目有充分的认识，数学思维能力有所提高。本文通过一道运动讨论试题的解答为例来做些研究与反思。
题目（苏科版《义务教育教科书，数学》七年级下册试题）：如图1，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，∠ADC=70°.（1）则∠EDC的度数为；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）。
一、引导鼓励，探寻答案的多种可能
问题（1）比较容易，根据角平分线的性质，可知∠EDC=12∠ADC=35°。问题（2）可以用三角形内角和以及对顶角的知识来解决，抓住∠EBC+∠BED=∠EDC+∠BCD，求得∠BED=12n°+35°；或者过点E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，结合平行线的性质和角平分线的性质，即可求出结果。在问题（3）的解答中，发现班里有位同学是分两种情形进行思考的：
情形一：如图2，∠BED=∠EDF+∠EFD，根据角平分线的性质可得∠EDF=12∠ADC=35°，∠ABF=12∠ABC=12n°，再根据平行线的性质可得∠EFD=180°-∠ABF=180°-12n°，所以∠BED=35°+180°-12n°=215°-12n°。
情形二：如图3，∠BED=∠BFC-∠FDE，由角平分线的性质，可得∠ABF=12∠ABC=12n°，∠GDC=12∠ADC=35°，根据平行线的性质，∠BFC=∠ABF=12n°，因为∠FDE=∠GDC，所以∠FDE=35°，所以∠BED=12n°-35°。
第三小题是一道运动讨论问题，这类题是运用运动变化的观点分析几何图形的变化规律。通过平移、翻折、旋转等方法，带动图中一些元素（点、线、角等）发生变化。这类题综合了函数、方程、不等式等方面知识，蕴含着分类讨论、数形结合等数学方法。运动讨论问题对学生的思想能力要求比较高，需要学生对图形运动过程做整体分析。这位同学分两种情形进行分析，探寻答案的多种可能，首先是要鼓励的。当学生从多种角度对问题进行分析时，对这道题的认识会越来越深刻。做一道题，不仅是巩固题中包含的知识方法，更重要的是培养学生思维的广阔性、逻辑的严谨性。虽然这位同学的解答最终是扣分的，但是这种解题思路还是值得鼓励的，这种探究精神以及体验成功的愿望是值得尊重的。反思这道题做错的原因，更是让教与学都有收获，学生的思维得到了锻炼，教师的教学有了着力点。
数学教学不仅仅是教会学生解题，更重要的是贯注方法引导，发展学生数学思维。方法引导首先是尊重学生的思路、方法，无论正确与否，都是一种思考，有了思考，数学思维就得到锻炼。与此同时，教师能够了解教与学的效果，改进教学方式，思考如何给予方法引导。为了让教学更顺畅而撇开学生的想法，学生的想法将得不到鼓励，学习会少了份动力。在课堂上如果学生的思路一时半会儿难说清楚，我们在课后也须要一同分析，这是对数学思维的尊重，也是发展数学思维的途径。尊重之后再谈方法引导，不然不会知道哪走偏了，也就不会知道如何引导。
如何才能调动学生思考的积极性，首先想到的可能是“你说我听”，耐心听学生的思路，无论学生想到哪我都尊重着听，可是这也会和课堂效率有矛盾，毕竟数学课堂时间是有限的。所以数学课堂上应该做些有意义的事情，尊重并不等于随便说。要真正的调动学生思考的积极性，关键还在于当学生的思路出现问题时教师如何引导让学生的思路得以完善，在于当学生一点主意都没有时教师如何引导让学生逐渐想到些什么。尊重的基础上引导学生发现问题解决问题。
二、认清变量，明确分类讨论的依据
分类是一种重要的数学思想，学习数学的过程中经常需要分类讨论。数学中的分类包含了数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在一些数学问题中，会因为变量的取值不同而导致结果不同，这时需要进行分类讨论。在运用分类思想进行分类讨论时，要根据学生已有经验和认知规律，认清运动讨论问题中隐含的变量，对问题结论进行动态研究，得出结论。培养学生由特殊到一般、运动变化等学习数学的基本素养，培养学生思维的连贯有序。认清变量，是做到对此类问题分类讨论时不重复、不遗漏的基础。
例题中学生想到了第二种情形，是因为他有运用分类讨论思维方法的意识，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线的交点好像不一定在两条平行线之间，情形二好像可以存在。在这里就要引导他认清题中的变量。图形是给定的，题中∠ADC=70°是给定的，两条平行线之间的距离是给定的，点B在点A的右侧是给定的，线段BC的斜率也是给定的，那么，在平移BC的过程中，我们要考虑的变量就只剩点B与点A之间距离这一变量。能够推翻情形二最直截了当的方法是看AD与BE的斜率，也就是看∠ABE的大小有没有大于70°，如果大于70°，射线BE就不会与线段AD相交。而题中平移后∠ABC的度数不变大约150°，所以∠ABE大于70°，情形二不会出现。 参考答案就是情形一这一种情况，但是我们继续研究点B与点A之间距离这一变量可以发现虽然学生解题中的情形二不会出现，但是当点B继续向右移动时会出现图4这种情形，此时∠BED=∠ABF-∠EGB=12n°-35°。借助几何画板我给学生做了演示，然后我变动两条平行线之间的距离进一步探索了这道题的奥秘。认清主导图形运动的变量，找到使问题发生质变的节点，鼓励学生质疑、探究，层层深入，培养学生敏锐的观察力以及抽象概括能力。
顺着学生的思路，我对题目本身的严密性有了质疑，比如直线BC的斜率应该有个范围，也就是说图中n应该是有范围的；顺着学生的思路，我们纠正了错误得到了新的情形；顺着学生的思路，我们增加了变量，一起玩起来。
分类讨论思想是一种重要的数学思想，厘清问题中的变量，找准引起分类的原因，列出所有可能的情况，再一一求解，最后对求解做出归纳。在日常教学中训练数学分类讨论思想，首先应当是静下心来分析问题的变量，摸索由量变到质变的过程。
三、以静制动，注意前后方法的类比
类比法是通过对某一事物的认识来认识与它在某方面具有相似属性的另一事物。相似的两道题他们的解题思路可能也会相似，那么由特殊情况拓展到一般情况的题目，其中的解题方法往往是类似的。类比这一推理方法可以使我们的思路清晰，提高解题效率。例题中的第（3）小题也可以像第（2）小题那样过点E作EG∥AB，利用平行线的性质来求解。思路：如图5，过点E作EG∥AB，因为AB∥CD，所以EG∥CD，根据平行线的性质可得∠BEG+∠ABE=180°，∠GED=∠EDF，所以∠BEG=180°-∠ABE=180°-12n°，∠GED=12×70°=35°，于是∠BED=∠BEG+∠GED=180°-12n°+35°=215°-12n°。
数学家拉普拉斯说过：类比和归纳一样，是探索数学真理、发现数学真理的主要工具之一。运动讨论问题给人的感觉就是复杂，我们需要以静制动，观察每种状态之间的内在联系以及解题方法的相似性。锁定我们需要考虑的元素，撇开一些干扰的元素，将复杂的问题简单化。
要进行分类讨论的数学题，它的每一种情形在求解上往往有着很多的相似之处。注重方法的类比，可以使解答方便。这就需要我们引导学生在平时有意识的去归纳总结。
四、独立思考，着重读题能力的提高
链接中考，越来越注重学生读题能力，从题目中提炼出有用信息和关键信息，甚至从题目中读懂解题方法。作为数学教师，交给学生最重要的是数学思维方式。让学生自己独立思考，是获得数学思维方式的重要途径，是培养理性、务实、逻辑性强等品质的方法。在数学学习中，独立思考就是从读题开始的。我们经常碰见学生在做应用题时没经过思考就把题目中出现的阿拉伯数字通过运算符号串联起来，这正是没有好好读题，忽略了好好读题，是因为缺乏独立思考的经验。通过独立思考，我们发现案例中的题目注重的是图形的内涵和拓展，只是在问题的呈现方式上有一些不严密。在后期的学习中，有一天学生拿着一道题目欣喜地跑到我身边，这是一道和案例中类似的题，而出题人给定了一幅图，在题目中加了“如图”二字，将题目限定在“情形一”中，比较妥当。我和学生看到这“如图”二字很是触动，因为我们独立思考过了，我们真正读懂了这道题，感觉和出题人找到了共鸣。
引导鼓励，探寻答案的多种可能；认清变量，明确分类讨论的依据；以静制动，注意前后方法的类比；独立思考，着重读题能力的提高。在教学过程中，贯注方法引导，发展数学思维，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，培养学生的创新意识和科学态度。
（作者单位：苏州市吴江区桃源中学）
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1：8-9.
[2]吴海华.分类讨论思想在初中数学解题中的应用[J].江南大学学报（教育科学版），2008.28（3）：95-97.
[3]何念如.类比法在中学数学教学中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2006.20（1）：13-15.